Definizioni e dimostrazioni funzioni, limiti, continuità e calcolo integrale

DEFINIZIONI

LIMITI DI FUNZIONI

• ∈ ℝ

Punto di accumulazione: sia C punto di accumulazione per f: ed esiste un intervallo I contenente c

( − , + ) > 0 ∀ ∈

(dalla forma con opportuno) tc f è definita tranne eventualmente in c.

• Definizione successionale di limite: sia f una funzione e c un punto di accumulazione per f, se per ogni

{ } {+∞,

)

= ( = ∈ ∪ −∞}

successione tc si ha che con allora si dice che il

→+∞ →+∞

() = .

limite per x che tende a c di f(x) è l e si scrive: →

o () = 0 →

Se f è tale che si dice che f è infinitesima per

→

o () = ±∞ → .

Se f è tale che si dice che f è infinita per

→

• {+∞,

∈ , ∈ −∞}.

Limite è finito se limite è infinito se {+∞,

∈ , ∈ −∞}.

Limite è al finito se limite è all’infinito se

• { }

→ =

Limite per eccesso: f tende a l per eccesso per se per ogni successione tc si ha

→+∞

) ) )

( → +∞ ( = ( ≥ .

che tende a l per eccesso per ossia che e definitivamente

→+∞

)

( ≤ .

Limite per difetto se definitivamente

• { }

() = () →

Limiti destri: sia si dice che tende a per da destra se per ogni successione

→

+ )

= ( = .

tc si ha

→+∞ → −

=

Limite da sinistra:

→+∞

• Asintoti:

o +∞,

Asintoto orizzontale: f una funzione definita in un intorno di si dice che f ha un asintoto

= → +∞

orizzontale di equazione per se

() = con l finito.

→+∞

o = +

Asintoto obliquo: f ha asintoto obliquo di equazione se

[() − − ] = 0

→+∞

o ∈ ℝ =

Asintoto verticale: sia di accumulazione per f, allora si dice che la retta verticale è

asintoto verticale se: () = &pl