Esame di Fondamenti di matematica (teoria e dimostrazioni)

Name: Esame di Fondamenti di matematica (teoria e dimostrazioni)
Rating: 4.5 (2 reviews)
Author: emi1904

Revisionato il 28/07/2026

di emi1904

Publisher

Vota 4,5/5 (2)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Nella prima parte del pdf vi sono definizioni, proposizioni, corollari e esempi esplicativi, mentre nella seconda si possono trovare teoremi e dimostrazioni. Il pdf è un insieme di …

Esame Fondamenti di matematica

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Salzo Saverio

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2022-2023

111 pagine

Appunti esame

Scarica

Estratto del documento

Def. funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva

Funzione iniettiva

f si dice iniettiva se:

∀x ∈ A ∀x₁ ∈ A (x ≠ x₁ ⇒ (φ(x) ≠ φ(x₁)))

oppure

∀x ∈ A (∀x₁ ∈ A) (x ≠ x₁ ⇒ φ(x) ≠ φ(x₁))

Legge della contronominale.

In termini di equazioni ci può essere al max una soluzione ν.

Funzione suriettiva

f si dice suriettiva se:

∀y ∈ B ∃x ∈ A (φ(x) = y)

oppure

∀y ∈ B (∃x ∈ A) (φ(A) = B)

In termini di equazioni ci deve essere min una soluzione ν.

Funzione biiettiva

f si dice biiettiva (se è entrambe sia suriettiva che iniettiva) se:

∀y ∈ B (∃x ∈ A) (φ(x) = y)

oppure

(∀y ∈ B) (∃x ∈ A) (φ(A) = B)

In termini di equazioni ci deve essere esattamente una soluzione ν.

Un'importante applicazione: biiettività in geometria

Il piano euclideo d: D(P,Q) distanza euclidea tra P e Q in ν.

Si chiama isometria ogni applicazione Σ: ν = ν che conserva le distanze “rigide” ∪∀P,Q ∈ ν : D(T(P), T(Q)) = D(P,Q)

Un'isometria è necessariamente biiettiva e la sua inversa è anch'essa isometria (per esempio nel modellare i movimenti rigidi del piano: traslazione, simmetria ass).

Definizione di funzioni iniettiva, suriettiva, biiettiva

Funzione iniettiva

ϕ si dice iniettiva se:

(∀x∈A)(∀x'∈A)(x≠x'⇒ϕ(x)≠ϕ(x'))

oppure

(∀x∈A)(∀x'∈A)(x≠x'⇒ϕ(x)≠ϕ(x'))

(Legge della contronominale)

In termini di equazioni ci può essere al max una soluzione x/y.

Funzione suriettiva

ϕ si dice suriettiva se:

(∀y∈B)(∃x∈A)(ϕ(x)=y)

oppure

(∀y∈B)(∃x∈A)(ϕ(A)=B)

In termini di equazioni ci deve essere min una soluzione x/y.

Funzione biiettiva

ϕ si dice biiettiva (se è entrambe sia suriettiva che iniettiva) se:

(∀y∈B)(∃!x∈A)(ϕ(x)=y)

oppure

(∀y∈B)(∃x∈A)(ϕ(A)=B)

In termini di equazioni ci deve essere esattamente una soluzione x/y.

Esempio: importante applicazione: biiettività in geometria

Il piano euclideo, d(P,Q) distanza euclidea tra P e Q, in Rⁿ si chiama isometria ogni applicazione T: Rⁿ→Rⁿ che conserva le distanze "rigide" t.c ∀P,Q∈Rⁿ: d(T(P),T(Q))=d(P,Q)

Un'isometria è necessariamente biiettiva e la sua inversa è anch'essa isometria (elisom enfie modellano i movimenti rigidi del piano: trasl, rotazioni, simm ass)

Def. funzioni composte

Siano φ: A→B e φ: B→C due funzioni t.c. il codominio della prima è uguale al dominio della seconda.

Si definisce funzione composta di φ e φ e si indica con φ o φ: A→C t.c.

(∀x∈A) (φ o φ)(x) = φ(φ(x)) ∈ C

Def./oss. funzioni inverse

La funzione inversa di φ è definita come φ: B→A t.c. ∀ y∈B, φ^-1(y) è l'unica soluzione di φ(x)=y.

Sia φ: A→B bigettiva e φ^-1: B→A l'inversa. Allora

(∀x∈A)(∀y∈B) [φ(x) = y ⇔ φ^-1(y) = x]

Si ha infatti:

φ(x) = y ⇔ ∃ φ^-1(φ(x)) = φ^-1(y) ⇔ φ(x) ∈φ^-1(y) ⇔ x ∈ φ^-1(y)

φ^-1(y) = x ⇔ ∃ φ(φ^-1(y) = φ(x) = y ⇔ x = x ⇔ φ(x) = φ(x)

Def. funzione invertibile

Una funzione si dice invertibile se è iniettiva e suriettiva, quindi bigettiva.

Se come segue

φ^-1: φ(A) → A

∀ y ∈ φ^-1(A) φ^-1(y) = {!} → unico elemento di A t.c. φ(x)=y

Attenzione:

Se voglio cambiare una funzione da iniettiva a suriettiva devo identificare l'immagine e cambiare il codominio.

Def: massimo, minimo, maggiorante, minorante

Sia (X, ≤) un insieme ordinato e A ⊂ X non vuoto.

Un elemento a ∈ A si chiama massimo di A se ∀x ∈ A x ≤ a. In tal caso dalla asimmetria della relazione d'ordine segue che esso è unico, si indicherà con max A. Similmente, un elemento a ∈ A si chiama minimo di A se ∀x ∈ A a ≤ x. In tal caso esso è unico e si indicherà con min A.

Un elemento M ∈ X, ∀x ∈ A, x ≤ M, si chiama maggiorante di A in X. Se esiste un maggiorante di A in X allora si dice che A è limitato superiormente in X. Un elemento m ∈ X. t.c. ∀x ∈ A m ≤ x si chiama un minorante di A in X e se esiste allora si dice che A è limitato inferiormente in A. (i maggioranti e minoranti non devono per forza trovarsi in A) (Massimo e minimo sono unici per l'asimmetria della relazione d'ordine)

Def: estremo inferiore e estremo superiore

Sia (X, ≤) insieme ordinato e A ⊂ X non vuoto. Supponiamo che A sia limitato superiormente in X. Allora l'insieme M (_X (A)) dei maggioranti di A i

Anteprima

Vedrai una selezione di 20 pagine su 111