Fisica medica - Programma completo (prima parte)

Scienza e “scienza esatta”

Lezione del 07/11/2022

Sappiamo che le leggi fisiche governano il mondo in cui ci troviamo e dunque governano anche l’organismo. Se noi abbiamo padronanza di queste leggi che governano la natura, possiamo capire quando una legge non viene rispettata a pieno e dove si deve intervenire per rispettare completamente quella legge.

Tutto ciò che ci circonda, la natura e noi compresi, è governato da leggi fisiche.

È indispensabile parlare di fisica anche nell’ambito medico. Ma che differenza c’è? La medicina è semplicemente una scienza, mentre la fisica è una scienza esatta, cioè noi dalla fisica sappiamo che, se conosciamo la causa, conosciamo anche l’effetto, dalla stessa causa ne deriva lo stesso effetto. Invece, nell’ambito della medicina, noi sappiamo che dalla stessa causa possono anche nascere degli effetti differenti perché entra in gioco l’organismo con le proprie caratteristiche, con il proprio metabolismo e con i propri parametri. La medicina però può essere avvicinata ad una scienza esatta, mediante un’altra materia, ovvero la Statistica, perché se da una stessa causa possono esserci vari effetti, noi quegli effetti li andiamo a studiare statisticamente per conoscere quello che è un “trend” comune a tutti questi effetti e quindi avere una visione più ampia degli effetti che possono discendere da una stessa causa e dunque capire quali sono gli effetti comuni e quali meno comuni, per poi agire su quelli comuni.

Metodo sperimentale

Anche per quanto riguarda la fisica in ambito medico è bene definire un metodo sperimentale, proprio perché andremo a studiare di volta in volta dei fenomeni. In passato ogni qual volta si è studiato un fenomeno e le grandezze fondamentali che lo caratterizzavano, e di conseguenza le leggi che legavano le grandezze, si facevano delle ipotesi sul perché un fenomeno naturalmente avveniva e si verificava quell’ipotesi mediante un metodo sperimentale: osservo un fenomeno e mi chiedo quale ne sia la causa; mi studio quali siano le leggi che caratterizzano il fenomeno; rieseguo l’esperimento o il fenomeno e:

• Se è calcolato bene, l’ipotesi è corretta e ne diviene una legge.
• Se è sbagliato, bisogna re-iterare l’esperimento.

Nell’esprimere da un punto di vista fisico quell’ipotesi, la legge fisica, facciamo uso della matematica, andando a scrivere una vera e propria equazione. Come utilizziamo la matematica per esprimere un ipotesi e quindi una legge fisica? Il primo passaggio è conoscere quali sono e come si misurano le grandezze fisiche.

Grandezze fisiche

Quando vado a studiare un fenomeno fisico devo individuare quali sono i caratteri che rappresentano quel fenomeno, ovvero quali sono le grandezze fisiche che entrano in gioco.

Le grandezze fisiche hanno significato se e solo se posso misurarle, ovvero devono essere attribuibili un numero e un’unità di misura.

Ad esempio, vorrei conoscere la lunghezza di un tavolo, e allora devo poter associare un numero e un’unità di misura. Cosa sono questi due parametri?

Unità di misura: è una grandezza omogenea con la grandezza fisica da misurare. Significa che devono essere della stessa tipologia. Vedo quante volte rientra nella grandezza fisica in modo da ricavarne un numero. Un’unità di misura deve essere:

• Internazionale, accessibile a tutti.
• Invariabile nel tempo.

Sono state individuate ben 7 grandezze fisiche fondamentali le quali:

Nell’ambito della fisica è molto importante sapere le convenzioni di scrittura. Se notiamo bene, la grandezza fisica ha un simbolo sempre maiuscolo e cosa più importante deve essere richiusa tra due parentesi quadre, es. lunghezza [L]; invece, quando racchiudiamo una lettera minuscola tra due parentesi normali, ad esempio metro (m), parliamo di unità di misura. Importante ricordare che le unità di misura sono sempre segnate con la lettera maiuscola, tranne nei casi in cui il nome dell’unità di misura si riferisce al nome dello scienziato, es. kelvin (K).

Da queste grandezze fondamentali, se combinate assieme, possono nascere delle grandezze derivate, quali:

Un esempio della grandezza derivata nell’ambito cinematico è la velocità o anche l’accelerazione. La velocità è definita come spazio su tempo, dunque lunghezza su tempo, la sua unità di misura è metri al secondo.

Alcune unità derivate hanno nome proprio, per esempio Pa per Pascal, Hz per Hertz, C per Coulomb ecc…

Angolo e angolo solido

Altre due misure da introdurre sono l’angolo e l’angolo solido. Quando parliamo di angolo solitamente ci riferiamo all’angolo retto, angolo piano, angolo giro… e lo misuriamo in gradi °. In realtà, l’unità di misura dell’angolo è espressa in radianti (rad) e l’angolo è una grandezza fisica adimensionale, ovvero il numeretto che andiamo ad esprimere non è espresso da nessuna unità di misura poiché il radiante è di per sé un numero e non un’unità di misura.

ℓ = ℓ è ℞

Per definizione, l’angolo è quella regione di spazio che è compresa tra due semirette che partono dalla stessa origine O. Per definirlo, posso dire che è un rapporto tra l’arco di circonferenza di raggio R e il raggio R stesso. Questo rapporto è il numero adimensionale che mi esprime la misura dell’angolo. L’arco è una lunghezza, il raggio è una lunghezza, quindi lunghezza su lunghezza mi dà dimensione 0, per questo lo definisco adimensionale.

ℓ 2 = = = 2 : = 2 360

Multipli e sottomultipli

Delle volte nelle grandezze fisiche troviamo grandezze eccessivamente grandi o eccessivamente piccole, di conseguenza è utile andare ad esprimere le grandezze fisiche con la scala dei multipli e sottomultipli.

−6. 0,000001 = 10^-6 = 1

Vediamo la tabella, importante da ricordare:

I vettori

Lezione del 09/11/22

Una grandezza fisica può essere definita come scalare quando può essere caratterizzata da un numero ed ovviamente un’unità di misura. Ci stiamo riferendo quindi a grandezze quali la temperatura, es. Celsius, 40 °C, tempo, al secondo, lunghezza, per metro ecc… Quando non è sufficiente parlare di un numero e un’unità di misura introduciamo la grandezza vettoriale.

Ad esempio, se voglio indicare uno spostamento necessito di modulo, direzione, verso e punto di applicazione. Immaginiamo di volerci riferire ad uno spostamento di 200 km sulla tratta Napoli-Roma, terrò conto di:

• Modulo, ovvero ho percorso 200 km.
• Direzione, ovvero ho percorso l’autostrada Napoli-Roma.
• Verso, ovvero vado verso Roma.
• Punto di applicazione, ovvero da quale punto sono partita.

Questo è un esempio di grandezza vettoriale, composta da queste 4 informazioni.

Come si rappresenta un vettore?

Un vettore si rappresenta graficamente mediante un segmento orientato, il quale presenta un punto di applicazione ed un estremo con una freccetta. La lunghezza del segmento rappresenta il modulo del vettore, la freccetta indica il verso, la retta alla quale appartiene quel segmento è la direzione.

Per quanto riguarda la notazione usiamo la freccetta “→” al di sopra della lettera o simbolo che stiamo utilizzando. Talvolta è possibile trovare la notazione in grassetto. È fondamentale non scambiarle con le grandezze scalari.

Operazioni con i vettori

I vettori essendo grandezze fisiche esprimibili mediante grandezze matematiche, possono subire delle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione. Ci sono due metodologie per eseguire queste operazioni:

• Metodo grafico: immediato, intuitivo e facile.
• Metodo analitico: attraverso le componenti del vettore, ovviamente è il più preciso dal momento in cui dà informazioni precise sul verso e sul modulo del vettore stesso.

Prima di cominciare a parlare di operazioni, chiariamo il concetto di assi cartesiani. È importante prima di tutto saper studiare la posizione, quindi inquadrare la posizione del vettore nel nostro sistema di riferimento. I sistemi più utilizzati sono, proprio gli assi cartesiani, tre assi che sono che sono perpendicolari tra di loro. Di conseguenza, nel cercare di scomporre il vettore nelle sue componenti io vado a scegliere un sistema di assi cartesiani e per semplicità andiamo a limitarci nel piano.

⃗⃗ Nel momento in cui ho un vettore la prima cosa che devo fare è far coincidere l’origine del mio vettore con l’origine degli assi. Dopo vado a proiettare l’altro estremo del segmento e lo proietto sull’asse x e sull’asse y. Sull’asse x ho individuato il vettore giallo ed avrò una direzione parallela all’asse x e con stesso verso dell’asse x. Sull’asse y ho individuato il vettore blu che è parallelo all’asse y, dunque hanno stessa direzione, ed in questo caso hanno anche verso uguale. A questo punto, il vettore presenterà un’inclinazione rispetto al semiasse positivo delle x, che vado ad individuare con un angolo che posso chiamare, teta, e che, per convenzione, si individua sempre a partire dal semiasse positivo delle x e lo si considera percorrendo un senso antiorario. Ottengo le due componenti e per poter individuare il modulo delle componenti applico semplicemente le regole trigonometriche:

( = acos ) = asin ( ) è

Ricordando le regole trigonometriche, ogni cateto risulta essere uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente oppure per il seno dell’angolo opposto.

⃗⃗ Il vettore l’ho scomposto nelle due componenti tale che il mio vettore, sostanzialmente, lo posso scrivere in questo modo:

⃗ = + +

Quando scompongo il vettore e ne trovo le sue componenti, quei moduli che sono naturalmente dei valori numerici, possono essere moltiplicati per i versori degli assi. Il versore è un vettore che ha la stessa direzione dell’asse che sto considerando, lo stesso verso, ma modulo unitario: è il versore di x, è il versore di y. Di conseguenza, quando vado a scrivere significa che la lunghezza di quel vettore ⃗⃗ ⃗⃗, ad esempio può essere 10, mi dà il modulo della componente del vettore sull’asse x e quel modulo lo moltiplico per il versore e, poiché questo versore ha ∗ = modulo unitario, la componente avrà modulo poiché.

Avendo trovato le sue componenti e ho anche trovato questi due vettori, ⃗⃗ dato che ho scomposto il vettore in due vettori.

Inoltre per trovare il modulo di un vettore, conoscendo già le due componenti:

2 2 || √ = = + ovvero il teorema di Pitagora.

Invece, per trovare l’angolo, conoscendo già le due componenti:

Φ = arctan

Operazioni con i vettori: somma dei vettori

Esistono due modi per poter sommare i vettori: somma delle componenti e regola del parallelogramma.

Metodo delle componenti

Ogni vettore lo si scompone nelle componenti sulla x e sulla y. Una volta scomposto nelle componenti si possono andare a sommare le componenti omonime, perché quando ho due vettori che si trovano sulla stessa direzione, mi basta sommare algebricamente il modulo. “Algebricamente” perché considero il vettore:

• Positivo, se ha verso concorde con l’asse x.
• Negativo, se ha verso discorde con l’asse x.

Note le componenti, posso risalire al modulo del vettore somma usando Pitagora, e la sua direzione utilizzando la formula dell’angolo. Questo è il metodo più lungo ma preferito.

⃗ = +

Regola del parallelogramma

Detto anche “metodo punta-coda”. Facciamo coincidere 2 vettori nello stesso punto di applicazione per poi considerare il parallelogramma che ha per lati i due vettori e dunque il vettore somma è quel vettore che esce dal punto di applicazione divenendo la diagonale maggiore del parallelogramma.

⃗ Oppure possiamo prendere il punto di applicazione di, lo si porta all’estremo di, si congiunge il punto di applicazione del secondo con l’estremo del primo e si individua il vettore somma. Sostanzialmente questa regola mi consente di individuare dove si trova il vettore e che componenti possa avere.

Operazioni vettori: differenza

L’operazione di sottrazione è molto semplice e simile a quella di addizione:

⃗ (−⃗ = − = + )

Scompongo le componenti per poi sottrarle, ma a differenza della somma, non vale la proprietà commutativa. Graficamente, se vado a considerare il vettore noto −⃗ ⃗ che il vettore ha lo stesso modulo e direzione di, ma verso opposto.

Operazioni vettori: prodotto

Esistono 3 tipologie di prodotto dei vettori.

Prodotto vettore per uno scalare

Prendere un vettore e moltiplicarlo per uno scalare non significa altro che avere un vettore che avrà stessa direzione del vettore, un modulo pari al vettore moltiplicato per lo scalare, e verso del vettore se lo scalare è positivo, verso opposto se lo scalare è negativo.

Se considero k un numero reale: => | | = | |)( ) = ( , ( ) = ( )

Prodotto scalare

Quando vado a moltiplicare due vettori, ottengo una grandezza scalare.

⃗ ∙ = cos ( )

Ne vale la proprietà commutativa. Il puntino si legge “a scalare b”.

Il prodotto scalare tra a e b è un numero che è pari al prodotto del modulo di a per la componente di b lungo la direzione di a. Ovviamente il prodotto scalare tra a e b è anche pari al prodotto del modulo di b per la componente di a lungo la direzione di b.

Prodotto vettoriale

Come risultato avrò dunque un vettore. Si indica con:

⃗ ⃗ × ∧ oppure, in ogni modo si legge “a vettore b”.

⃗ | × | = sin

Il modulo si ottiene facendo:

La direzione è ortogonale al piano definito dai vettori a e b.

Il verso è di avanzamento di una vite che ruota concordemente ad a e si sovrappone a b. Se pensiamo al “Metodo della mano destra”, il pollice rivolto verso l’alto indica il verso antiorario e dunque si definisce “uscente”, “entrante” se è in senso orario.

Non vale la proprietà commutativa!

Introduzione alla meccanica

La meccanica è lo studio del moto di un corpo, riferendosi ovviamente ad un punto materiale, e si divide in:

• Cinematica: in cui si parla di descrizione del moto di un corpo, quindi dobbiamo trovare un evento, ovvero un fenomeno che accade in un punto dello spazio ed in un istante, tempo, ma anche un punto materiale, ovvero un punto privo di dimensioni o con dimensioni trascurabili e parleremo quindi di punto materiale o particella.
• Dinamica: la quale si occupa delle cause del moto del corpo ma anche il modo in cui viene effettuato il moto.

Cinematica

Lezione del 14/11/22

Dunque abbiamo definito che la cinematica è lo studio della descrizione del moto di un corpo indipendente dalle cause che lo hanno provocato. Ci limiteremo a studiare il moto di un punto materiale le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alle grandezze cinematiche che entrano in gioco. Definiamo proprio queste ultime.

Studiare il moto di un punto significa andare a ritrovare la legge che ci consenta di calcolare in ogni istante di tempo qual è la posizione di quel punto materiale. Questa, se varia per il tempo, ci indicherà che il nostro punto materiale si sta muovendo; nel momento in cui si muove, la legge con cui si muove può avere caratteristiche differenti. Dobbiamo quindi andare a definire le grandezze cinematiche che ci indicheranno quando un moto è rettilineo uniforme, quando è uniformemente accelerato e quindi risulta essere con accelerazione costante, e quando è un moto vario, velocità e accelerazione cambiano nel tempo.

Nel momento in cui voglio individuare la posizione devo individuare un sistema di riferimento: identifico un sistema di asse cartesiani x, y, z e dunque il nostro punto materiale si troverà in posizione nello spazio. P