Fisica tecnica

Appunti fisica tecnica 2024/2025

Trasmissione del calore: conduzione

Trasmissione di calore all’interno di un corpo solido, avviene per oscillazione delle molecole del solido quando investite da un flusso energetico. Può avvenire anche in fluidi statici (approssimazione).

• Campi termici: composti da linee isoterme e linee di flusso → tubo di flusso.

Il campo termico definisce valori di temperatura e di flusso termico nello spazio. La temperatura è una grandezza scalare mentre il flusso termico è vettoriale.

• Postulato di Fourier: considerando un tubo di flusso, la variazione di calore è proporzionale al tempo, alla superficie attraversata (maggiore superficie maggiore scambio di calore), alla variazione di temperatura (maggiore deltaT, maggiore scambio di calore), ed è inversamente proporzionale alla lunghezza del tratto attraversato. Il coefficiente di conducibilità λ è il fattore di proporzionalità.
• Equazione generale della conduzione: partendo da un volume infinitesimo dV, analizziamo la quantità di calore assorbita dall’elemento lungo i tre assi.

A questo risultato posso applicare il postulato di Fourier, ottenendo le equazioni riportate in seguito. Applico Fourier anche a y e z.

Dopo aver eseguito i calcoli, si ottiene la prima equazione che ci serve per definire l’equazione generale della conduzione. In seguito la metteremo a sistema con la seconda equazione, ovvero la 1° legge della calorimetria.

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Equazione 1

Equazione 2

Posso quindi ottenere l’equazione di Fourier per il campo termico:

Con la seconda si esprime la situazione di regime stazionario, dove dT/dt è nullo.

• Il coefficiente di conducibilità λ rappresenta il calore che attraversa un m² di superficie di un materiale con spessore 1 m, nel tempo 1 s, quando c’è 1°C di differenza di temperatura. Un valore grande indica che il materiale è un buon conduttore di calore. (J/m³*s*K)
• Il coefficiente D di diffusività termica misura la rapidità di un materiale nel trasmettere le variazioni di calore al suo interno. È proporzionale a λ e inversamente proporzionale al prodotto della densità volumica per il calore specifico. Un valore grande indica che il calore si trasmette più velocemente, perché la capacità di trattenere il calore stesso (ργ) perde il confronto con la conducibilità. (m²/s)

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• Parete piana indefinita a uno strato in regime stazionario: possiamo risolvere l’equazione differenziale per il campo termico ottenuta adottando le semplificazioni di: regime stazionario e indipendenza di D dalla temperatura. Si hanno le due condizioni al contorno per x = 0 e per x = s.

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Si è ottenuta la formula per il flusso termico per conduzione in regime stazionario attraverso una parete indefinita piana.

NB: Nel caso multistrato occorre prestare attenzione alla differenza di λ e s.

• Equazione di Fourier in coordinate cilindriche per tubo cilindrico in regime stazionario:

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• Mezzo semifinito con superficie limite piana (parete indefinita in larghezza e altezza).

Nella prima figura si osserva la definizione del concetto teorico di mezzo semifinito con superficie limite piana.

Assumiamo che la temperatura esterna sia sottoposta a un flusso di regime variabile con andamento sinusoidale del tipo:

T(0,t) = Tmedia + Θ sin(ωt)0

Nella seconda figura si osserva l’andamento temporale della temperatura, con il grafico rosso che rappresenta il flusso di T(0,t), mentre il grafico nero rappresenta il flusso di T(x,t) con x generica all’interno del mezzo.

Si assiste a uno sfasamento temporale del massimo, che allo stesso tempo subisce uno smorzamento all’attraversare la parete.

Nella terza figura si osserva l’andamento spaziale di T in due istanti di tempo successivi t1 e t2. Assistiamo ancora a uno sfasamento del massimo all’aumentare della x così come a un suo smorzamento che tende a mantenersi all’interno delle due curve esponenziali. All’aumentare di x e t, si stabilizza il regime periodico, con una differenza di temperatura sempre minore.

Avviene un disaccoppiamento dalle condizioni climatiche esterne.

Questo modello teorico può approssimare la reazione di una parete ad una variazione di temperatura perfettamente periodica.

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Convezione

È un fenomeno di scambio termico che avviene tra una superficie solida e il fluido che la lambisce. Il trasferimento di calore avviene attraverso un moto delle particelle del fluido. A seconda dell’origine del moto si classifica in:

• Naturale: le particelle sono messe in moto da cause naturali, come differenze di densità dovute a differenze di temperatura.
• Forzata: il fluido si muove per causa di azioni esterne (pompe, ventilatori, ecc.) in particolare una u (velocità) elevata.

Coefficiente di scambio termico

L’obiettivo è ottenere una espressione analitica per il flusso energetico, ipotizzando una formula del tipo:

q = hc*ΔT dove hc è funzione di:

ρ – densità volumica (influenza la possibilità del moto di formarsi)

cp – calore specifico

μ – viscosità dinamica (dipende dalla velocità)

λ – coefficiente di conduttività (il fluido si comporta come un solido in condizioni di velocità nulla)

l – dimensione principale dove avviene lo scambio termico

uf – velocità del fluido

α*g – coefficiente di dilatazione termica moltiplicato per costante di gravità

ΔT – differenza di temperatura (Tparete – Tfluido)

Teorema di Buckingham

Qualsiasi problema fisico con n grandezze di cui m fondamentali può essere analizzato attraverso n-m parametri adimensionali.

Nel nostro caso n = 9, m = 5 (lunghezza, massa, tempo, Θ flusso, temperatura).

Si introducono quindi i 4 parametri adimensionali caratteristici.

Re è un indice di turbolenza, identifica i casi di convezione naturale (Re bassi) e forzata (Re alti).

Nu misura il rapporto tra convezione e conduzione. Valori alti indicano una prevalenza della prima. È l’unico che include direttamente hc.

Pr confronta diffusività di quantità di moto rispetto al calore. Ovvero indica chi è più rapido tra il fluido stesso e la diffusione del calore al suo interno.

Gr non si calcola se convezione forzata.

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Costruzione dei parametri adimensionali con metodo degli indici

Esempio per la costruzione di Re. Si ottiene un sistema lineare del tipo:

1. r + q – 3p -t = 0

2. – r – t = 0

3. p + t = 0

Dove ogni equazione rappresenta una grandezza fondamentale, con gli indici (r, q, p, t) che sono quelli da determinare per ottenere Re.

Otteniamo quindi:

p = -t

r = p

q = p

Scegliendo q = 1 otteniamo Re = u*l*ρ/μ.

Determinazione di hc nei principali casi di convezione

Convezione forzata:

Flusso termico attraverso una lastra piana a temperatura uniforme con deflusso del fluido parallelo.

• Regime laminare Nu = f(Re, Pr)
• Regime turbolento Nu = C*ReⁿPr^m

Convezione naturale:

Nu = K*Gr^a*Pr^b

Lastre piane verticali:

Per 10⁴ < GrPr < 10⁹

Per 10⁹ < GrPr < 10¹²

Dove Ra = GrPr.

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Strati orizzontali d’aria compresi tra pareti isoterme

• Parete superiore più calda: trasmissione del calore per conduzione, Nu = 1, infatti vale l’uguaglianza.
• Parete inferiore più calda: per 10⁴ < Gr < 4*10⁵.
• Per Gr > 4*10⁵.

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Irraggiamento

L’irraggiamento è un fenomeno di trasmissione del calore che avviene in un mezzo trasparente all’energia raggiante.

L’energia raggiante è l’energia che un corpo emana in virtù della sua temperatura. Tutti i corpi emettono radiazioni con conseguente trasferimento di calore. Queste radiazioni e questo calore sono associati ad onde elettromagnetiche di tipo periodico caratterizzate da un periodo, una frequenza, una lunghezza d’onda λ e una velocità.

• Con riferimento alla teoria ondulatoria, alla propagazione di energia raggiante può associarsi una lunghezza d'onda e una frequenza, fra le quali esiste la relazione: λ*ν = c.

c = velocità della luce = 2,9979*10⁸ m/s

• Le caratteristiche dell'energia raggiante cambiano profondamente al variare del campo di lunghezze d'onda considerato, così come diversi sono i fenomeni fisici associati alla sua propagazione.
• La zona centrale dello spettro, compreso fra 10^-2 e 10² μm, è quella che più direttamente riguarda la trasmissione del calore per irraggiamento.
• Fra 10-1 e 3 μm, è compreso oltre il 90 % della potenza raggiante emessa dal Sole.

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Interazione tra energia raggiante e una lastra piana

Emissione dei corpi

Grandezze fondamentali:

Irradiamento integrale: → potenza emessa per unità di superficie del corpo J = dW/dS (W/m²) → emissione specifica ε.

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Principio di Kirchhoff

• Il principio di Kirchhoff lega le proprietà di emissione ed assorbimento di tutti i corpi.
• La conoscenza della funzione ε0 consente di calcolare, per qualsiasi corpo, l'emissione specifica a partire dal coefficiente di assorbimento a e viceversa.
• Soprattutto la prima delle due possibilità è interessante, dato che le misure dirette di ε sono meno agevoli rispetto a quelle di a.

Il corpo nero

• Un corpo nero è un perfetto emettitore ed assorbitore di radiazione poiché emette la massima radiazione per ogni temperatura e lunghezza d’onda ed assorbe tutta la radiazione incidente su di esso indipendentemente da direzione e lunghezza d’onda.
• In natura non esiste un corpo che si comporti rigorosamente come un corpo nero.

Leggi del corpo nero

Legge di Stefan-Boltzmann

J0 rappresenta la somma della radiazione emessa su tutte le lunghezze d’onda. Si nota una dipendenza da T⁴ che impedisce per il momento una formulazione teorica che combini l’irraggiamento con la conduzione e la convezione.

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Legge di Planck

Fornisce l’emissione specifica del corpo nero, ovvero la potenza radiante emessa per unità d’area in funzione della lunghezza d’onda e della temperatura. Si chiama anche potere emissivo monocromatico, in quanto dipende esplicitamente dalla lunghezza d’onda.

Legge di Wien

Fornisce la lunghezza d’onda dove si ottiene il massimo per il potere emissivo monocromatico.

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Scambio termico tra due corpi perfettamente affacciati

Scambio termico tra due corpi perfettamente affacciati nei casi di: entrambi neri, uno grigio e uno nero, entrambi grigi.

Entrambi neri: la potenza scambiata da S1 è q(S1) = q1 = q2 =

Uno nero e uno grigio: S2 emette sempre q2 ma ora q2’ viene riflessa da S1.

Entrambi grigi: entrambe le superfici riflettono una parte della potenza che ricevono.

Nel caso i due corpi non siano completamente affacciati si introduce un coefficiente di forma F12.

Con α1 e α2 che indicano le proprietà fisiche dei due corpi.

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Effetto serra

Si basa sul concetto di selettività del vetro. Infatti per valori di λ compresi tra 0,1- 0,3 μm il coefficiente di trasparenza del vetro ha il suo valore massimo. La potenza riemessa dagli oggetti nella serra (WR) viene emessa con lunghezze d’onda maggiori (5 - 20 μm), per le quali il vetro si comporta come uno schermo, riflettendo tale potenza di nuovo verso l’interno e generando un sensibile aumento della temperatura.

Modello lineare

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Adduzione

Fenomeno complesso di scambio di calore, è l’insieme di convezione e irraggiamento quando essi sono regolati dalle stesse temperature. Per sviluppare questa teoria occorre ragionare nell’ipotesi di irraggiamento lineare, ovvero di differenza di temperatura modesta.

Quantità di calore scambiata globalmente dalla parete con l’ambiente:

Dove la temperatura media radiante rappresenta la temperatura di un ambiente fittizio termicamente uniforme che scambia con la parete la stessa potenza termica dell’ambiente reale.

k = hc + hr si denomina coefficiente di adduzione (somma tra i coefficienti di convezione e irraggiamento) otteniamo la formula per il flusso termico:

q = K(Tp – Ta)

Trasmittanza di una parete

Quantità di calore (q) scambiata tra due fluidi alle temperature T1 e T2, separati da una parete piana con dimensioni trasversali molto maggiori dello spessore.

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Dove k1 e k2 sono rispettivamente i coefficienti di adduzione dei due fluidi, e λ il coefficiente di conduzione della parete.

La trasmittanza termica indica quanto una parete è in grado di trasferire calore. Maggiore la trasmittanza, minore l’isolamento termico. In questo senso risulta essere l’inverso della Resistenza termica totale R. R = 1/H, il che vuol dire che a maggiore resistenza termica totale si ottiene un minore scambio termico, con conseguente isolamento maggiore.

Parete con intercapedine

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Parete opaca sottoposta a irraggiamento solare

Per studiare questo sistema possiamo usare 2 approcci, il primo detto classico, il secondo detto dell’ambiente fittizio.

Approccio classico

Approccio con ambiente fittizio

Si considera a sinistra un ambiente fittizio il quale scambia con la parete la stessa quantità di calore dell’ambiente reale, ma senza componente di irraggiamento solare (in viola a sx).

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Analisi energetica edificio

• Edificio. Sistema costituito dalle strutture edilizie esterne che delimitano uno spazio di volume definito, dalle strutture interne che ripartiscono detto volume e da tutti gli impianti e dispositivi tecnologici che si trovano stabilmente al suo interno. La superficie esterna che delimita un edificio può confinare con tutti o alcuni di questi elementi: l'ambiente esterno, il terreno, altri edifici. Il termine può riferirsi a un intero edificio ovvero a parti di edificio progettate o ristrutturate per essere utilizzate come unità immobiliari a sé stanti.
• Ambiente climatizzato. Vano o spazio confinato che, ai fini del calcolo, è considerato riscaldato o raffrescato a determinate temperature di regolazione.
• Area climatizzata. Area del pavimento degli ambienti climatizzati, comprendente la superficie di tutti i piani se più di uno, esclusi i piani interrati o altri ambienti non abitabili. Ai fini del calcolo degli apporti termici interni, è intesa al netto delle pareti perimetrali e di tutti i divisori verticali.
• Zona termica (ZT). Parte dell'ambiente climatizzato mantenuto ad una data temperatura uniforme (di set-point) attraverso lo stesso impianto di riscaldamento, raffrescamento o ventilazione