Analisi 1 - definizioni e teoremi con dimostrazioni

Revisionato il 09/09/2026

di caterinafdifanti

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Appunti di Analisi 1 su: - Limiti: algebra dei limiti (dimostrazione della somma), teorema della permanenza del segno, teorema del confronto, limiti notevoli. - Funzioni: teorema degli zeri, …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Vessella Sergio

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2021-2022

30 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Teoremi analisi I: irrazionalità della radice di 2

Enunciato

"Non esiste un razionale che elevato al 2 dia 2."

∃ z ∈ ℚ :z² = 2 (⇒) z = ^μ/_m ridotto ai minimi termini *m ∈ 2, μ ≠ 0

(^μ/_m)² = 2

μ²/_m² = 2

μ² = 2m²

μ₁ = 2^p pari

μ² = 2k

(2k)² = 2m²

4k² = 2m²

2k² = m²

m = 2^p pari

Assurdo! * Così hanno 2 come divisore comune.

Disuguaglianza di Bernoulli

∀ m intero ≥ 0, x ∈ ℝ, x ≠ -1,

(1 + x)^m ≥ 1 + mx

(3 + x)(1 + x)^m ≥ (1 + mx)(x + 1)

(1 + x)^{m + 2} ≥ x + 4 + mx + mx²

x + 4 + mx² + mx + m x² ≥ 4 + x(m + 1)

(⇒) (1 + x)^{m + 1} ≥ 1 + x(m + 1)

Disuguaglianza triangolare

Reali

|x| ≤ x ≤ |x|

-|y| ≤ x ≤ |y|

|x + y| ≤ |x| + |y|

(|x| ≤ a) ⇒ -a ≤ x ≤ a

Complessi

(|z₁| - |z₂|)² ≤ |z₁ z₂|² (|z₁| + |z₂|)²

(|x + iy|² ≤ x² + y²)

(√(a² + b²) · √(c² + d²)) ≤ (ac + bd)² + (ad + bc)²

vero ∀ a, b, c, d ∈ ℝ

Teoremi analisi I: irrazionalità della radice di 2

Enunciato

"Non esiste un razionale che elevato al 2 dia 2."

x assurdo :∃ z ∈ ℚ | z² = 2. ⇒ z = ^μ/_m ridotto ai minimi termini. min m ∈ ℤ, μ ≠ 0

( ^μ/_m )² = 2

^μ²/_m² = 2

μ² = 2m²

μ² => 2 pari

μ² = 2k

(2k)² = 2m²

4k² = 2m²

2k² = m²

m² => è poi pari

Assurdo! ⇒ Così hanno 2 come divisore comune.

Disuguaglianza di Bernoulli

∀ m intero ≥0, x ∈ ℝ, x ≥ -1, (1+x)^m ≥ 1 + mx

(1+x) (1+ x)^m ≥ (1+ mx)(x+1)

(1+ x)^m+2 ≥ x⁴ + mx² + m xx + 4 + mx² + m x² + x (m+1) ≥ 2 + x (m+1)

⇒ (1+x)^m+1/2 ≥ 1 + x (m+1)

Disuguaglianza triangolare

- |x| ≤ x ≤ |x|

- |y| ≤ y ≤ |y|

- |x+y| ≤ |x|+|y|

- |x| ≤ α => -α ≤ x ≤ α

Complessi

|z₁|-|z₂| ≤ |z₁z₂| ≤ (|z₁| + |z₂|)²

|a² - 1| / |c² - 1|² ≤ ac + b²| ≤ √|a₁c₁ + b₁| + c₁|. Equivale a |ac + b| ≤ √ a⁴ + c² + c

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