Complementi di Scienza delle costruzioni - Teoria parte 2

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Propongo appunti di Complementi di Scienza delle costruzioni, Corso di Laurea triennale in Ingegneria civile e ambientale (UniMORE). Tra gli argomenti trattati in questa seconda parte …

Esame Complementi di Scienza delle Costruzioni

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Radi Enrico

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

A.A. 2017-2018

149 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Travi di Timoshenko

Premesse

Questo modello di trave si utilizza per travi molto non snelle, per le quali diviene non trascurabile la deformabilità al taglio, i cui effetti dello sforzo di taglio nel carico di trave in piccoli spostamenti si possono esplicare, ovvero uno scorrimento.

^{du_τ = ^{X_τ - T} / _GA}

du_τ: spostamento infinitesimo tra le due sezioni di una trave
X_τ: fattore di taglio della sezione della trave ( ≈1, ≈6/5 per sez. rettang.)
T: sforzo di taglio
G: modulo di elasticità tangenziale del materiale
A: area della sezione
dx: lunghezza infinitesima del concio

Nelle ipotesi di piccole deformazioni l'angolo φ può essere approssimato con la sua tangente, ovvero il rapporto fra i cateti:

γ = ^{du_τ - X_τ T} = scorrimento _dx_GA

In generale, indichiamo con A*: area ridotta = GA x_τ

Formulazione forte

Le equazioni che descrivono la formulazione forte del problema sono:

Equilibrio:

dT / dx = -q
dM / dx = T

Congruenza:

dφ / dx = X
dγ / dx = -φ + γ

Legame costitutivo:

T = GA* γ
M = EI X

X: curvatura

du_τ = du_τ - X_τ T _GA dx = φ dx

Travi di Timoshenko

Premesse

Questo modello di travi si utilizza per travi corte, per le quali non è trascurabile la deformabilità al taglio. In generale si usa per le sezioni delle travi snelle. Gli effetti dello sforzo di taglio sul carico di travi in flessione non sono piccoli, ovvero non sono trascurabili.

_du^T = ^{X_T · T}/_GA d_x

_du^T: spostamento infinitesimo tra le due sezioni d'una trave;
X_T: fattore di taglio della sezione della trave (≈1, ≈6/5 per sez. rettang. triang.);
T: sforzo di taglio;
G: modulo di elasticità tangenziale del materiale;
A: area della sezione;
d_x: lunghezza infinitesima del concio.

Nelle ipotesi di piccola deformazioni, l'angolo θ può essere approssimato con la sua tangente, ovvero il rapporto fra i cateti:

γ = _du^T/_dx = ^{X_T · T}/_GA scorrimento

In generale, indichiamo con A*: area ridotta = GA X_T.

Formulazione Forte

Equilibrio:

dT/dx = -q
dM/dx = T

Congruenza:

d_u/dx = -φ + γ
dφ/dx = X

Legame Costitutivo:

T = GA* γ
M = EI X

X: curvatura e d_u = _du^T - d_φ φ = ^{X_T · T}/_GA d_x - φ d_x

Sostituiamo le equazioni di congruenza dentro quelle di equilibrio e otteniamo:

T = GA * (ν² + φ)
M = EI φ'

Sostituiamo ora questa equazione dentro a quelle di equilibrio e otteniamo:

GA * (ν² + φ) = -q
EI φ'² = GA * (ν + φ)

Abbiamo così ottenuto un sistema di equazioni in cui le uniche incognite sono ν e φ. Riduco e formulo il problema in una sola incognita, sostituendo un'equazione dentro l’altra.

Sostituendo la 2^a equazione con la 1^a otteniamo:

EI φ'' = -q

Dalla 2^a equazione si ha poi:

ν = -φ + Λ * φ'

con:

Λ = \frac{\text{EI}}{\text{GA}}

che rappresenta la dimensione di una griglietta.

Il sistema che abbiamo ottenuto è allora:

EI φ'' = -q(x) (М)
ν = -φ + Λ * φ'

Il problema quindi è centrato sulle variabili ν², М e T dove

M = EI φ'
T = EI φ'

La soluzione generale per la funzione φ è:

φ₀ + λ φ₀ = C₁x + C₁x + C₁x² + φ₀,

con una soluzione particolare che dipende dalla forma del carico q(x) applicato alla trave. φ_p deve essere una funzione per cui la derivata terza si annulla. φ_p deve essere una funzione cubica, ovvero:

φ_p = -^9x³⁄_6EI (per conichi q=cost.)

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