Appunti esame Curve e superfici per il design

Insiemi

• Naturali -> N (1, 2, 3...)
• Relativi -> Z (-1, 2, 3...)
• Razionali -> Q (1/2, 1/100...)
• Irrazionali -> I (sqrt(2), pi...)
• Reali -> R

Sistemi di coordinate

Caso 1D = monodimensionale

1) Caso 1D = monodimensionale -> retta orientata -> tutto si colloca su una retta.

Posizione P -> serve: direzione retta, origine -> ci si muove in verso + o -.

Unità -> |m| = 1.

Descritta da xp ∈ R -> xp = 2.

Distanza PO = |xo - xo|.

Caso 2D

2) Caso 2D -> piano -> 2 rette orientate che si intersecano.

Coordinate P (xp, yp) -> P(2, 3).

Distanza PO -> teorema Pitagora -> OP = sqrt(xp² + yp²).

PQ = sqrt((xp - xo)² + (yp - yo)²).

M (punto medio) -> M((xp + xo)/2, (yp + yo)/2).

Caso 3D

3) Caso 3D -> spazio -> 3 assi.

Distanza PO = sqrt(xp² + yp² + zp²).

Trigonometria

Angolo -> porzione piano fra 2 rette.

Notevoli -> 0° (0), 90° (pi/2), 180° (pi), 360° (2pi).

Misurazione -> gradi.

Radianti -> 8rad : 2pi = 0grad : 360°.

Angolo di un triangolo rettangolo

Abc e def sono simili.

Proprietà -> b/c = e/f = sen d c/a = f/d = cos d b/a = e/d = tg d x Pitagora -> a² + b² = c² -> c² sen²d + c² cos²d = c² -> AB + CB = (A+C)B.

c²(sen²d + cos²d) = c².

sen²d + cos²d = 1.

tg d = e sen d / e cos d = sen d / cos d d arcen sen d.

Insiemi

• Naturali -> N (1, 2, 3...)
• Relativi -> Z (-1, 2, 3...)
• Razionali -> Q (1/2, 11/100...)
• Irrazionali -> I (sqrt(2), pi...)
• Reali -> R

Sistemi di coordinate

di riferimento.

Caso 1D = monodimensionale

1) Caso 1D = monodimensionale -> retta orientata -> tutto si colloca su una retta.

Posizione P -> serve: direzione retta origine - ci si muove in verso + o -.

Unità = 1.

Descritta da xp in R -> xp = 2.

Distanza PO = |xP - xQ|.

Caso 2D

2) Caso 2D -> piano -> 2 rette orientate che si intersecano l.

Coordinate P (xp, yp) -> P(2,3).

Distanza PO - teorema Pitagora -> OP = sqrt(xP² + yP²).

PQ = sqrt((xP-xQ)² + (yP-yQ)²).

M (punto medio) -> M ((xP+xQ)/2, (yP+yQ)/2).

Caso 3D

3) Caso 3D -> spazio -> 3 assi.

Distanza PO = sqrt(xP² + yP² + zP²).

Trigonometria

Angolo -> porzione piano fra 2 rette.

Notevoli -> 0° (0), 90° (pi/2), 180° (pi), 360° (2pi).

Misurazione -> gradi.

Radianti -> 2pi : 2pi = 360°.

Angolo di un triangolo rettangolo

Abc e del sono simili.

Proprietà -> b/c = e/f = sen d a/c = d/f = cos d b/a = e/d = tg d.

Pitagora -> a²+b²=c² -> c²sen²d + c²cos²d = c².

c²(sen²d + cos²d) = c².

sen²d + cos²d = 1.

tg d = sesso/sen d.

arcsen -> sen a.

Seno - coseno - tangente

f(xp, yp) -> sen a = yp / 1 = yp.

OP = r = 1.

cos a = xp / 1 = xp.

tg a = sen a / cos a = yp / xp.

• 1° quadrante sen a > 0 cos a > 0
• 2° quadrante sen a > 0 cos a < 0
• 3° quadrante sen a < 0 cos a < 0
• 4° quadrante sen a < 0 cos a > 0

Riduzione degli angoli al 1° quadrante

Secondo quadrante

1) Secondo quadrante.

OPH = OP'H -> POH = P'OH -> beta = delta = 180° - a.

sen beta = yP' = yP = sen.

HP' = HP.

OQ = HP'.

HP = OS.

cos beta = xp' = -xp = -cos a.

Terzo quadrante

2) Terzo quadrante.

delta = theta.

OP = OP'.

O'PÕ = O'P'Q' (lati opposti interni).

OPR = OP'Q' -> P'O' = PO = -xp.

OO' = OQ = -yp.

sen beta = yP' = -yp.

cos beta = xp' = -xp.

beta = a - 180° -> sen beta = sen (a - 180°).

cos beta = cos (a - 180°).

Quarto quadrante

3) Quarto quadrante.

gamma = 360° - a.

sen (360 - a) = - sen a.

cos (360 - a) = cos a.

• 2° quadrante sen a = sen(180° - a) - cos(180° - a)
• 3° quadrante sen a = sen(a - 180°) - cos(a - 180°)
• 4° quadrante - sen(360 - a) cos(360 - a)

Vettori

Grandezze scalari - eta; massa, temperatura... descritte da un numero.

Grandezze vettoriali - spostamento, velocità, forza...

Vettore - rappresentato con una freccia e si indicano con lettere minuscole (a, b, c).

Ha: direzione = retta su cui giace vettore verso = senso della freccia modulo = lunghezza (|v|).

Lunghezza vettore - applico v nell'origine.

1) Bidimensionale.

v = [vxvy] = [1/22].

Componenti del vettore.

Vettori || se a