Esercizi Fondamenti di algebra lineare e geometria

Revisionato il 22/09/2026

di Abe12489

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Vari esercizi (parte 3) per imparare le basi per svolgere gli eserci di Fondamenti di algebra lineare e geometria, gli esercizi vertono su una buona parte degli argomenti che vengono svolti a …

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Bottacin Francesco

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2024-2025

61 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Esercizio 1

Intersezione e somma diretta

Sommando u₁ e u₂ otteniamo (1,1,0,1) che è presente in U quindi è nell'intersezione B_U∩W = { (1,1,0,1) } dim U∩W = 1

U e W sono in somma diretta

U+W <=> { U+W = V
U∩W = {0_V} }

Dato che U∩W ≠ {0_V} non sono in somma diretta

Base ortogonale

ii) Per prima cosa bisogna trovare la base ortogonale

u₁ = v₁ = (1,1,0,1)

w₂ = v₂ - _v₂·w₁/_w₁·w₁ · w₁ = (3,0,1,0) - _{(3,0,1,0)·(1,1,0,1)}/_{(1,1,0,1)(1,1,0,1)} · (1,1,0,1)(3,0,1,0) - _3+0+0+0/₁₊₁₊₁ · (1,1,0,1)= (3,0,1,0) - (1,1,0,1) = (2,-1,1,-1)

Sommando w₁ e w₂ otteniamo (1,1,0,1) che è presente in U quindi è nell'intersezione B_U∩W = {(1,1,0,1)} dim U∩W = 1

U e W sono in somma diretta

U ⊕ W ⇔ { U+W = V
U∩W = {0_V }

Dato che U∩W ≠ {0_V} non sono in somma diretta

ii) Per prima cosa bisogna trovare la base ortogonale

w₁ = v₁ = (1,1,0,1)

w₂ = v₂ - (v₂ · w₁)/(w₁ · w₁) · w₁ = (3,0,1,0) - ((3,0,1,0) · (1,1,0,1))/((1,1,0,1)(1,1,0,1)) · (1,1,0,1)(3,0,1,0) - (3+0+0+0)/(1+1+1) · (1,1,0,1)= (3,0,1,0) - (1,1,0,1) = (2,-1,1,-1)

u^'₁ = w₁ / ||w₁|| = (1, 1, 0, 1) * 1/sqrt(3)

u^'₂ = w₂ / ||w₂|| = (2, -1, 1, -1) * 1/sqrt(7)

Una base ortonormale è {(1, 1, 0, 1) * 1/sqrt(3), (2, -1, 1, -1) * 1/sqrt(7)}

Spazio z

iii) z + (v + w) = V

z n (v + w) = {0_v}

z deve avere in comune con (v + w) solo 0_v

z + (v + w) = 4 quindi dim z = 1

Z non è unico ma posso avere infiniti vettori

per esempio z = <(0, 0, 0, 1)>

Esercizio 2

Testo dell'esercizio

Si consideri l'endomorfismo f di R³ la cui matrice rispetto alla base canonica è:

A = ( -7 6 0 6 2 0 0 0 -10 )

i) Determinare Ker f e Im f e le relative dim.

L'endomorfismo è iniettivo, è suriettivo e invertibile?

ii) Calcolare f^-1 { ( -1 )( 8 )( 0 ) }

iii) Dimostrare che A è diagonalizzabile e determinare una matrice H invertibile e D

iv) Si consideri B = ( 5 1 2 0 -10 0 0 0 -10 ). La matrice A è simile a B?

Svolgimento

( -7 6 0 | 0 6 2 0 | 0 0 0 -10 | 0 ) riduco con Gauss

2a + a67

(A|b)={ -7 6 0 | 0 }{ 0 12/7 0 | 0 }{ 0 0 -10 | 0 }

{ -7x + 6y = 0 y = 0 z = 0 }

{ x = 0 y = 0 z = 0 }

Ker f = { (0) (0) (0) }

dim ker f = 0 (perché contiene solo 0v)

Formula delle dimensioni:

dim V = dim Ker f + dim Im f

3 = 0 + x x = 3 dim Im f = 3

Im f = R³

f è iniettiva perché Ker f = {(0v)}

f è suriettiva perché Im f = R³ dim Im = dim V

f dato che è sia iniettiva che suriettiva è biiettiva

det(A) = -10 · (-1)⁶ · det(-7 6 6 2) = -10 · [36 + 14] = 500

dato che det(A) ≠ 0 allora A è invertibile

Calcolo di p inversa

ii) Calcolare p^-1 {( -1 8 0 )}

{-7x + 6y = -1 6x + 2y = 8 -10z = 0}

{-7x - 18x + 29 = -1 y = -3x + 4 z = 0}

{-25x = -25 y = -3x + 4 z = 0}

{x = 1 y = 1 z = 0}

p^-1{(-1/8/0)} = {(1/1/0)}

Diagonalizzazione

iii) A è diag. perché A^t = A (teorema spettrale)

P = (-7 - λ 6 0 6 2 - λ 0 0 0 -10 - λ)

calcolo il determinante

det(P) = (-10 - λ) · det(-7 - λ 6 6 2 - λ)

(-10 - λ)[(-7 - λ)(2 - λ) - 36] = 0

(-10 - λ)(-14 + 7λ - 2λ + λ² - 36) = 0

(-10 - λ)(λ² + 5λ - 50) = 0 Δ = 25 + 200 = 225

λ_1,2 = (-5 ± 15) / 2 → 5, -10

λ₁ = -10 ma = 2

λ₂ = 5 ma = 1

Trovo gli autovettori

lambda = -10

3x + 6y = 0

6x + 12y = 0

0 = 0

-6y + 6y = 0

x = -2y

0 = 0

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