Fisica medica - Programma completo parte 2

Momento di una forza

Lezione del 7/12/22

Il momento di una forza rispetto ad un punto o ne misura la capacità di mettere in rotazione il punto o l’oggetto a cui è applicata rispetto all’origine.

È una grandezza vettoriale data dal prodotto della forza ed il vettore posizione R che unisce il polo ed il punto di applicazione di F. = × => = ∗ sin = ∗

• R è la distanza tra il punto di applicazione e il polo.
• B è il braccio della forza, cioè la distanza tra la retta di applicazione della forza e l’asse di rotazione. ∗ sin ,

La grandezza distanza dall’asse di rotazione della retta su cui giace F, è detta braccio della forza F. Se F ed R sono perpendicolari, il braccio si identifica con R, ed il momento è massimo. M può essere nullo se F o b sono nulli oppure se F ed r sono paralleli.

Equilibrio e stabilità

Un corpo è in equilibrio stabile, se, spostandolo di poco dalla sua posizione di equilibrio, tende naturalmente a ritornarvi: se applichiamo una forza che allontana l’oggetto dall’equilibrio, l’oggetto poi oscillerà e ritornerà alla sua posizione iniziale.

Un corpo è in equilibrio instabile, quando, spostandolo di poco dalla sua posizione di equilibrio, tende ad allontanarvi ancora di più.

Un corpo è in equilibrio indifferente quando, spostato di poco dalla sua posizione di equilibrio, rimane stabilmente nella nuova posizione.

La condizione di equilibrio stabile si ha quando il vincolo è sopra al baricentro: se muovo il quadro o il righello esso oscilla e ritorna. Se metto il righello a testa in giù e il vincolo è al di sotto, il corpo ruota e torna con il vincolo sopra. Se il baricentro si trova proprio al centro, abbiamo l’equilibrio indifferente.

Le macchine semplici

Una macchina semplice è uno strumento che consente di equilibrare una forza, detta forza resistente, con un’altra forza detta forza motrice (oppure potenza).

Si definisce guadagno di una macchina semplice il rapporto tra la forza resistente e la forza motrice: =

Le leve

Una leva è una macchina semplice che è costituita da un’asta rigida che ruota attorno ad un punto fisso, detto fulcro. Il principio della leva fu scoperto da Archimede, il matematico greco, che disse: “datemi una leva e un buon punto d’appoggio e vi solleverò il mondo”.

Le leve sono utili per definire la macchina, la quale è definita in base al guadagno (grandezza adimensionale).

• G>1 macchina vantaggiosa.
• G<1 macchina svantaggiosa.
• G=1 macchina indifferente.

In una macchina semplice all’equilibrio ho le uguaglianza dei momenti e quindi il guadagno è uguale al rapporto tra i bracci, ovvero, affinché una leva sia in equilibrio è necessario che i momenti delle forza motrice resistente siano uguali: ∗ = ∗ => =

Quando analizzo la leva, già dalla geometria capisco se la macchina è vantaggiosa, svantaggiosa oppure indifferente.

Leva di primo genere

In una leva di primo genere il fulcro si trova tra la forza motrice e la forza resistente e possono essere vantaggiose, svantaggiose e indifferenti a seconda della lunghezza dei bracci:

• B >B leva vantaggiosa. M R
• B <B leva svantaggiosa. M R
• B =B leva indifferente. M R

Leva di secondo genere

In una leva di secondo genere la forza resistente si trova tra la forza motrice e il fulcro. Queste leve sono sempre vantaggiose, perché il braccio della forza motrice è sempre più lungo del braccio della forza resistente.

Leva di terzo genere

In una leva di terzo genere la forza motrice si trova tra la forza resistente e il fulcro e queste leve sono sempre svantaggiose, perché il braccio della forza resistente è sempre più lungo del braccio della forza motrice.

In posizione eretta noi schematizziamo come leva l’articolazione che mantiene la schiena dritta in posizione eretta. Il fulcro vicino alla settima vertebra dorsale, il baricentro a distanza di 8 cm, la potenza esplicata dai muscoli dorsali. La distanza della forza peso è superiore della potenza quindi l’articolazione è una leva svantaggiosa. La massa non è distribuita nei soggetti obesi, il baricentro si allontana di più rispetto all’articolazione. Le donne in gravidanza hanno il baricentro spostato in avanti e dolore costante ai muscoli dorsali.

Meccanica dei fluidi

Lezione del 12/12/22

I fluidi non hanno forma propria, ma assumono quella del recipiente che li contiene ed inoltre non sostengono gli sforzi di taglio (scorrimenti). I fluidi si dividono in:

• Gas, non hanno forma e volume propri, occupano tutto lo spazio a disposizione e sono facilmente comprimibili.
• Liquidi, hanno volume proprio e sono incompressibili. = .

I fluidi sono sistemi continui composti da infiniti elementi di massa.

Una loro caratteristica importante è quella della possibilità di scorrimento di una qualsiasi parte di fluido rispetto una adiacente. L’attrito interno si oppone allo scorrimento, non c’è forza di attrito statico che determina l’equilibrio e, se il fluido è in quiete, le forze tra gli elementi di fluido sono normali alla superficie, altrimenti gli elementi scorrerebbero tra di loro. Non si può parlare di forza applicata ad un punto di un fluido: per ciascun elemento dm si considerano forze di volume e forze di superficie.

Forze di volume

Per ciascun elemento di massa dm del fluido si considerano forze di volume proporzionali a dV, come ad esempio la forza peso: () = = ∗

Forze di superficie

Si manifestano sulle superfici di contatto e oppure di separazione di fluidi e sono proporzionali alla superficie.

Pressione

La pressione per un fluido non ha caratteristiche direzionali, essa è funzione scalare del punto che si considera all’interno del fluido e non dipende dall’orientazione della superficie su cui è misurata. Dunque intendiamo come pressione in un punto di un fluido il rapporto tra la forza agente sulla superficie infinitesima che circonda il punto e l’area della superficie stessa.

∆ = lim = => =∆ ∆→0= se nei punti della superficie S finita, la pressione è costante. −2 ∗ → ()

Unità di misura SI:

–2 –2 –1 –2

Dimensioni: [MLT ] [L ] = [ML T ]

Legge di Stevino

Su un corpo di massa m immerso in un fluido agisce una pressione dovuta al peso della colonna di liquido di altezza h ∆. che sovrasta la sua superficie = ℎ

Dove è la densità del fluido, g è il valore dell’accelerazione di gravità, h la profondità misurata. Da cui: = + ℎ0

La legge di Stevino vale solamente per i fluidi incomprimibili (liquidi).

Conseguenze della legge di Stevino

1. Legge di Pascal

Con la legge di Stevino abbiamo visto che la pressione in un fluido aumenta all'aumentare della profondità, misurata a partire dall'estremità superiore del fluido. Se si esercita una pressione esterna sulla superficie del fluido, tale pressione viene trasmessa in ogni punto del fluido e a qualunque profondità. = + ℎ0

E segue che ogni cambiamento della pressione esterna dà luogo a un uguale variazione (inalterata) di pressione in tutto il fluido e sulle pareti del contenitore.

Un’applicazione in medicina del principio di Pascal è la manovra di Heimlich: la pressione esercitata sull’addome si trasmette alla gola permettendo la fuoriuscita di corpi estranei dalla trachea.

In generale, essendo che il principio di Pascal non è esprimibile attraverso una formula essendo un concetto prettamente teorico, possiamo dire che è alla base del funzionamento del torchio idraulico (leva idraulica).

Vediamo in che modo si presenta il torchio idraulico:

Abbiamo due pistoni mobili disposti su un apparato come quello in figura. Tipicamente un torchio idraulico viene riempito d'olio ed è costituito da due pistoni: il primo pistone presenta una sezione più piccola mentre il secondo ha sezione più grande. Se si esercita una forza sul pistone di sezione minore, spingendolo verso il basso, si genera sul secondo pistone una forza maggiore che permette di sollevare l'auto.

Quando spingiamo il pistone 1 esercitiamo sull'olio sottostante una determinata pressione. Per il principio di Pascal tale pressione viene trasmessa ovunque nell'olio e sulle pareti del contenitore, quindi anche sul pistone 2.

In sintesi la legge di Pascal ci garantisce che la pressione agente su entrambi i pistoni sia uguale: = 1 2

Grazie alla definizione di pressione come rapporto tra la forza e superficie, possiamo riscrivere l'equazione precedente come 1 2= 1 2

S e S sono le aree delle sezioni dei due pistoni, solitamente circolari. Poiché il rapporto tra la forza e la superficie deve rimanere costante (quindi è costante), ne consegue che ad una superficie maggiore deve corrispondere una forza maggiore. Questo perché, aumentando la sezione S dobbiamo avere una 2 forza F più intensa, per fare in modo che il rapporto rimanga costante. 2

In sintesi il principio di Pascal applicato al torchio idraulico stabilisce che è sufficiente una piccola forza F sul pistone S per generare una forza F più 1 1 2 grande sul pistone S con maggiore superficie.2

2. Superfici isobariche

Superfici isobariche: la superficie di separazione di liquidi di diversa densità è sempre orizzontale. Si supponga ora che non sia così:

In figura sono rappresentati due fluidi di densità diverse , separati da una superficie non orizzontale. Per la 1 2 legge di Stevino alla stessa quota ci deve essere la stessa pressione indipendentemente dalla coordinata X. Dunque considerando posizioni x diverse posso esprimere p come 1 segue: = + ℎ1 0 1{ → + ℎ = + ℎ → ℎ = ℎ0 1 0 2 1 2 = + ℎ2 0 2

Perché sia soddisfatta questa eguaglianza bisogna che h = 0.

3. Paradosso idrostatico

Paradosso idrostatico: una conseguenza della legge di Stevino è che la pressione dipende solo dalla profondità alla quale essa viene misurata e non dalla forma del recipiente che contiene il fluido.

Consideriamo i tre recipienti rappresentati in figura aventi uguale base e riempiti con uno stesso liquido fino ad una altezza h. La pressione sul fondo di ogni recipiente dovuta al peso del liquido, secondo la legge di Stevino, assume lo stesso valore nei tre basi. Dunque: = ℎ

La forza F che agisce sul fondo è: = = ℎ ∗

Ovvero la forza è uguale al peso del liquido di volume V = A*h, cioè il peso del liquido contenuto nel vaso 1.

Il paradosso idrostatico consiste proprio in questo: pur essendo il peso del liquido contenuto nei vari recipienti diverso a seconda dei casi, la forza esercitata sul fondo (nelle condizioni sopra indicate) è uguale per tutti e tre i casi e pari al peso del liquido contenuto nel recipiente uno.

Per il recipiente 2 il peso del liquido contenuto è maggiore della forza esercitata sul fondo.

Il paradosso in questo caso si spiega con il fatto che parte del peso del liquido contenuto è sostenuto dalla forza normale R, avente componente P’ verso l’alto, esercitata dalle pareti del recipiente stesso. In effetti la porzione di liquido ombreggiata è sostenuta dai lati del recipiente.

Per lo stesso principio, nel caso del recipiente 3 la forza di reazione delle pareti del recipiente avrà una componente P’ verso il basso che andrà a sommarsi al peso del liquido a quella quota e darà comunque come risultato una forza F di intensità equivalente al peso del liquido contenuto in 1; in questo caso il peso del liquido contenuto in 3 è minore di quello contenuto in 1.

4. Vasi comunicanti

Vasi comunicanti: se il tubo è riempito con liquidi non miscibili di densità diverse, le altezze raggiunte dal fluido nei due rami saranno diverse: h e h . Sulla superficie S di separazione tra i due liquidi 1 2 agiranno rispettivamente verso il basso e verso l’alto le pressioni idrostatiche delle colonne h e h . In condizioni di equilibrio le due 1 2 pressioni si bilanceranno: ℎ2 1 ℎ = ℎ → =1 1 2 2 ℎ1 2

Pertanto due liquidi non miscibili in vasi comunicanti raggiungono altezze inversamente proporzionali alle proprie densità.

Quindi in un sistema di vasi comunicanti il fluido contenuto raggiunge la stessa quota indipendentemente dalla forma dei recipienti.

Nel caso rappresentato in figura la differenza di pressione tra due punti qualsiasi si calcola attraverso la formula: − = −( − )1 2 2 1

Poiché, per la legge di Stevino, si ha differenza di pressione solo in corrispondenza di ∆ = variazioni di quota, se le superfici A e B sono soggette alla stessa pressione,, allora saranno alla stessa quota y =y .2 1

La pressione atmosferica

La pressione atmosferica è originata dall’attrazione gravitazionale da parte della terra della massa di gas che la circonda; dunque la pressione atmosferica diminuisce con l’altezza ed il peso della colonna d’aria circostante è minore. La pressione atmosferica media vale 101325 Pa, che in condizioni standard (al livello del mare, a 0°C e a 45° di latitudine) corrisponde a 1 atm e a 1,01325 bar.

L'aria che costituisce l'atmosfera è un fluido ed è in particolare un gas all'interno del quale siamo completamente immersi. Come qualunque altro fluido, anche l'aria esercita una pressione che tende a comprimere in tutte le direzioni gli oggetti che vi si trovano immersi.

Una legge che ci permette di calcolare la pressione atmosferica a una certa altitudine rispetto al livello del mare è la seguente:

− = 0

Dove con indichiamo il valore di pressione atmosferica standard che abbiamo 0 scritto all’inizio, mentre il parametro vale circa 8,006 km. Ciò significa che la pressione si ridurrebbe a un terzo a una quota di circa 8-9 km. Questa legge fornisce una buona approssimazione del valore di pressione ma non è comunque esatta, perché presuppone che l’atmosfera sia isoterma, cioè presenti sempre la stessa temperatura a qualunque quota.

Principio di Archimede

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l’alto pari al peso del fluido spostato, e questa spinta prodotta dal fluido è una forza detta spinta di Archimede. Questa è una forza diretta verticalmente verso l’alto, quindi con la stessa direzione ma verso opposto rispetto la forza peso. Essa viene solitamente indicata con il simbolo F o, a seconda dei casi, con la lettera S.A = − =

Moto dei fluidi

Lezione del 19/12/22

La dinamica dei fluidi studia il moto delle particelle di fluido sotto l’azione di tre tipi di forze:

• Forze di superficie: forze esercitate attraverso una superficie (pressione).
• Forze di volume: forze esercitate su tutto il volume di liquido (forza peso).
• Forze d’attrito: forze che si oppongono al moto e si esercitano tra i vari elementi di volume.

La portata in fisica (Q) è una grandezza che esprime il volume di fluido che ∆. attraversa una sezione A di un tubo nell’intervallo di tempo Un regime stazionario in fluidodinamica è la condizione per cui in ogni punto di un fluido in moto la velocità è costante. Introduciamo prima il concetto di regime stazionario dei fluidi.

Moto stazionario

Consideriamo un tubo di sezione variabile in cui scorre un fluido, e per fissare le idee immaginiamo che si tratti di un liquido. Se siamo nella situazione per cui in ogni punto del tubo la velocità rimane costante nel tempo, allora ci ritroviamo in quello che viene definito regime stazionario. Un regime stazionario di un fluido è una condizione in cui la velocità può essere diversa da punto a punto nel fluido, ma in ciascun punto essa rimane costante nel tempo. Dunque non stiamo asserendo che in un regime stazionario di un fluido la velocità è sempre la stessa in qualsiasi punto del fluido; piuttosto, stabilisce che in un qualsiasi specifico punto del fluido la velocità rimane sempre la stessa.

Portata

Detta anche portata volumetrica, proprio perché è definita come il rapporto tra il volume di fluido che attraversa perpendicolarmente una certa sezione A di un ∆. condotto nell’intervallo di tempo = ∆

La portata esprime dunque la quantità di volume di fluido che attraversa la sezione di un tubo nell’unità di tempo; possiamo dedurre che la sua unità di misura è il metro cubo al secondo.

3 3 Unità di misura: m /s oppure cm /s oppure l/min.

C’è anche un’altra definizione equivalente chepe