Fisica generale I (Primo modulo)

LEZIONE 1 LEZIONE 1

Riassunto:

-​ Punto Materiale: Un corpo le cui dimensioni sono trascurabili rispetto allo spazio in

cui si muove e agli oggetti con cui interagisce. Viene rappresentato come un punto

geometrico.

-​ Posizione: Concetto relativo, definito rispetto ad altri corpi di riferimento. L'insieme

di questi corpi costituisce il sistema di riferimento.

-​ Sistemi di Riferimento:

-​ Retta: Corpo vincolato a muoversi lungo una retta. Cambiare origine e verso

modifica il sistema di coordinate, ma non il sistema di riferimento.

-​ Piano: Corpo vincolato a muoversi su un piano. Cambiare gli assi modifica il

sistema di Coordinate Cartesiane, ma non il sistema di riferimento. Si

possono usare Coordinate polari.

-​ Spazio Tridimensionale: Corpo vincolato a muoversi nello spazio. Cambiare

gli assi modifica il sistema di Coordinate Cartesiane, ma non il sistema di

riferimento. Si possono usare Coordinate polari sferiche.

-​ Gradi di Libertà: Numero di parametri indipendenti necessari per individuare

univocamente la posizione di un sistema fisico.

-​ Traiettoria: Luogo dei punti occupati successivamente dal corpo puntiforme,

formando una curva continua nello spazio (considerato bidimensionale per

semplicità).

Per precisare:

-​ Bidimensionale: Coordinate polari: P(r, ) dove:

θ

2 2 ;

= +

è l'angolo formato con l’asse x.

θ

Mentre le coordinate cartesiane sono la

distanza delle proiezioni dall’origine.

-​ Tridimensionale Discorso analogo a quello precedente ma a tre

dimensioni.

P(r, , ), dove:

θ φ 2 2 2

;

= + +

è l’angolo formato con l’asse z (scelto verso

θ

l’alto con la regola della mano destra);

è l’angolo formato con l’asse x.

φ

LEZIONE 2 LEZIONE 2

Riassunto:

-​ Traiettoria: Il luogo dei punti occupati da un corpo puntiforme, formando una curva

continua nello spazio.

-​ Spostamento: Il cambiamento di posizione di un punto in un intervallo di tempo. È

specificato dalle coordinate iniziali e finali:

-​ ∆ = ( ) − ( )

-​ ∆ = ( ) − ( )

-​ Velocità media: Definita in un certo intervallo di tempo. Attenzione: la direzione della

velocità media non corrisponde generalmente alla traiettoria. La velocità media è

data da: |∆| |∆|

-​ , (ricorda che r è il vettore spostamento)

| < > | = =

∆ −

( , ) 2 1

1 2

-​ Direzione e verso di . (vd foto 4)

∆

-​ Velocità istantanea: Ha come direzione la retta tangente in P alla traiettoria e come

modulo il limite della velocità media quando tende a zero. La velocità istantanea si

∆

può anche calcolare come:

-​ notiamo che (lunghezza del tratto di traiettoria percorso)

|∆ | → ∆

,' ,' |∆ |

quando tende a 0 e P’ tende a P. Quindi ,'

∆ lim =1

∆

→ ,'

∆ 0

|∆ | ∆ ∆

-​ ,' ,' ,'

lim = | < > | = lim · = lim 1 · =

∆ ∆ ∆

(,')

→ → →

,'

∆ 0 ∆ 0 ∆ 0

-​ Ossia la derivata dello spazio nel tempo.

Per precisare:

-​ Lo spostamento: La posizione iniziale è:

= (( ), ( ))

1 1

Lo spostamento ( ) è definito

∆

univocamente specificando:

-​ direzione

-​ verso

-​ modulo

Cartesiane:

∆ = (( ) − ( ), ( ) − ( ))

2 1 2 1

Polari:

∆ = (|∆|, α)

La relazione tra le due:

( ) − ( ) = ∆ · α

2 1

( ) − ( ) = ∆ · α

2 1 2 2

∆ = (( ) − ( )) + (( ) − ( ))

2 1 2 1

Il modulo del vettore

spostamento può non

corrispondere alla

lunghezza del tratto di

traiettoria percorso.

-​ La velocità media: È anch’esso un vettore, ma ha come

coordinate: ( )−( ) ( )−( )

2 1 2 1

< > = ( , )

− −

( , ) 2 1 2 1

1 2

LEZIONE 3 LEZIONE 3

Riassunto:

-​ Vettore Posizione: Vettore applicato all'origine del sistema cartesiano, con estremo

libero nella posizione del punto P.

-​ Spostamento: Variazione della posizione di un punto P in un intervallo di tempo (t,

t+Δt). Rappresentato come Δr = r(t+Δt) - r(t).

-​ Velocità Media: Rapporto tra lo spostamento e l'intervallo di tempo: <v> = Δr/Δt.

-​ Velocità Istantanea: Derivata del vettore posizione rispetto al tempo: v(t) = dr/dt.

-​ Accelerazione: Variazione della velocità nel tempo.

-​ Moto Rettilineo Uniforme: Caratterizzato da velocità costante e accelerazione nulla.

Grafico spazio-tempo lineare.

Per precisare:

-​ Vettore posizione e vettore spostamento: Versori sono vettori con modulo 1 e che

rispettano le regole in figura, essi

rappresentano il verso di un vettore (x,

y, z).

Se abbinati ad una coordinata diventa

un vettore, quindi la somma delle

coordinate di un punto moltiplicate per i

rispettivi versori risulta nel VETTORE

POSIZIONE.

Gli assi cartesiani, come i versori,

seguono la regola della mano destra.

Il vettore posizione in funzione del

tempo sono semplicemente le

coordinate in funzione del tempo

moltiplicate per i rispettivi versori.

Se un punto si sposta nel tempo, il

vettore spostamento risultante è la

differenza dei vettori posizione.

Se si ha la posizione iniziale r(t) e

quella finale r(t+Δt) si arriva

facilmente al vettore spostamento.

-​ Velocità media e istantanea:

Preso un intervallo :

(, ∆)

∆ (+∆)−() (+∆)−() (+∆)−() (+∆)−()

< > = = = + +

∆ ∆ ∆ ∆

∆

(,+∆)

Quindi la velocità media è lo spostamento del punto su ogni asse in funzione del tempo.

Dalla somma vettoriale segue che . Questo è

∆ = ( + ∆) − () ( + ∆) = () + ∆

uguale a .

( + ∆) = () +< > ∆

La velocità istantanea è il limite di quella media con tendente a 0:

∆

∆ (+∆)−() (+∆)−() (+∆)−()

= lim < > = lim = lim = lim + lim +

∆ ∆ ∆

∆

(,+∆)

→ → → → →

∆ 0 ∆ 0 ∆ 0 ∆ 0 ∆ 0

(+∆)−()

+ lim = + + =

∆

→

∆ 0

Quindi il vettore velocità istantanea in un punto è la derivata del vettore posizione in quel

punto.

-​ Accelerazione media e istantanea:

Preso un intervallo :

(, ∆) ∆ (+∆)−()

< > = = ∆

∆

(,+∆)

L’accelerazione media è la differenza

tra le velocità istantanee agli estremi

dell’intervallo di tempo. Come prima

dalla somma vettoriale . Questo è

( + ∆) = () + ∆

uguale a .

( + ∆) = () +< > ∆

L’accelerazione istantanea è il limite di quella media con tendente a 0:

∆ () () ()

∆ (+∆)−()

() = lim < > = lim = lim = lim + lim + lim =

∆ ∆ ∆ ∆

∆

(,+∆)

→ → → → → →

∆ 0 ∆ 0 ∆ 0 ∆ 0 ∆ 0 ∆ 0

()

=

Quindi il vettore dell’accelerazione istantanea in un punto è la derivata della velocità

istantanea in quel punto. (O la derivata seconda del vettore posizione)

-​ Moto rettilineo e moto uniforme:

In generale si dice che un moto è uniforme se é costante.

||

Si dirà invece che è rettilineo se è costante, la traiettoria è una retta.

= ||

-​ Esempio di esercizio:

Un corpo puntiforme si muove secondo la legge oraria la cui rappresentazione cartesiana è data da:

1.​ Determinare le udm di a,b,c,d nel S.I.

2.​ Calcolare la velocità media nell’intervallo di tempo

.

= 0, = 5

1 2

3.​ Calcolare la velocità istantanea per un generico valore del

tempo t.

4.​ Studiare il moto descritto da queste leggi orarie un po’ più in

dettaglio

1.​ x(t) è uno spostamento, in funzione del tempo, quindi ha come udm m. Perciò

[a*t]=m. . Quindi a è una velocità.

[] = ⇒ [] =

y(t) è uno spostamento, in funzione del tempo, quindi ha come udm m. Perciò

[b*t+c]=m. . Quindi b è una velocità. Mentre . È uno spazio.

[] = ⇒ [] = [] =

z(t) è uno spostamento, in funzione del tempo, quindi ha come udm m. Perciò [d]=m.

d è uno spazio.

2.​ CONVIENE DIVIDERE LA VELOCITÀ MEDIA NELLE VARIE COMPONENTI:

( )−( ) ( )−( )

2 1 2 1

< > =< > +< > +< > = + +

∆ ∆

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 2 1 2 1 2 1 2

( )−( ) ( )−( ) ( )+−( )− ( )−( ) ( )−( )

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

+ = + + 0 ·= +

∆ ∆ ∆ 5 5

5 / 5 /

= + = +

5 5

3.​ La velocità istantanea è il limite di quella media: .

= lim < > = lim + = +

(,+∆)

→ →

∆ 0 ∆ 0

La velocità è costante, quindi si parla di un moto uniforme.

4.​ Su che piano siamo? Le posizioni in funzioni del tempo sono x e y, mentre z è fissa

su d. Quindi siamo su un piano parallelo a xy.

Che traiettoria disegna? Troviamo la funzione che descriva dale traiettoria:

y(x)=? → dalla prima equazione ricaviamo che che inseriamo nella seconda:

=

. È una retta.

= +

​ Su questo disegno ora

rappresentiamo: 1)​ vettore

spostamento 2)​ vettore

velocità media e istantanea.

1)​ Troviamo il vettore spostamento in un qualsiasi :

∆

∆ = (( + ∆) − ()) + (( + ∆) − ()) = (( + ∆) − ()) +

+ (( + ∆) + − () − ) = ∆ + ∆

Il vettore spostamento è sempre uguale per qualsiasi .

∆

DIREZIONE: retta

VERSO: N/E essendo a,b,c,d > 0

2 2 2 2

MODULO: |∆| = (∆) + (∆) = ∆ +

2)​ Sappiamo che la velocità media è uguale a quella istantanea:

e .

< >= + () = +

DIREZIONE: retta

VERSO: N/E 2 2

MODULO: || = + Moto rettilineo uniforme.

Altri esempi su moodle, corso: Fisica generale I (primo modulo), lezione 5 Parte 2 29 sett

2025

Gli esercizi si possono visualizzare nella sezione “Tutorato” oppure “Esercitazioni”.

LEZIONE 4 LEZIONE 4

Riassunto:

Abbiamo visto come fare il seguente percorso:

grazie alle derivate.

() → () → ()

Ora sorge il problema delle condizioni iniziali:

-​ se si conosce l’accelerazione in funzione del tempo e la velocità in un certo istante di

tempo si può determinare univocamente la velocità in funzione del tempo;

-​ se si conosce la velocità in funzione del tempo e la posizione in un certo istante di

tempo si può determinare univocamente la posizione in funzione del tempo.

-​ Caso unidimensionale, dalla velocità alla posizione

()

Data una velocità so che .

() () =

Non conosco , ma so che è una primitiva di . Tuttavia se è una primitiva anche

() () ()

è una primitiva di .

() + ()

Per determinare in modo univoco è necessario determinare la costante:

() () (()+) ()

poiché .

() = () + () = = =

L’unico modo per determinare la costante è imponendo le condizioni iniziali.

() (()+)

() = =

→ CONDIZIONE INIZIALE

( ) = ( ) + = ⇒ = − ( )

0 0 0 0 0 0

So che .

() = () + = () − ( ) +

0 0

Dalla definizione so che () − ( ) = ∫ ( )

0

0

QUINDI: () = + ∫ ( )

0

0

Da cui se la velocità è costante ci ricaviamo LA LEGGE ORARIA PER UN MOTO

UNIFORME:

costante →

() = () = + ∫ ( ) = + () − ( ) = + ( − )

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

-​ Caso unidimensionale, dall’accelerazione alla velocità

()

() = CONDIZIONE INIZIALE

( ) =

0 0

Con lo stesso procedimento di prima si arriva alla formula:

() = + ∫ ( )

0

0

Da cui se si conosce/impone la condizione iniziale della posizione si può arrivare a .

()

Da cui se l’accelerazione è costante ci ricaviamo LA LEGGE ORARIA PER UN MOTO

UNIFORMEMENTE ACCELERATO:

costante, e

() = ( ) = ( ) =

0 0 0 0 0

Prima ricavo la velocità:

() = + ∫ ( ) = + ∫ = + ( − )

0 0 0 0 0 0

0 0

Successivamente la legge oraria:

2

0

() = + ∫ ( ) = + ∫( + − ) = + + ( ) + | =

2 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0

2

2 2 1

0 0

= + ( − ) + ( − ) + ( − )(* ) = + ( − ) + ( − )

2 2 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2

2 2 2 2 2

Raccolgo →

0 0 0 0

(* ) ( − − 2 + 2 ) = ( − 2 + ) = ( − )

2 2 2 2 0

0 0 0 0 0

-​ Esempi:

Il caso con è banale, basti pensare ad un grave in caduta libera.

> 0, > 0, > 0

0 0 0

Per rappresentare la velocità basti pensare alla formula e

+ ( − ) = + ∆

0 0 0 0 0

all’istante risulterà che si conosce, all’istante diventa , all’istante

= = 2 +

0 0 0 0 0 0

diventa e così via.

= 3 + 2

0 0 0 0

Il caso si complica leggermente quando si vuole trovare il momento

> 0, > 0, < 0

0 0 0

in cui si annulla. Basti porre e infine isolare .

= 0

0 0 . Corrisponde

0 0

+ ( − ) = 0 ⇔ ( − ) =− ⇔ − =− ⇔ = −

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

al momento in cui la derivata di x(t)=0 che rappresenta il MASSIMO punto raggiunto.

Formulario:

Spazio

() = + ∫ ( )

0

0

Velocità

() = + ( − )

0 0 0

Legge oraria 2

0

() = + ( − ) + ( − )

2 0

0 0 0

LEZIONE 5 LEZIONE 5

Riassunto:

-​ Problema delle condizioni iniziali: da 1 a 3 dimensioni

Sappiamo che: ()

-​ ;

() =

-​ condizione iniziale;

( ) =

0 0

-​ () = + + = + +

-​ dove ogni componente si sottintende in funzione del tempo;

-​ ( ) = = + +

0 0 0 0 0

-​ e sono costanti