Funzioni matlab

Riassunto funzioni MATLAB prese da slide e teoria

• Aritmetica: 2
• Sistemi lineari: 5
• Autovalori, autovettori singolari di matrici: 9

Aritmetica

Definizioni e teoria

• Rappresentazione floating point: A = (-1)^s * p N^q, N è la base, è normalizzata se: p è compreso tra N^-1 e 1; in tal caso q è l’esponente di a, p è la mantissa, N^-1 < p < 1. p può avere al massimo t cifre nel sistema in cui è rappresentato, L <= q <= U, L < 0 e Q > 0.
• Numeri di macchina: i numeri con mantissa ed esponente esattamente rappresentabili negli spazi a loro riservati nel calcolatore.
• Regione underflow: l’insieme dei numeri reali appartenenti a (-m, m), con m = t*N^L.
• Regione overflow: l’insieme dei numeri reali appartenenti a (-infinito, -M) U (M; + infinito), M = t*N^U.
• Tecnica di arrotondamento: la mantissa p viene approssimata a quella più vicina e se p è equidistante da due mantisse di macchina allora p viene approssimata con quella delle due che ha ultima cifra pari.
• Errore assoluto: ex = | x - x tilde |.
• Errore relativo: | x - x tilde | / |x|, anche scritto come errore assoluto / |x|. Se x non è un numero ma una funzione, x tilde è una sua approssimazione; in questo caso il valore assoluto diventa una norma.
• Errore di arrotondamento: l’errore che si commette quando si sostituisce il numero reale con il corrispondente numero di macchina.
• Epsilon di macchina: eps = N^1-t, |E| <= |Em|.
• Precisione di macchina: diversa da epsilon, em = ½*N^1-t → eps/2, è una costante caratteristica di ogni aritmetica floating point.
• Le operazioni di macchina sono riconosciute per avere un cerchio intorno al simbolo dell’operazione, e associa a due numeri di macchina un terzo ottenuto arrotondando l’esatto risultato del procedimento preso in esame: quindi se si sommano due numeri a1 e a2 con una somma diretta il risultato sarà compreso tra di essi, se a1 è molto maggiore di a2 → |a2| < |a1| eps, la loro somma sarà uguale a a1. Nel caso della sottrazione a1-a2, con a1 e a2 diversi tra loro ma non rientranti nel caso precedente: a1-a2 = (a1-a2)*(1+epsilon-).
• Espressioni equivalenti nell’aritmetica dell’operatore: | e1 tilde - e2 tilde | / | e1 tilde|, oppure sotto ci può essere |e2 tilde|. Sono definite equivalenti se forniscono risultati che differiscono per una tolleranza relativa dell’ordine della precisione di macchina o minore.
• Cancellazione numerica: consiste in una perdita delle cifre di mantissa e si verifica quando si eseguono operazioni di sottrazione tra due numeri di macchina dello stesso segno, simili di valore e almeno uno dei quali sia affetto da arrotondamento (s1 = s2, q1 = q2 e simili).
• Problema ben condizionato: se l’errore relativo di y è dello stesso ordine di grandezza di x.
• Algoritmo numericamente stabile = se l’errore relativo associato al risultato y tile ha lo stesso ordine di grandezza della precisione di macchina o minore.

Formule

• Numeri maggiori di zero: N-1*(N*(t-1)) * (U-L+1).
• Numeri maggiori di 1 in valore assoluto: N-1*(N*(t-1)) * (U-L).

Comandi e teoria

• realmin = fornisce il più piccolo valore di macchina positivo: 2,2*10^-308.
• realmax: fornisce il più grande numero di macchina positivo: 1,8*10³⁰⁸.
• eps: fornisce l’epsilon di macchina: 2,2*10^-16, quindi la precisione di macchina è la metà: 1,1*10^-16.

Basi ripasso

• linspace: linspace(x1,x2,n) genera n punti, la spaziatura tra di loro è (x2-x1)/(n-1), se n non è specificato, assume 100 come valore standard, è simile a : ma permette di controllare direttamente il