Esame Sistemi dinamici - Teoria

Teoria sistemi dinamici

Lorenzo Quaranta VR455934 14 giugno 2023

1. Complementi sulle equazioni differenziali ordinarie

1.1 Il problema di Cauchy (PC) per equazioni differenziali del primo ordine in forma normale

Dati un aperto D, una funzione f: D e (t, y) D trovare un intervallo I e una funzione differenziabile y: I tc y(t) = f(t, y(t)) (PC) y(t₀) = y₀.

1.1.1 Osservazione

Nell'enunciato del PC richiediamo che la soluzione y sia definita su un intervallo. Escludiamo quindi la possibilità che y sia definita su un insieme non connesso.

1.1.2 Osservazione

Nei problemi provenienti dalle applicazioni, la variabile indipendente t potrebbe rappresentare qualsiasi grandezza scalare.

1.1.3 Osservazione

L’ipotesi che f sia C¹ non è ottimale. Tutta la teoria si potrebbe ripetere chiedendo che f sia localmente lipschitziana nella variabile y (uniformemente rispetto a t). Questo significa: per ogni insieme compatto K D, esiste una costante L > 0 tc per ogni y₁, y₂ tc (t, y₁), (t, y₂) K, valga |f(t, y₁) - f(t, y₂)| ≤ L |y₁ - y₂|. Ogni funzione di classe C¹ su D soddisfa la condizione di lipschitzianità locale.

1.1.4 Teorema di esistenza ed unicità locale

Se f è di classe C¹, allora esiste α > 0 tc il PC ammetta una ed una sola soluzione definita su [t₀ - α, t₀ + α].

1.1.5 Corollario

Se y₁, y₂ sono soluzioni distinte della stessa equazione differenziale y'(t) = f(t, y(t)) e f è di classe C¹, allora i grafici di y₁ e y₂ sono disgiunti.

DIM: Supponiamo, per assurdo, che i grafici non siano disgiunti. Esisterebbero uno o più punti t₀ comuni al dominio di y₁ e y₂ in cui y₁ e y₂ assumono lo stesso valore. Sia t₀ il minimo di tali punti. Chiamiamo y₀ := y₁(t₀) = y₂(t₀). Allora y₁, y₂ sarebbero entrambe soluzioni del PC y'(t) = f(t, y(t)), y(t₀) = y₀. Ciò contraddice il Teorema di esistenza ed unicità locale, che prevede l'esistenza di un'unica soluzione al PC. Q.E.D.

In termini geometrici, il Teorema di esistenza ed unicità locale implica che i grafici delle soluzioni di un’equazione differenziale y'(t) = f(t, y(t)) costituiscano una partizione del dominio D.

1.2 Soluzioni massimali e globali. Il teorema di fuga dai compatti

1.2.1 Definizione

Sia y₁ : I₁ una soluzione del PC definita in un intervallo I₁. Sia y₂ : I₂ un’altra soluzione del PC, definita in un intervallo I₂ ⊇ I₁. Si dice che y₂ è prolungamento di y₁ se y₂(t) = y₁(t) per ogni t ∈ I₁.

1.2.2 Definizione

Una soluzione si dice soluzione massimale del PC se non è ulteriormente prolungabile.

1.2.3 Definizione

Una soluzione si dice soluzione globale del PC se è definita su tutto ℝ. Una soluzione globale è sempre massimale per forza di cose. Il viceversa però non vale.

1.2.4 Teorema di fuga dai compatti

Se f è una funzione di classe C¹ sull’aperto D, allora il PC possiede una e una sola soluzione massimale y : (α_-, α₊) → ℝ. Inoltre, per ogni sottoinsieme compatto K ⊆ D, esiste un intorno U di α₊ tc per ogni t ∈ U valga (t, y(t)) ∉ K. Talvolta, si esprime la proprietà di fuga dai compatti in un modo sintetico, che è impreciso ma suggestivo: "(t, y(t)) → ∂D" per t → α₊, t → α_-. NB: Il bordo del dominio va inteso in senso lato, includendo anche l’infinito.

1.2.5 Corollario

Sia f : ℝⁿ × ℝ → ℝ una funzione di classe C¹ e sia y la soluzione massimale del PC. Se y è limitata, allora y è globale.

DIM: Sia (α_-, α₊) l’intervallo di esistenza della soluzione massimale y. Vogliamo dimostrare che α₊ = +∞, α_- = -∞. Supponiamo, per assurdo, che α₊ < +∞. Per ipotesi, y è limitata: esiste dunque M > 0 tc |y(t)| ≤ M per ogni t ∈ (α_-, α₊). Sia t₀ un elemento qualsiasi di (α_-, α₊). Consideriamo l’insieme K := {z ∈ ℝⁿ | |z| ≤ M} × [t₀, α₊]. Tale insieme è compatto sotto le ipotesi precedenti. Inoltre, per costruzione, per ogni t ∈ [t₀, α₊), (t, y(t)) ∈ K. Ciò contraddice il Teorema di fuga dai compatti, pertanto deve valere α₊ = +∞. Similmente per α_- = -∞. Q.E.D.

1.2.6 Corollario

Sia f : ℝⁿ × ℝⁿ → ℝ una funzione di classe C¹ e sia y la soluzione massimale del PC. Sia ϕ : ℝ → ℝ una funzione continua. Se y soddisfa ϕ(t) ≤ y(t) per ogni t nel suo intervallo di esistenza, allora y è globale. L’ipotesi di continuità garantisce l’assenza di asintoti verticali.

1.2.7 Teorema dell’asintoto

Sia u : [a, +∞) → ℝ una funzione differenziabile. Se esistono i limiti L := lim_t→+∞ u(t) e L' := lim_t→+∞ u'(t) e se L' è finito, allora L' = 0. NB: Si richiede che il limite della derivata L' esista.

DIM: Supponiamo, per assurdo, L' = 0. Più precisamente consideriamo il caso in cui L' sia finito ma strettamente positivo. Per definizione di limite, esisterebbe allora M ≥ a tc u'(t) ≥ L'/2 per ogni t ≥ M. Dal Teorema fondamentale del calcolo avremmo che u(t) - u(M) = ∫_M^t u'(s)ds ≥ (t - M)L'/2. Ne dedurremmo u(t) ≥ u(M) + (t - M)L'/2, il che è assurdo perché abbiamo supposto L finito. Gli altri casi si trattano in modo analogo. Q.E.D.

1.3 Il teorema del confronto

Questo teorema si applica alle diseguaglianze differenziali. Dal momento che possiamo parlare di diseguaglianze solo tra numeri reali dobbiamo restringerci al caso scalare.

1.3.1 Teorema del confronto

Sia f : ℝ × ℝ → ℝ una funzione di classe C¹ e siano (t₀, y₀) ∈ ℝ × ℝ. Siano y, u : I → ℝ due funzioni differenziabili, definite sullo stesso intervallo I contenente t₀, tc y'(t) ≤ f(t, y(t)) per ogni t ∈ I, u'(t) = f(t, u(t)), y(t₀) = y₀, u(t₀) = y₀. Allora y(t) ≤ u(t) per ogni t ∈ I, t ≥ t₀. Similmente, per t ≤ t₀, y(t) ≥ u(t). NB: Quando si studia il problema all’indietro, per t ≤ t₀, si inverte il senso della diseguaglianza tra y e u. Un risultato analogo vale anche per le diseguaglianze nel verso opposto: se avessimo y'(t) ≥ f(t, y(t)) per ogni t ∈ I, u'(t) = f(t, u(t)), y(t₀) = y₀, u(t₀) = y₀, allora y(t) ≥ u(t) per ogni t ∈ I, t ≥ t₀. In ogni caso, il verso della diseguaglianza viene mantenuto nel problema in avanti, rovesciato nel problema all’indietro.

1.4 Il teorema di esistenza globale

Fornisce una condizione sufficiente per l’esistenza di soluzioni globali. Si applica solo al caso di campi definiti su tutto ℝⁿ.

1.4.1 Definizione

Si dice che una funzione f : ℝⁿ × ℝ → ℝ ha crescita al più lineare in y se esistono funzioni continue non-negative ϕ : ℝ → ℝ e ψ : ℝ → ℝ tc |f(t, y)| ≤ ϕ(t)|y| + ψ(t) per ogni (t, y) ∈ ℝⁿ × ℝ.

1.4.2 Teorema di esistenza globale

Sia f : ℝⁿ × ℝ → ℝ una funzione di classe C¹ a crescita al più lineare in y. Allora la soluzione massimale del PC per ogni (t₀, y₀) ∈ ℝⁿ × ℝ è globale. NB: La crescita al più lineare in y è condizione sufficiente per l’esistenza di soluzioni globali, ma non necessaria.

1.4.3 Lemma di Gronwall

Siano I un intervallo, t₀ ∈ I e α una costante. Sia β : I → ℝ una funzione continua con β(t) ≥ 0. Infine sia u : I → ℝ una funzione continua tc u(t) ≤ α + ∫_t0^t β(s)u(s)ds per ogni t ∈ I implica u(t) ≤ α exp(∫_t0^t β(s)ds) per ogni t ∈ I, t ≥ t₀.

DIM: # Lemma Consideriamo R(t) := ∫_t0^t β(s)u(s)ds. Per il teorema fondamentale del calcolo la funzione R è di classe C¹, con derivata R'(t) = β(t)u(t). Grazie alle ipotesi abbiamo R'(t) = β(t)u(t) ≤ β(t)(α + R(t)) quindi R'(t) ≤ β(t)R(t) + αβ(t). Questa è una diseguaglianza differenziale del primo ordine, si può risolvere esplicitamente. Una primitiva di β è B(t) := ∫_t0^t β(s)ds. Moltiplicando ambo i membri di R'(t) ≤ β(t)R(t) + αβ(t) per exp(-B(t)): (R'(t)exp(-B(t)) ≤ (β(t)R(t) + αβ(t))exp(-B(t)). Osserviamo che ∂/∂t(R(t)exp(-B(t))) = R'(t)exp(-B(t)) - β(t)R(t)exp(-B(t)) = ∂/∂t(αexp(-B(t))). Perciò ∂/∂t(R(t)exp(-B(t))) ≤ ∂/∂t(αexp(-B(t))). Fissiamo ora t ∈ I, t ≥ t₀. Integrando ambo i membri di questa diseguaglianza sull’intervallo [t₀, t] e osservando che R(t₀) = B(t₀) = 0 otteniamo R(t)exp(-B(t)) ≤ α e quindi R(t) ≤ αexp(B(t)). Infine u(t) ≤ α + R(t) ≤ αexp(B(t)). Q.E.D.

1.4.4 Teorema

Sia y : (α_-, α₊) → ℝ una soluzione massimale del PC. Dobbiamo dimostrare che α₊ = +∞ e α_- = -∞. Supponiamo, per assurdo, α₊ < +∞. Fissiamo un punto t₀ ∈ (t₀, α₊). Per il teorema fondamentale del calcolo e la diseguaglianza triangolare, abbiamo y(t) = y(t₀) + ∫_t0^t y'(s)ds. Ora, y è una soluzione dell’equazione y'(t) = f(t, y) e abbiamo supposto che f sia a crescita al più lineare in y: ∫_t0^t f(s, y(s))ds ≤ ∫_t0^t (ϕ(s)|y(s)| + ψ(s))ds ≤ ∫_t0^t ψ(s)ds + ∫_t0^t ϕ(s)|y(s)|ds. Possiamo dunque applicare il lemma di Gronwall alla funzione y e concludere che y resta limitata sull’intervallo. Questo contraddice il teorema di fuga dai compatti; pertanto deve valere α₊ = +∞ (similmente α_- = -∞). Q.E.D.

1.5 Dipendenza continua dai dati iniziali

Confrontiamo tra loro le soluzioni di due PC associati alla medesima equazione differenziale, ma con dati iniziali diversi. Sia f : ℝⁿ × ℝ → ℝ una funzione di classe C¹ data, sia t₀ e siano y_1,0, y_2,0. Confrontiamo i PC: (PC₁) y'(t) = f(t, y), y(t₀) = y_1,0 e (PC₂) y'(t) = f(t, y), y(t₀) = y_2,0. Supponiamo che i dati iniziali siano diversi, ma vicini fra loro. Le soluzioni corrispondenti, per unicità, non possono coincidere mai: assumeranno ad ogni punto valori diversi, questo a causa della dipendenza dai dati iniziali.

1.5.1 Definizione

Si dice che una funzione f : ℝⁿ × ℝ → ℝ è lipschitziana in y (uniformemente rispetto a t) se esiste una costante L > 0 tc, per ogni t ∈ ℝ e per ogni y₁, y₂, valga |f(t, y₁) - f(t, y₂)| ≤ L|y₁ - y₂|. Di conseguenza, esistono funzioni di classe C¹ ma non lipschitziane e viceversa.

1.5.2 Lemma

Sia f : ℝⁿ × ℝ → ℝ una funzione di classe C¹ tc la matrice delle derivate parziali ∇_yf rispetto alla variabile y sia limitata; vale a dire, esiste L > 0 tc, per ogni (t, y) ed ogni indice i e j, valga |∂f_ij(t, y)| ≤ L. Allora f è lipschitziana in y. Viceversa, se f è di classe C¹ e lipschitziana in y, allora ∇_yf è limitata.

1.5.3 Teorema di dipendenza continua

Sia f : ℝⁿ × ℝ → ℝ una funzione di classe C¹ lipschitziana in y. Allora le soluzioni massimali y₁ e y₂ dei PC sono globali e soddisfano |y₁(t) - y₂(t)| ≤ |y_1,0 - y_2,0|e^{L|t - t₀|} per ogni t ≥ t₀, dove L è una costante per cui valga la condizione di Lipschitz. NB: Questa stima perde di significato quando t → +∞ dunque il teorema di dipendenza continua non implica che le soluzioni uscenti da dati iniziali vicini abbiano lo stesso comportamento asintotico per t → +∞.

DIM: Come abbiamo visto, una funzione lipschitziana in y ha crescita al più lineare in y, pertanto y₁ e y₂ sono definite su tutto ℝ per il Teorema di esistenza globale. Ora, il Teorema fondamentale del calcolo e la diseguaglianza triangolare permettono di concludere che...