Formulario esame Curve e superfici per il design

Trigonometria

• Sen a = b/c
• Cos a = a/c
• Tg a = b/a
• A = 1/2 det [xa ya 1 / xb yb 1 / xc yc 1]

Vettori

• AB = [xB - xA / yB - yA / zB - zA]
• Versore - v^ = 1/|v| v
• Prodotto scalare - a . b = [ax ay az] [bx by bz] = ax bx + ay by + az bz
• Prodotto vettoriale - a x b = [aybz - azby / azbx - axbz / axby - aybx]
• A x b = - b x a
• Proiezione su direzione altro vettore - ba^ = a^ . b

Matrici

• Anxm
• Prodotto - Amxn . Bpxq - se n=p
• [1 2 3 / 0 -1 0] [1 0 / 3 5 / -4 0] = [7 -2 / 3 -5]
• 1+6+0=7
• 0+10-12=-2

Determinante (Anxn)

• A1x1 = [a11] => Det(A) = a11
• A2x2 = [a11 a12 / a21 a22] => Det(A) = a11 . a22 - a12 . a22
• Anxn => Det(A) = sum (-1)^i+j . aij . Det(Aij) -> fisso i

Trasformazioni

• Identità - I = [1 0 / 0 1] -> I . v = v
• Scaling uniforme -> S = [k1 0 / 0 k1]
• Scaling non uniforme -> S = [k1 0 0 / 0 k2 0 / 0 0 k3] -> |Det(S)| = A'/A
• Rotazione - 2D -> R = [cos theta -sen theta / sen theta cos theta]
• 3D -> Rx = [1 0 0 / 0 cos theta -sen theta / 0 sen theta cos theta]
• Ry = [cos theta 0 sen theta / 0 1 0 / -sen theta 0 cos theta]
• Rz = [cos theta -sen theta 0 / sen theta cos theta 0 / 0 0 1]
• Riflessione - R = I - 2n^n^T -> simmetrica A=A^T
• Proiezione - P = I - n^ . n^T
• Taglio - T = [1 m / 0 1]
• Traslazione - OP' = OP + t
• 2D -> [xp + tx / yp + ty]
• 3D -> [1 0 0 tx / 0 1 0 ty / 0 0 1 tz / 0 0 0 1]

Retta

• X = dt
• Dati P e Q -> x = dt + OP = (OP - OQ)t + OP

Circonferenza

• 2D -> x = Rcost
• Y = Rsent
• 0<t<2pi
• 3D -> x = Rcost
• Y = 0
• Z = -Rsent

Curve

• Ellisse -> x = acost
• Y = bsent
• Spirale -> x = tcost
• Y = tsent
• 0<t<6pi
• Elica cilindrica -> x = Rcost
• Y = Rsent
• Z = ct
• Elica conica -> x = atcost
• Y = atsent
• Z = ct

Superfici parametriche

• Piano -> x = d1t + d2s (+ OA)
• Normale -> N = det [i j k / xv1 yv1 zv1 / xv2 yv2 zv2]
• V1 = coefficienti t
• V2 = coefficienti s
• Cono -> x = atcost
• Y = atsent
• Z = bt
• Sfera -> x = Rcoso cosphi
• Y = Rseno
• Z = -Rcoso senphi
• 0< phi <pi
• Cilindro -> x = Rcoso
• Y = Rseno
• Z = t

Curve Bezier

• 2 punti controllo -> x = dt + traslazione = (P1 - P0)t + P0 = P0(1-t) + P1t -> 0<t<1
• 3 punti controllo -> x = P0(1-t)² + P1 2(1-t)t + P2t²
• 4 punti controllo -> x = P0(1-t)³ + P1 3(1-t)²t + P2 3(1-t)t² + P3t³
• Raccordo -> tg= grad curva (Pm-Pm) -> C'(tg4), G'(tg1=tg2), C'(tg=-)

Trigonometria

• Sen alpha = b/c
• Cos alpha = a/c
• Tg alpha = b/a
• A = 1/2 det [xA yA 1xB yB 1xC yC 1]

Vettori

• AB = [xByBzB] - [xAyAzA]
• Versore - v = 1/|v| v
• Prodotto scalare = a . b = [aXaYaZ] [bXbYbZ] = aX . bX + aYbY + aZbZ
• Prodotto vettoriale = a x b = [aYbZ - aZbYaZ.bX - aXbZaX.bY - aYbX]
• A x b = - b x a
• Proiezione su direzione altro vettore = ba = a . b

Matrici

• Anxm
• Prodotto - Amxn . Bpxq - se n=p = [1 2 30 -1 0] [135-4] = [7 -23 -5]
• 1+6+0=7
• 0+10-12=-2

Determinante (Anx n)

• A 1x1 = [a11] => Det(A) = a11
• A 2x2 = [a11 a12a21 a22] => Det(A) = a11 . a22 - a12 . a22
• Anxn => Det(A)= sum from j=1 to n (-1)^i+j . aij . Det(Aij) - fisso i

Trasformazioni

• Identità - I = [1 00 1] - I . v = v
• Scaling uniforme - S = [k1 00 k1]
• Scaling non uniforme - S = [k1 0 00 k2 00 0 k3] - Det(S) = A'/A
• Rotazione 2D - R = [cos theta -sen thetasen theta cos theta]
• 3D - Rx = [1 0 00 cos theta -sen theta0 sen theta cos theta]
• Ry = [cos theta 0 sen theta0 1 0-sen theta 0 cos theta]
• Rz = [cos theta -sen theta 0sen theta cos theta 00 0 1]
• Riflessione - R = I - 2n^n^T - simmetrica A=A^T
• Proiezione - P = I - n^n^T
• Taglio - T = [1 m0 1]
• Traslazione - OP' = OP + t
• 2D - [xp + txyp + ty1]
• 3D - [1 0 0 tx0 1 0 ty0 0 1 tz0 0 0 1]

Retta

• X = dt
• Dati P e Q - x = dt + OP = (OP - OQ)t + OP

Circonferenza

• 2D - x = Rcost
• Y = Rsent
• 0 <= t <= 2pi
• 3D - x = Rcost
• Y = 0
• Z = -Rsent

Curve

• Ellisse - x = acost
• Y = bsent
• Spirale - x = tcost
• Y = tsent
• 0 <= t <= 6pi
• Elica cilindrica - x = Rcost
• Y = Rsent
• Z = ct
• Elica conica - x = atcost
• Y = atsent
• Z = ct

Superfici parametriche

• Piano - x = d1 t + d2 s (+ Oa)
• Normale - n = det [i j kxv1 yv1 zv1xv2 yv2 zv2]
• V1 = coefficients t
• V2 = coefficients s
• Cono - x = atcost
• Y = atsent
• Z = bt
• Sfera - x = Rcoso cosphi
• Y = Rseno
• Z = -Rcoso senphi
• 0 <= phi <= pi
• Cilindro - x = Rcoso
• Y = Rseno
• Z = t

Curve Bezier

• 2 punti controllo - x = dt + traslazione = (p1 - p0)t + p0 = p0(1-t) + p1t - 0 <= t <= 1
• 3 punti controllo - x = p0(1-t)² + p1 2(1-t)t + p2 t²
• 4 punti controllo - x = p0(1-t)³ + p1 3(1-t)²t + p2 3(1-t)t² + p3 t³
• Raccordo - tg = grado curva: (PM - Pm) - c'(tg4), G'(tg1-tg2), C'(tg-)