Fluidi

Fluidi

04/04/XX_{atomi molecole}

Corpo rigido

• Elastici lineare
• Elastici non lineare
• Viscoso
• Liquido viscoso
• Liquidi ideali
• Gas reali
• Gas perfetti

d_B/dt = _R^(e)

d_B/dt = _R^(e)

d_Q/dt = _R^(e)

Equazioni di Navier-Stokes

Equazioni di Eulero

Equazioni di Van der Waals

Per poter passare al macroscopico a partire dagli atomi, ho bisogno di relazioni costitutive.

Meccanica statistica → mi aiutano a cercare relazioni costitutive tra atomi.

Liquidi → dal punto di vista meccanico è un sistema continuo (descrivo da Dante (x, y, z, t)), che esercita solo forze normali.

Identità pressione

Unità di misura = _F/A = N/m² = Pa

Statica dei fluidi

→ non c'è il tempo.

∍ _R^(e) ∮ = _R^(e)

Somma delle forze = 0

Δm = ρ ΔV = ρ Δx Δy Δz

F_E = (F_X, F_y, F_Z)

F_X = G_X Δm

g_X ≅ ΔF_X/Δm

Bilancio forze pressore

Non surf. pressione x): -ρ [(x + Δx, y, z) Δy ΔZ + ρ(x,y,z) Δy Δz

Δm = 0

Divido per il volume

-ρ [(x + Δx, y, z) Δy Δz + ρ(x,y,z) Δy Δz + G_X Δx Δy Δz = 0

- Δp/Δx + G_X ρ = 0

- Δp/Δy + G_Y ρ = 0

- Δp/Δz + G_Z ρ = 0

Derivare parzialmente delle pressioni

Equazione di statica dei fluidi

- ∇p + ρ G ≈ 0, va bene per fluidi viscosi e perfetti.

∇ = (d/dx, d/dy, d/dz)

Fluidi

Corpo rigido → Elasto-linear Time → Elasto-non linear Time → Viscop elastico

Liquido visco ≠ Liquido ideale

Gas regoli

Gas perfetti

Equazioni di Navier-Stokes

Viscosità ≠ incompressibili

Equazioni di Eulero

Per poter passare al macroscopico a partire dagli atomi, ho bisogno di relazioni costitutive.

Meccanica statistica → mi aiutano a cercare relazioni costitutive tra atomi.

Liquidi

Dal punto di vista meccanico è un sistema continuo (descrivibile da d(x,y,z,t)), che esercita solo forze normali.

Identità pressione

Unità di misura =F = NA m² = Pa

Statica dei fluidi

G=0

ΣF = 0

Somma delle forze = 0

Δm = φ ΔV = φ Δx Δy Δz

F_x = g_x Δm

F_x = ρ g_x V = E

Bilancio forze assi

➞ non sono pressione

Divido per il volume

Equazione di statica dei fluidi

Pressione

Derivata parziale della pressione

Variazione della pressione

Va bene per fluidi viscosi e perfetti

➞ ∇=

Applicazione

Fluido perfetto → soggetto a forza peso.

x y z (0,0,) (vettore accelerazione)

(Δ = → Δ ) piano paralleli all’asse x,y stesso iso → hanno stress pressione p

dP/dy = 0

dP/dx = 0

La pressione c’è solo su z.

dP/dz - ρg = 0

dP/dz = -ρg

Con l'ipotesi di Stevino P costante e densità μ = 0

dP/dz = -ρg → dP = -ρg dz

ρ P(z0) P(z1)

(∫ dz )

P(z1) - P(z0) = -ρg (z1-z0)

Calcolo della pressione 10 m in fondo al mare

P0 = pressione atmosferica = 101300 Pa

P1 = P0 + ρgh

9.81 m/s (h = sempre 10 m) densità acqua = 1000 kg/m³

P1 = 201300 Pa ≈ 2 atm

Esperienza di Torricelli

Misura della pressione atmosferica.

(Colonna di sottovuoto = 76 cm = 760 mmHg) immerso nel mercurio Hg.

Con acqua il tubo dovrebbe essere altissimo (11 m).

P0 = patm + ρgh = Patm

P1 = P0 + ρgh = P0 - ρgh

Pressione colonna del fluido = ρgh

Dove h pressione uguale a quella atmosferica.

Spinta di Archimede

Vale anche per corpi semimmersi.

Nelle condizioni statiche il corpo è fermo e subisce una forza che compensa la forza peso → sono le forze di pressione la cui risultante è una spinta verso l’alto → spinta di Archimede.

S = ρ_f V_g k

ρ_f = ρV_g

S = ρ_f V_g k

Problema

Corpo galleggiante sul ghiaccio.

ρ = ρ_A

S = ρ_g h₀

ρ_gh = S + ρ₀ g = ρ_g A h g

S = (ρ_g + ρ₀)g

Area del ghiaccio affinchè esso non affondi.

(p_A - ρ_g)Ahg + S (ρ - ρ_g)v = h

ρ_gA = h₀ / (p_A - ρ_g)

Dinamica dei fluidi

v(x,y,z,t)₁ = ∂v₀ / ∂t

x(t), y(t), z(t)

Lunfrea del fluido

Moto stazionario

v̅(x,y,z) → è una funzione solo della posizione e non del tempo.

Fluido perfetto → viscosità è 0 / densità è costante.

ρ + cost*

Non ci sono Sink e Source.

Se la densità è costante la massa si conserva.

Legge di conservazione della massa

• Il teorema di Leonardo

Teorema di Bernoulli

ΔV = S₁ V₁ Δt = S₂ V₂ Δt = ΔV

F_e = S₁ Δs = P ΔV S₂ V₂ Δt

Applicazione del teorema di Bernoulli nel caso di un fluido fermo → ridiventa legge di Stevino.

V₁, V₂ = 0 Fermo/stat._a

pgh₁ + p = ρgh₂ + p₂

p₁ = p₂ + ρg(h₂ - h₁)

3/2 ρV² + p = cost

Esempio

S = 2 m²

h = 2 m v = 2 cm/s

S = 2 ⋅ 10⁻² m²

3/2 ρV² + p = 0

Incognite

v = ? T = ? Q = ?

Svolgimento

i) ρ = 0 h

ii) ρ = V_F = - ?

Q = ρgh + p = 6/2 = 5

V = √2gh

Approssimativamente: Q = ΔV/Δt ~ Δt = ~ ΔV/Q