Geometria analitica nello spazio

Vettori

Un vettore nel piano o nello spazio è un generatore ordinato assegnato:

1. La lunghezza (modulo o intensità) che è un numero reale va scelto
2. La direzione, ordinata da una retta (rette parallele individuano la stessa direzione)
3. Il verso

Secondo la definizione questi due vettori sono lo stesso vettore.

Nello spazio si fissa un sistema di riferimento e si indica O origine.

OA = BC

Operazioni tra vettori

Somma di due vettori

Def: v = OA w = OB

La somma v + w si può ottenere con la regola del parallelogramma.

Proprietà:

• Associativa: (u + w) + v = u + (v + w)
• Commutativa: u + v = v + u
• Vettore nullo u + o = u
• Vettore opposto v + (−v) = 0

Sottrazione

V − W = V + (−W)

Prodotto

Scalare v vettore t scalare (= numero reale) possiamo definire t . v:

1. Lunghezza: |t| |v|
2. Direzione: la stessa di v
3. Verso: stesso di v se t > 0
4. Verso opposto di v se t < 0

Proprietà t, u ∈ R

• Elemento neutro 1 . v = v
• u . (t . v) = (u.t) . v
• t (u + v) = t . u + t w
• (t + u) v = t v + u v

Vettori

Un vettore nel piano o nello spazio è un segmento orientato caratterizzato da:

1. La lunghezza (modulo o intensità) che è un numero reale non negativo
2. La direzione, individuata da una retta (rette parallele individuano la stessa direzione)
3. Il verso

Secondo la definizione questi due vettori sono lo stesso vettore.

Nello spazio si fissa un sistema di riferimenti e si indica O origine.

\[\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{BC}\]

Operazioni tra vettori

Somma di due vettori

V

La somma v+w si può ottenere con la regola del parallelogramma.

• Associativa: (u+w)+v = u+(w+v)
• Commutativa: u+v = v+u
• Vettore nullo u+0 = u
• Vettore opposto v+(-v) = 0

Sottrazione

V-W = V + (-W)

Prodotto

• Lunghezza: |t| |v|
• Direzione: la stessa di V
• Verso: stesso di v se t>0; opposto di v se t<0
• Proprietà: \(\lambda, t \in \mathbb{R}\)
• Elemento neutro: 1.v = v
• Associativa (t.v) = (s.t).v
• Distributiva t(v+w) = t.v + t.w
• Distributiva (r+s)v = r.v + s.v

Definizione di versore

Un vettore unitario si chiama versore, cioè V è un versore se |V| = 1.

Dato un vettore qualsiasi

vers(w) = W / |W|

Vettori nel piano

A è un punto nel piano di coordinate (x_A, y_A)

Posso associare ad A il vettore V = OA

V = (x_A, y_A)

I numeri x_A, y_A si dicono componenti scalari di V

Lunghezza OA = |V| = √(x_A² + y_A²)

P(a; b)   Q(c; d)

PQ = (c-a; d-b)

Considerati due vettori

u = (x₁; y₁)   v = (x₂; y₂)

u + v = (x₁ + x₂; y₁ + y₂)

u - v = (x₁ - x₂; y₁ - y₂)

t · u = (t · x₁; t · y₁)

i = (1; 0)   j = (0; 1)   vettori con gli assi e lunghezza 1

i e j sono ortogonali tra loro.

Oltre v = (x; y), v si può rappresentare come somma di i e j moltiplicandoli per opportuni scalari:

infatti v = (x; y) = x i + y j

Tutto questo discorso si può estendere allo spazio

V = x i + y j + z k

V₁ = (x₁, y₁, z₁) V₂ = (x₂, y₂, z₂)

V₁ ± V₂ = (x₁ ± x₂, y₁ ± y₂, z₁ ± z₂)

t·V₁ = (t·x₁, t·y₁, t·z₁)

Combinazione lineare di vettori

ex.v = (3, 4, 5) w = (1, 2, 6)

5 v + 6 w = 5 (3, 4, 5) + 6 (1, 2, 6) = (15, 20, 25) + (6, 12, 36) = (21, 32, 61) = u

u è combinazione lineare dei vettori v e w.

Consideriamo k vettori v₁, v₂, ..., v_k

Siano α₁, α₂, ..., α_k k scalari

Il vettore w = α₁ v₁ + α₂ v₂ + ... + α_k v_k si chiama combinazione lineare di vettori v₁, ..., v_k con coefficienti α₁, ..., α_k

Vettori linearmente dipendenti/indipendenti

I vettori v₁, v₂, ..., v_k si dicono linearmente dipendenti se almeno uno di essi si può esprimere come combinazione lineare degli altri vettori.

ex. v = (3, 4, 5) w = (1, 2, 6) u = (21, 32, 61)

Sono linearmente dipendenti: 5 v + 6 w = u

Non si riesce a fare la combinazione lineare nel caso:

i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1)

perché i, j, k sono linearmente indipendenti.

V₁, v₂, ..., v_k si dicono linearmente indipendenti se:

α₁ v₁ + α₂ v₂ + ... + α_k v_k = 0 ⇒ α₁ = α₂ = ... = α_k = 0

Prodotto scalare

Dati due vettori V e W

Il loro prodotto scalare (o interno), denotato V·W oppure <V,W>, è assegnato dalla formula V·W = |V|·|W|·cosα dove α è l'angolo formato da V e W (0 < α ≤ π)

Osserviamo che V·W ∈ ℝ

Proprietà

• Commutativa: V·W = W·V
• Distributiva: u·(v+w) = u·v + u·w
• t∈ℝ (t·V)·W = t(V·W)

Osserviamo subito che V ⟂ W V·W = 0

Il prodotto scalare dà informazioni sulla perpendicolarità

Proiezione:

V vettore r retta orientata

V·^r = |V|·|^r|·cosα = |V|·cosα = |proiezione di V su r|

_{(proiezione) = (V·^r)/|^r|} ^r verso della proiezione

Il verso della proiezione di V su r dipende da α

Nel piano:

i = (1,0) j = (0,1)

^i·^j = 0

^i·^i = 1 ^j·^j = 1

Dati due vettori V = (x₁, y₁) = x₁ i + y₁ j

W = (x₂, y₂) = x₂ i + y₂ j

V·W = (x₁ i + y₁ j) · (x₂ i + y₂ j) = (x₁ x₂) i·i + i·(x₁ y₂) i·j + (x₂ y₁) j·i + (y₁ y₂) j·j = x₁ x₂ + y₁ y₂

V·W = x₁ x₂ + y₁ y₂

Prodotto vettoriale

Dati due vettori v e w nello spazio il loro prodotto vettoriale, v × w, è il vettore definito come:

1. Lunghezza: |v × w| = |v| |w| sinα
2. Dove α è l’angolo formato da v e w (0 ≤ α ≤ π)
3. Direzione: v × w è perpendicolare al piano formato v e w
4. Verso: v, w e v × w formano una terna destrorsa di vettori

Proprietà

1. Anticommutativa: v × w = - w × v
2. Distributiva: u × (v + w) = u × v + u × w
3. t ∈ ℝ (t v) × w = t (v × w)

Osservazione

|v × v| = |v| |v| sin 0 = 0 ———> v × v = 0

Parallelismo

v || w ⇔ v × w = 0

|v × w| = |v| |w| sinα

la lunghezza di v × w è uguale all’area del parallelogramma costruito su v e w.

Versori

i, j, k

i × i = 0

i × j = k

i × k = -j

j × i = -k

j × j = 0

j × k = i

k × i = j

k × j = -i

k × k = 0

Prodotto vettoriale per componenti

v = (x₁, y₁, z₁)

w = (x₂, y₂, z₂)

v × w = (x₁ i + y₁ j + z₁ k) × (x₂ i + y₂ j + z₂ k) =

= (x₁ i) × (x₂ i) + (x₁ i) × (y₂ j) + (x₁ i) × (z₂ k) + (y₁ j) × (x₂ i) +

+ (y₁ j) × (y₂ j) + (y₁ j) × (z₂ k) + (z₁ k) × (x₂ i) + (z₁ k) × (y₂ j) +

+ (z₁ k) × (z₂ k)

v × w = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)

Prodotto misto

Siano u, v, w tre vettori nello spazio il prodotto misto è definito u · (v × w) che è uno scalare.

u · v × w non c'è ambiguità (primo prodotto vettoriale tra vettori)

Si può mostrare che u · (v × w) = w · (u × v) = v · (w × u)

Prodotto scalare → numero → ortogonalità e proiezione

Prodotto vettoriale → vettore → parallelismo e area

Geometricamente u · (v × w)

u · (v × w) = |u| |v × w| cos θ

|u| cos θ = h

u · (v × w) = |u| cos θ |v × w| → volume

Volume del parallelepipedo costruito sui vettori u, v, w

u · (v × w) = 0 quando u ∈ v × w (u giace nel piano di v × w)

u · (v × w) = 0 ⟺ u, v, w sono complanari

Prodotto misto per componenti:

u = (u₁, u₂, u₃)

v = (v₁, v₂, v₃)

w = (w₁, w₂, w₃)

u · (v × w) = u₁ (v₂w₃ - v₃w₂) + u₂ (v₃w₁ - v₁w₃) + u₃ (v₁w₂ - v₂w₁)

Geometria analitica

Una retta nello spazio è individuata da:

• A) Un punto e un vettore direzione
• B) Due punti
• C) Due piani non paralleli di cui la retta è intersezione

a)_P0(x₀, y₀, z₀) _V (a, b, c) non nullo

Vogliamo scrivere l'equazione della retta passante per _P0 e parallela a _V

_P(x, y, z) punto generico sulla retta _OP = t_V

Un generico punto _P0 si trova aggiungendo al vettore _OP0 un opportuno multiplo di _v cioè t_v

_OP = _OP0 + t_V dove t ∈ R equazione parametrica vettoriale

x = x₀ + t ∙ a

y = y₀ + t ∙ b

z = z₀ + t ∙ c

t ∈ R

Se a ≠ 0 b ≠ 0 c ≠ 0 si può eliminare il parametro t

x - x₀ = t

y - y₀ = t

z - z₀ = t

=>

x - x₀/a = y - y₀/b = z - z₀/c equazione cartesiana della retta

Se un coefficiente è nullo (a = 0) => x = x₀ y - y₀/b = z - z₀/c

b)_P0(x₀, y₀, z₀) _P1(x₁, y₁, z₁)

Mi servono un punto e un vettore direzione

_P0 = (x₀, y₀, z₀) _V = (x - x₀, y - y₀, z - z₀) vettore direzione

x = x₀ + t (x₁ - x₀)

y = y₀ + t (y₁ - y₀)

z = z₀ + t (z₁ - z₀)

Parallelismo e ortogonalità

Due rette sono parallele se i loro vettori direzionali sono paralleli

ossia: i loro vettori direzionali sono linearmente dipendenti:

V₀ = (a, b, c) V₁ = (a₁, b₁, c₁)

^a₁/_a = ^b₁/_b = ^c₁/_c

V₀ = λV₁ cioè (a, b, c) = (λa₁, λb₁, λc₁) λ ≠ 0 λ reale

Vettori direzionali linearmente dipendenti => rette parallele

Le rette sono ortogonali se lo sono i loro vettori direzionali cioè se V₀·V₁ = 0

ossia se (a, b, c) · (a₁, b₁, c₁) = aa₁ + bb₁ + cc₁ = 0

Piani

Un piano è individuato da:

1. Un punto e un vettore ortogonale al piano stesso
2. Tre punti
3. Due rette incidenti

d) P₀ = (x₀, y₀, z₀) n(a, b, c)

P = (x, y, z)

Considero il vettore _P0^P = (x-x₀, y-y₀, z-z₀) (ortogonale a n)

Dunque l'equazione del piano:

n · _P0^P = 0 a (x-x₀) + b (y-y₀) + c (z-z₀) = 0

A_x + B_y + C_z = d d = ax₀ + by₀ + cz₀

Osservazioni

1. Se a² + b² + c² = 1 => ⁿ/‿ versore: a, b, c sono detti coseni direttori del piano
2. Se d = 0 => il piano passa per l'origine
3. Se a = 0 v b = 0 v c = 0 => il piano è parallelo all'asse del parametro uguale a 0
4. Se 2 coefficienti sono nulli => il piano è parallelo a uno dei piani coordinati

(e)V = _P0_P1 = (x - x₀, y - y₀, z - z₀)

W = _P0_P2 = (x₂ - x₀, y₂ - y₀, z₂ - z₀)

Poniamo n = V x W (n ortogonale al piano per definizione)

L’equazione del piano n · _P0_P = 0

(y x w) · (x - x₀, y - y₀, z - z₀) = 0

(f)Vengono date due rette

P = P₀ + t v Q = P₀ + w

due rette incidenti ma distinte (cioè v e w sono linearmente indipendenti)

Casore scalente v · p · (v x w) = 0

Parallelismo e ortogonalità

Due piani sono paralleli se i loro vettori normali sono paralleli

cioè a₁x + b₁y + c₁z = d

n₁ = (a₁, b₁, c₁)

Due piani sono ortogonali se i loro vettori normali sono ortogonali, cioè se:

(a₁, b₁, c₁) · (a₂, b₂, c₂) = 0