Esercizi Fondamenti di algebra lineare e geometria

Revisionato il 22/09/2026

di Abe12489

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Vari esercizi (parte 2) per imparare le basi per svolgere gli eserci di Fondamenti di algebra lineare e geometria, gli esercizi vertono su una buona parte degli argomenti che vengono svolti a …

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Bottaccin Francesco

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2024-2025

61 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

iv) Ker P₁A₁

Ker P₁A₁ = ( -1 1 1 0 | 0 1 -1 1 0 | 0 0 0 -1 1 | 0 1 -1 3 0 | 0 )

(A₁|B) = ( -1 1 1 0 | 0 0 0 2 0 | 0 0 0 -1 1 | 0 0 0 4 0 | 0 )

(A₁|B) = ( -1 1 1 0 | 0 0 0 2 0 | 0 0 0 0 1 | 0 0 0 0 0 | 0 )

{ -x + y + z = 0 z = 0 t = 0 }

{ -x + y = 0 z = 0 t = 0 }

{ y = x z = 0 t = 0 }

( x x 0 0 ) = x ( 1 1 0 0 )

Ker P₁ = < ( 1 1 0 0 ) >.

iv) Ker p₁A₁ = (-1 1 1 0 1 -1 1 0 0 0 -1 1 1 -1 3 0)

(A₁|b) = (-1 1 1 0 | 0 0 0 2 0 | 0 0 0 -1 1 | 0 0 0 4 0 | 0)

(A₁|b) = (-1 1 1 0 | 0 0 0 2 0 | 0 0 0 0 1 | 0 0 0 0 0 | 0)

-x + y + z = 0

z = 0

t = 0

-x + y = c

z = 0

t = 0

y = x

z = c

t = c

(xx00) = x (1100)

ker p₁ = .

v) Esercizi Foglio 7 (cambio di base)

Data la base V = { (0, 1, 2, 1/2), (-1, -1, 0, 0), (0, 0, -1, 1), (1, 2, 2, 0) }

i) Determinare le matrici di cambio di base tra la base canonica E di R⁴ e V

A_id,V,E =

(0 -1 0 1

1 -1 0 2

2 0 -1 2

1/2 0 1 0)

(0 -1 0 1 | 1 0 0 0

1 -1 0 2 | 0 1 0 0

2 0 -1 2 | 0 0 1 0

1/2 0 1 0 | 0 0 0 1)

Riduzione con Gauss

Riduzione con Gauss

(-1 0 0 3 |

1 -1 0 2 |

2 0 -1 2 |

1/2 0 1 0 |)

(-1 0 0 3)

(1 -1 0 2)

(2 0 -1 2)

(0 0 5/4 -1/4)

(-1 0 0 3)

(1 -1 0 2)

(0 -2 -1 -2)

(0 0 5/4 -1/4)

2^a + 1^a

3^a - 2.2^a

(-1 0 0 3)

(0 -1 0 5)

(0 0 -1 -6)

(0 0 5/4 -1/4)

1^a + 1/2 3^a

(-1 0 -1/2 0)

(0 -1 0 5)

(0 0 -1 -6)

(0 0 5/4 -1/4)

(-1 0 -1/2 0)

(0 -1 0 5)

(0 0 -1 -6)

(-5/2 0 0 -1/4)

Esercizio 3)

Sia f: IR³ -> IR³ l'applicazione lineare definita da f((xyz)) = (x+yx+yz)

i) Scrivere la matrice associata a f rispetto alla base canonica

ii) Determinare Ker f e Im f

iii) Mostrare che l'insieme B = { (11-1), (110), (1-10) } è una base di IR³

iv) Determinare la matrice di passaggio dalla base canonica e alla base B

v) Scrivere la matrice associata a f rispetto alla base canonica nel dominio e alla base B nel codominio

Svolgimento

Svolgimento

i) Af,E,E = ( 1 1 0

1 1 0

0 0 1 )

ii)

(A|b) = ( 1 1 0 | 0 )

( 1 1 0 | 0 ) Trovare Ker f

( 0 0 1 | C )

(A|b) = ( 1 1 0 | 0 )

( 0 0 1 | 0 )

( 0 0 0 | 0 )

{ x + y = 0 { y = -x

{ z = 0 { z = 0

( x )

( -x ) = lambda ( 1 )

( 0 )

( -1 )

Ker f = dim = 1

( -1 )

( 0 )

Formula delle dimensioni

Formula delle dimensioni

dim IR³ = dim Ker f + dim Im f

3 = 1 + x x = ?

dim Im f = ?

Im f = dim = 2

( 1 )

( 0 )

( 1 )

Base di IR³

iii) B = { ( 1 ) , ( 1 ) , ( 1 ) } è base di IR³

( 1 ) ( 1 ) ( -1 )

( -1 ) ( 0 )

( )

(1 1 -1)

(1 1 0) → (1 1 -1)

(1 -1 0) (0 0 1) → (0 -2 -2)

(0 -2 -2) (0 0 1)

ha rango 3 e non ci sono righe nulle

Sono lin. endi. di conseguenza Base di IR³.

Teoria sulle matrici di cambio di base

Teoria sulle matrici di cambio di base.

f: V → W

E F

A = M^E_F(f)

E₁ F₁

Le nuove basi B = M^E1_F1(f)

Da A possiamo ottenere B Q^-1 . A . P = B

P n x n uso n perché è associata a V

Q m x m uso m perché è associata a W

V dim V = n E = {v1, v2, ..., vn}

E₁ = {

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