Gravitazione universale

FORZA DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE

F = - G m₁m₂ / r² r̂

costante di gravitazione universale

6,7 x 10^-11 Nm² / kg²

distanza tra i centri di massa

BILANCIA DI TORSIONE

luce

specchio

F1 = G M1m / r1

F2 = G M2m / r2

ESEMPIO:

m1 = 1 kg

m2 = 1 kg

r = 1 kg

F = Gm1m2 / r²

F = 6,7 x 10^-11 x 1 / 1

6,7 x 10^-11 N

m1g = 9,8 N

m2g = 9,8 N

Provale la forza peso sull interazione tra i due corpi

Mt = 6 x 10²⁴ kg

quindi F = - GmM_T / r²

- G M_Tm / R_T² r̂

raggio terra

terra

quindi dati: R_T = 6,4 x 10⁶ m

MT = 6 x 10²⁴ kg ; m = 1 kg

F = 6,7 x 10^-11 x 6 x 10²⁴ x 1 / (6,4 x 10⁶)²

= 40 x 10¹³ / 41 x 10¹² = 0,98 x 10 = 9,8 N

u = -z j

m g = - G m M_T / R_T² → - m g = - G m M_T / R_T²

Quindi m g = G m M_T / R_T² → g = G M_T / R_T² = 9,8 m / s² sul livello del mare

se non sta sul livello del mare:

d = 8000 m

g = G M_T / (R_T + d)² = (6,7 * 10^-11 * 6 * 10²⁴) / (6,408 * 10⁶)²

d = 100 km

m = 50 kg

m g = ?

g = (6,7 * 10^-11 * 6 * 10²⁴) / (6,8 * 10⁶)² = 40 * 10¹³ / 46 * 10¹² = 8,7 m / s²

Quindi m g = 50 x 8,7 ≈ 435 N

La Terra non e inerziale perche ruota intorno al suo asse.

w ≠ 0 = 2π / T = 2π / 24 h

g' = g - w² h

h = R_T cos α

w² h = w² R_T cos α

Eccezione:

Equatore = w² R_T ≈ 3,3 * 10^-2 m / s²

_F = - G M_p M_s / r² r^

FORZE CENTRALI:

e_s = r x M_p v = r M_p v k

MOMENTO ANGOLARE

d e_s / dt = m_s

m_s = r x F = r x - G M_p M_s / r²

SCRIVERE LEGGE DI KEPLERO

AREA

A = 1/2 r dr sin₂

dA / dt alpha e_s

dA / dt = 1/2 r v sin alpha = cost

TERZA LEGGE DI KEPLERO

T² / a³ = costante ; F = M p a

G M_p M_s / r² r^ = M_p a = - M_p w² r r^

w² = G M_s / r³ -> (2T)² / T² = G M_s / r³ -> T² / r³ = 4T² / G M_s

Se la forza e conservativa - L_AB = - Delta U = U_A - U_B, dato l'espressione della forza F = - G M_T m / r² (si mostra!)

Per trovare l'energia potenziale gravitazionale:

L_AB = int da A a B F prod d s = int da A a B - G M_T m / r² r prod d s =

= - G M M_T int da A a B d s cos alpha / r² = - G M M_T int da A a B d r / r² = - G M M_T [ - 1 / r ] da A a B =

- G m M_T (- 1 / r_A + 1 / r_B) -> dimostra che e una forza conservativa perche dipende solo dalle sue posizioni quindi posso trovare l'energia potenziale

Quindi: - G m M_T (- 1 / r_A + 1 / r_B) = U_A - U_B => U = - G m M_T / r + cost.

quindi U < 0 se U = 0 => r = infinito

Lancio un oggetto dalla superficie terrestre in modo che si allontani a distanza oo dalla Terra.

A - superficie terrestre => E_A = K_A + U_A

B - distanza oo => E_B = K_B poiche a distanza infinita, l'energia potenziale e 0.

Con E_A = E_B

Quindi: 1/2 m v_e² - G m M_T / R_T = 1/2 m v_B²

Poiche E_A = E_B ed E_B e sicuramente positiva allora lo e anche E_A, quindi:

1/2 m v_e² - G m M_T / R_T ≥ 0

So invece v e maggiore o uguale, occorre calcolare la velocita di lancio (ottengo la velocita di lancio minima se ho "=")

CALCOLO VELOCITA DI LANCIO MINIMA:

1/2 ve² - GM_T/R_T = 0 -> ve = 2GM_T/R_T

ve = 11200 m/s = 11200 . 10³ km/s / 1/3600 = 40.000 km/h

VELOCITA DI FUGA

velocita di lancio necessaria perche un oggetto di massa m vinca la forza di attrazione gravitazionale e vada all'infinito

STUDIARE MOTO OGGETTI IN ORBITA

-GM_Tm_sr^ / r² = m a -> -GM_Tm_s / r² r^ = -m_sv²/r r^

acc. centripeta

v²_c = -v²/r

ORBITA CIRCOLARE

Quindi: GM_T/r = v² -> v = sqrt(GM_T/r)

ESERCIZIO

Un satellite geostazionario mantiene sempre la stessa posizione rispetto al centro della terra. Determinare il raggio dell'orbita affinche il satellite sia stazionario e la sua velocita.

uso il II principio della dinamica:

-GM_Tm_sr^ / r² = -m_sv²/r

togli i vettori

GM_Tm_s / r² = m_sv²/r -> GM_T/r² = v²/r -> GM_T/r² = 4pi²r²/T² . 1/r

GM_T/r³ = 4pi²/T² -> r³ = GM_TT² / 4pi² -> r = sqrt(GM_TT² / 4pi²)

Poiche sappiamo che il satellite e stazionario allora sappiamo che T = 24h ossia (24 . 3600s) = 8,64 . 10⁴s

Quindi r = sqrt(GM_TT² / 4pi²) = 4,23 . 10⁷m = 4,23 . 10⁴ . 10³ km = 42300 km

v = sqrt(GM_T/r) = sqrt(6,7 . 10^-11 . 6 . 10²⁴ / 4,23 . 10⁷) = sqrt(9,5 . 10⁶) = 3,1 . 10³ m/s ≈ 3100 m/s