Esercizi Fondamenti di algebra lineare e geometria

Revisionato il 10/09/2026

di Abe12489

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Vari esercizi (parte 3) per imparare le basi per svolgere gli eserci di Fondamenti di algebra lineare e geometria, gli esercizi vertono su una buona parte degli argomenti che vengono svolti a …

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Bottacin Francesco

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2024-2025

61 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Sommando u₁ e u₂ otteniamo (1,1,0,1) che è presente in U quindi è nell'intersezione

B_U∩V = {^{⎡1⎤⎡1⎤⎡0⎤⎡1⎤}} dim U∩V = 1

U ∈ V sono in somma diretta

U⊕V ⇔ {

U + V = V
U∩V = {0_V}

Dato che U∩V ≠ {0_V} non sono in somma diretta

ii) Per prima cosa bisogna trovare la base ortogonale

w₁ = v₁ = (1,1,0,1)

w₂ = v₂ - v₂·w₁ · w₁ = w₁·w₁

(3,0,1,0) - (3,0,1,0)·(1,1,0,1) . (1,1,0,1) (1,1,0,1) (1,1,0,1)

(3,0,1,0) - ^3+0+0+0 . (1,1,0,1)1+1+0+1

= (3,0,1,0) - (1,1,0,1) = (2,-1,1,-1)

Som mando _w₁ e _w₂ otteniamo (1,1,0,1) che e' presente in _U quindi e' nell'intersezione

B_u∩x = {(1)(0)(1)} dim ∩=1

U e W sono in somma direttaU⊕W ⇔ {U+W = VU ∩ W = {0_V}

Dato che U ∩ W ≠ {0_V} non sono in somma diretta

ii) Per prima cosa bisogna trovare la base ortogonale

_w₁ = _v₁ = (1,1,0,1)

_w₂ = _v₂ - (_v₂•_w₁) • _w₁ / (_w₁•_w₁) =

(3,0,1,0)- (3,0,1,0)•(1,1,0,1)•(1,1,0,1)

(1,1,0,1)(1,1,0,1)

(3,0,1,0)- ₃₊₀₊₀₊0 / 1+1+0+1 •(1,1,0,1)

= (3,0,1,0) - (1,1,0,1) = (2,-1,1,-1)

μ₁' = \frac{c w_{1}}{\|w_{1}\|} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}

μ₂' = \frac{c w_{2}}{\|w_{2}\|} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}

Una base ortonormale è \left\{ \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{7}} \\ -\frac{1}{\sqrt{7}} \\ \frac{1}{\sqrt{7}} \\ -\frac{1}{\sqrt{7}} \end{pmatrix} \right\}

iii)

U \oplus (U+W) = \begin{cases} Z+(U+W)=V \\ Z \cap (U+W) = \{0_v\} \end{cases}

Z deve avere in comune con (U+W) solo O_v

Z+(U+W)=4 quindi dim Z= 1

Z non è unico ma possono esistere infiniti vettori

1^^er esempio Z=< \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} >

Esercizio 2

Si consideri l'endomorfismo ɸ di R³ la cui matrice rispetto alla base canonica è:

A = ^| -7 6 0 6 2 0 0 0 -10 _|

i) Determinare Ker ɸ e Im ɸ e le relative dim.L'endomorfismo è iniettivo, è suriettivo e invertibile?

ii) Calcolare ɸ^-1 {^| -1/8 0 0 _|}

iii) Dimostrare che A è diagonalizzabile e determinare una matrice H invertibile e D

iv) Si consideri B = ^| 5 1 2 0 -10 0 0 0 -10 _| La matrice Aè simile a B?

Svolgimento

(^| -7 6 0 _| | 0 6 2 0 0 0 0 -10 0) riduco con Gauss 2^a + a_.6₇

(A|I₃) =

(-7 6 0 | 0)(0 1 7 | 0)(0 0 -10 | 0)

{ -7x + 6y = 0 y = 0 z = 0

{ x = 0 y = 0 z = 0

Ker ϕ = { (0) (0) (0) } dim Ker ϕ = 0

Formula delle dimensioni:

dim V = dim Ker ϕ + dim Im ϕ

3 = 0 + x → x = 3

dim Im ϕ = 3

Im ϕ = lR³

ϕ è iniettiva perché Ker ϕ = {(0_V)}

ϕ è suriettiva perché Im ϕ = lR³ dim Im = dim V

φ dato che è sia iniettiva che suriettiva è biettiva

det(CA) = -10 (-1)⁶ det(-7 6 &nb

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