Dimostrazioni per esame di Geometria ed algebra lineare

Dimostrazioni

Relazioni e vettori geometrici

Costruzione delle equazioni parametriche di una retta

Letti determinati due punti A e B v = [v_x,v_y] vettore geometrico ã al segmento AB retta passante per A,B è l’luogo dei punti P(x,y) tale che: OP = λ⋅Α΄+μ⋅Β΄ + Α΄ = λvΟΡ = X = λv.

Equazioni geometriche della retta X - X₀ = λv_x λv = 1 → λ = X - X₀/v_x Y - Y₀ = λv_y e Y - Y₀/v_y → λ = Y - Y₀/v_y.

Costruzione dell’equazione di un piano attraverso il nullavolumetrico del volume di un parallelepipedo obliquo

Piano passante tra 3 punti distinti A,B,C non allineati equazione AX + By + Cz + d del piano (2): soddisfatta dalle coordinate dei 3 punti p = ∑_iP_i.

Algebra delle matrici

Algebra delle Matrici Cambio di segno del determinante per lo scambio di linee det(L₁,...,L_i,...,L_j,...,L_n) = -det(L₁,...,L_j,...).

Sistema lineare e teorema di Rouché-Capelli

Sistema Lineare Teorema di Rouché-Capelli Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema Ax =B con A∈M_mn(K) sia risolvibile...

Dimostrazioni

Relazioni e vettori geometrici

Costruzione della equazione parametrica di una retta. Equazione geometrica della retta.

Costruzione dell'equazione di un piano attraverso binomiumento del volume di un parallelepipedo obliquo equazione del piano definito da x,y,z di PQ.

Algebra delle matrici

Algebra delle Matrici Cambio di segno del determinante prodotto da uno scambio di linee.

Sistemi lineari

Sistemi Lineari Teorema di Rouche-Capelli Condizione necessarie e sufficiente affinché il sistema A x=b con A con M m _(R):

Viceversa se r(A,B) = r(A) allora B è linearmente dipendente dalle colonne di A esistono quindi x₁,x₂,...,x_n t.c. x_iC_i+x_jC_j+...+x_nC_n=B pertanto il sistema è risolubile.

Regola di Cramer

Regola di Cramer Sia A dove A*predetto tale riga i di A*Ai complementi.

Costruzione della matrice inversa

Costruzione della matrice inversa det M.

Spazio vettoriale

Spazio Vettoriale Coordinata insieme indipendente non sopra Possounitario che è ridurre W e generato dall'insieme {v₁,v₂,...,v_n}.

Poiché {v₁,v₂,...,v_n} risulta anche cambiando sistema di generators iniziale.

Ripetiamo ora il ragionamento sostituendo v₂ che ∈ X con X₁ → otteniamo quindi: V₁ generato cioè da b₁,+b₂,+b_n quindi con b₁,...,b_n ∈ non tutti nulli, allora Y=₁,set X={v₂,...,v_n} e V₁,...V₂ sono indipendenti.

- - - - - - - - - - —-→V=₂,+v₃,+...+v_n iterando il processo si ottiene:

-V=V generato da v_n, set v₂,=⇒v₃ da b₂,+b₃,+b_n

-V₃=v₄,+v₂,...

-V generato da v₁, v₂, v₃, v₄,...,V_n a sistema di generators aggiornato(la successione ₁...),+set W=a₂,+a₃,+a₄,+v₂,iv₃,+v₄,...

Ripetendo il procedimento dopo n scrempezazioni si ottiene: V=a₁,+a₂,+a₃, a₄,+a_n.

Se fossero terminati, ci non verrebbero esclusi dopo pci n rimpezziament