Dimostrazione teoremi, esame di analisi I

Principali dimostrazioni dei teoremi

Analisi matematica 1

Insegnamento di Ingegneria Informatica - UNIMORE

Indice dei contenuti

• Teorema di unicità del limite
• Teorema su successioni limitate
• Teorema del confronto e caso particolare
• Teorema dei 2 carabinieri
• Teorema di permanenza del segno
• Limite della somma
• Funzione di Dirichlet
• Teorema su algebra di funzioni continue
• Teorema dei valori intermedi - Bolzano
• Derivate e limite del rapporto incrementale
• Legame fra derivabilità e continuità
• Teorema su algebra delle derivate
• Teorema di Fermat
• Teorema di Rolle e Lagrange
• Formula di Taylor con resto di Peano
• Condizione necessaria di convergenza delle serie
• Somma e convergenza della serie geometrica
• Criterio del confronto e confronto asintotico
• Criterio del rapporto
• 1^ teorema fondamentale del calcolo integrale
• Teorema della media integrale
• 2^ teorema fondamentale del calcolo integrale
• Teorema di integrazione per parti
• Teorema di integrazione per cambiamento di variabile
• Osservazione su convergenza di integrali generalizzati
• Esistenza del limite di integrali generalizzati positivi
• Criterio del confronto e confronto asintotico
• Formula di De Moivre per radici di numeri complessi

Teorema di unicità del limite

aIu Nicità limie del orema HP ( MEN successione: aMJy an l a n Flim JMENIFELO-b -UImustoo FMENSFA ENFlim FEJO Ianan -MIE-MM too-3 lThi x1l-mI-o-m :Ilpongo antlltlanan 1 -mI-mI-Il-ant -Ml VEIOallora

Lemma

LEMMA Se 5 2=020In: ,ILEL aieconsidero -ml?oElantel:1,ERSCELGO E\ amPONGO IE =-mI 12L -tIl LEMATI1an-mIEE -MI-O ), -anlPOICHe Il lam ESSERE verificatiOSS DEVONOE-aml -MI scelGOamentecontemporane : mzmaŠûjû VC D.. .}

Successioni limitate

Successioni limitate MALIMITESENZA Blim(-1)"Hp an Thi= an Non CoNvergEan: nstoScelto M numero reale, esso potrebbe essere solo compreso fra -1 e 1. Non si può9) fare poiché nei limiti la scelta di M è arbitraria.

La successione non diverge.

Scegliendo un intervallo arbitrario non avviene mai che gli elementi della successione2) cadano tutti dentro al “range”.

La successione non converge. 11)"In = HANONmè limHATALIMIE C.V.S.T DELLE SUCCESSIONILIMITATEZZA.SULLASIA alloraCOMJmEN :Flime Se Fr IMELIMITATA-fERI) nnstonusFSe2) => élim am am inferiormentElimmatatoo- =to7Se) * E SUPERIORMENTEsto Iman LIMITATA0- limDimostrazione 1 KIENMSMFlim an LFESO JMENIIaM

Hp: -lER )-LIEEnusto MERI KMEN7 anIMTh an 2oppore: Mm, LE JaMRISCRIVE -SIFISSA =ESI -ILaMLLH-LIEograficamente:ry ete potrebbero--¿ , -Mealil=m: TUTTAVIAMINORANTEMAGGESSERE E-->" EMINCLUDONONON amä*é.. s- - . Jxin-r.APPARTENCONONO ELEMFINITO DI CHE.ecementi ELIRANGE -L,CHJAL maxEamMucaMSI SCEGUIE -maxElte, 3}1253}M minS SCEGVIE VC. . .S.?anI-MIMEl-1,SOSS 3.PERANALOGAMENTE DIMOSTRARE ZEPROCEDE.

Teorema del confronto

Teorema del confronto del l=bum VMENanHp i an Th =. mb1Flim an -lER JmeN defininamente(FEsO /lam-elIE )M-7to0 JMENIn SEFINNAMENtebu LFEJO=MERlimI m -ILE )mustoo .is7 ZoaseeASSURDO LCONSIDEROPER N asenson!E PUNTOSCEGLIENDO ALUGUALEGIUNGE AD UNSIMEDIO separaT(assurdo range )

Caso particolare del confronto

Caso T del confronto particolare 2 .6Hß Thi=am: mFlim lim butoo ISe1) - tooan =mmztoo -ztooan- FlimbuFlim =-2)Se -- 0om muytto-Hropimostrazion IlimPeR IDHo 2ant definieivamenteYMER7 -. 0 Mnmustoo byM Ebm -3E an definitivamenceQUINDI VC2M . .S.

Teorema dei 2 carabinieri

Teorema dei 2 carabinieri bmHtp Cn? =an: lim JMENIlam definienvamenteI = IFEsOan -el:El )M-7to0 JmeNI definienvamentel lfesOIlim e-mC 1m.Ile )m-stoo JHENIISEFINIENAMENTE(Ilim b FEDO ) -ILE1=Mynstão GELJMELE GEECMELTEJEf OI LIMITEDALLA E:. LbyILtE Flim beLRISCRIvo 10 HP - VC. : s .-l .D.-E mosto

Teorema di permanenza del segno

Teorema di permanenza del segno diIlim In -LER JueNhamdefinienvamente(FEsO -elEnstoy lSe 23E =3 definitnamente70q,t01 n Tß) Sel2) an 40=3 definitvamence5-0,04ELCASO A ( -00)-TO ANALOGAMENTEFMERHtoPER defininamence3. am ManquindiM 3130 BEFSCELGO =Y .CERBCaso FETO ILTELELPER HPI an. OEF? : . =SIAE quindi E3LETSCELGO O3O .C. kIkquindiLE an DEFI 20RISCRIVENDO -l-U-U . C.V.S.

Limite della somma

Limite della somma Hßi Flim JueN definhnvamentean lfeso /am-llIE=l )M-3tO0 JMENI definitnamente(lim buI m= FE3Om 1m-ILe )mustooThi I IVE-( OEFmusto lantbeJMEN - 2ltm Ilten) Cantbu) /I .))3OlimDISUG 1.1DITRIANGOLAAPPLICO .kcam lan= -llHbu-mIIZE-el+(6n-mll SVCDI TESILA DELLALIMHEdefOHTENGO . ... lim

Teorema di caratterizzazione di funzioni e successioni

Teorema di caratterizzazione funzioni e successiondi DI-Sia DOVE INHERVALLO FORATOCO INEIEI R . )Ftim -SIA CIMFI allokaSUPIJ FIxXOE SEE SESOLO1 l7, sxolimV =anEI Flim1Šx0}I flamI anx Xo ED l)mstro nustro

Dirichlet: inesistenza del limite

Diricilet inesistenza limie del - di 2 uniione îg --f" --.""" -- v-{ -QEy se x - -- - - -