Formulario esame Curve e superfici per il design

TRIGONOMETRIA

senα = b/c

cosα = a/c

tgα = a/b

A = 1/2 det [xa ya 1][xb yb 1][xc yc 1]

VETTORI

• VERSORE _u = [x/|v|][y/|v|]

• PRODOTTO VETTORIALE → a x b = [a₂bx - a₁b₂][a₁b₂ - a₂b₁]

• PRODOTTO SCALARE → a ∙ b:a₁b₁ + a₂b₂

• PROIEZIONE SU DIREZIONE ALTRO VETTORE → b_a = ^ba ∙ b

MATRICI

• PRODOTTO A_nxm • B_mxp → se n=p → [a₁ a₂]•[b₁ b₂]=|1 ⁺ 6 ⁺ 0 7||0 ⁺ 10 ^- 12 ^- 2|

• DETERMINANTE (A_nxn) = Det(A_ij) = ai1a₁₁ - ai2a₂₂ - ai3a₃₂

A_2x2 = [a₁₁ a₁₂][a₂₁ a₂₂]→ Det(A) = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₂

_Anxn = Det(A_ij) = (-1)^i+j Det(a_ij): ai

TRASFORMAZIONI

• IDENTITA’ → I = [1 0] → I_v = v[0 1]

• RIFLESSIONE → R = I - 2^n^n^t^ → simmetrica A = A^t^

• SCALING UNIFORME → S = [x₀ 0][0 y₀]

• PROIEZIONE → P = I - ^n^n

• SCALING NON UNIFORME → S = [k₀ 0][k₀ K₃] → |Det(S)|= A’/A

• TAGLIO → T = [1 m][0 1]

• ROTAZIONE2D = R [cosθ ^- senθ][senθ cosθ]

• TRASLAZIONE → C^p + C ∙ p + t ▶ 2D = [xp + tx][yp + ty][1]

3D = R_x = [1 0 0 0][0 cosθ ^- senθ 0][0 senθ cosθ 0][0 0 0 1]R_Ψ = [cosθ 0 ^-senθ 0][0 1 0 0][senθ 0 cosθ 0][0 0 0 1]

R_z = [cosθ ^-senθ 0 0)][senθ cosθ 0 0 ][0 0 1 0][0 0 0 1]

RETTA

y = x + qt

• DATI P e Q ⟹ y_a = d_t + q

ω ^- ѱ + q^pω ⁺ ѱ

• CIRCONFERENZA 2D → [x= R cosθ][y= R senθ]0 _{≤ t ≤} 2П

3D = [x = R cosθ][y = R sinθ][z = a t]

• ELISSE → [x = a cosθ][y = b senθ]

• SPIRALE → [x= t cosτ][y= t senτ]0 _{≤ t ≤} 6Π

• ELICA CILINDRICA → [x = R cosθ][y = z senθ][z = c t]

• ELICA CONICA → [x = a/c cosθ][y= o h senθ][z = ct]

SUPERFICI PARAMETRICHE

• PIANO → χ = dt + d + (n^A)normale ➔ n' = det |v_{2/обозначения} u_{2/обозначения} v_{3/обозначения}|

• SFERA → [x = R cosθ sin

θ]

• CILINDRO → [x= R cosθ

CURVE BEZIER

• 2 PUNTI CONTROLLO → x = dt + traslazione = (p₁ - p₀)t + p₀ = p₀(1-t+1)p₁ 0 _{≤ t ≤} 1

• 3 PUNTI CONTROLLO → x = p₀(1-t)²

+ p₁(t)2(1-t)t+p₂t²

• 4 PUNTI CONTROLLO → x = p₀(1-t)³+ 3(1t-t)²(c_3(t))t²

+ 3(1-t)(2)t² + p₂t³

• RACCORDO → Т ^g = g