Complementi di Scienza delle costruzioni - Teoria parte 1

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Propongo appunti di Complementi di Scienza delle costruzioni, Corso di Laurea triennale in Ingegneria civile e ambientale (UniMORE). Tra gli argomenti trattati in questa prima parte …

Esame Complementi di Scienza delle Costruzioni

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Radi Enrico

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

A.A. 2017-2018

123 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Settore ICAR/08 - Complementi di scienza delle costruzioni

Introduzione

Teoria UNIMORE - Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Filippo Ribes

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Complementi di scienza delle costruzioni - Teoria UNIMORE - Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Filippo Ribes

Autore degli appunti: Filippo Ribes

Gli appunti sono stati scritti sulla base delle lezioni svolte dal Professor Enrico Radi e delle sue dispense. Per dubbi, chiarimenti o altro, mi trovi su Instagram:

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Calcolo delle variazioni

Si definisce funzionale un'applicazione che ad ogni funzione u(x) definito su un intervallo [a, b] e tale da soddisfare determinate condizioni al contorno a e b (essenzialmente) sulle funzioni u e/o sulle sue derivate u', u''..., fa corrispondere un valore reale:

Π(u+) = ∫_a^bF(x, u, u', u'', ...)dx

Varrà: u(a) = u_a; u(b) = u_b

Alle funzioni u può essere richiesto di soddisfare, come detto, alcune condizioni al contorno:

u(0) = u₀; u(l) = u_c

Esempi di funzionali

Ad esempio, l'energia di deformazione elastica di una trave incastrata è:

Φ_e = ¹/₂∫₀^cM x dx = ¹/₂∫₀^cE[l(v'')²]dx

con: M = momento = -E[l u'']

χ = curvatura = -u''

Un altro esempio può essere il lavoro delle forze esterne su una trave incastrata:

L_e(u) = ∫₀^cq(x) · v(x) dx

con: q = carico

Variazione della funzione

Definiamo poi la variazione della funzione u(x) come la funzione εδu(x) = ũ(x) - u(x)

dove ũ(x) è una funzione arbitraria che soddisfa le stesse condizioni del contorno richieste per u(x). La variazione δ soddisfa la forma omogenea delle condizioni di contorno richieste per u [δu(a)=δu(b)=0].

Proprietà dell'operatore di variazione

Vediamo alcune proprietà dell'operatore di variazione δ che seguono dalla sostituzione:

ψ̃ = u + δũ

Gli operatori di derivazione (') e di variazione δ sono commutativi: δ(δu)' = ũ' - u' + δu + δũ' - ũ' = δũ
Gli operatori di derivazione (') e variazione δ agiscono allo stesso modo infatti:

δ (ũ v) = ũ δv + v δũ + δu v - ũ v' + δu v - ũ v'

δ (u v) = u δv + v δu + δu v - u v'

δ∫u dx = ∫u δu dx - ∫ δu dx

Incremento del funzionale

Si definisce inoltre incremento del funzionale π la quantità:

Δπ = π(u + δu) - π(u)

incremento di π = ∫[ F(x,u,u',u'',u* δu,...) dx - ∫F(x,u,u',u'',...) dx

Si dà gamma di π assume un minimo in u π(u + δu) > π(u), cioè Δπ > 0.

Variazione nel funzionale

Studiamo la variazione che subisce il funzionale π nel passaggio dalla funzione u alla funzione variata u + δu supponiamo che sia sviluppato in serie di Taylor la funzione F a partire dal valore in u, si ha:

F(x,u + δu,u' + δu',u" + δu",...) F(x,u,u',u",...) = δF/δu δu + δF/δu' δu' + ½δ²F/δu² δu (δu) + δF/δu₂ δu + δu ½δu δu' + δu' δu₂) + δu''...

Quindi:

ΔΠ = ∫_a^b (∂F/∂u'u δu + ∂F/∂u' δu' + ∂F/∂u δu'' +...) dx +

+ ∫_a^b [∂F/∂u'' uδu' + ∂F/∂u'u' u'δu'' + ∂F/∂u'u'' u''δu']dx + ...

δΠ = δΠ_Π + δΠ_Π...

dove δΠ_Π, δΠ_Π sono rispettivamente le variazioni prime e seconde del funzionale Π. Poiché la variazione prima δu non è definita in segno (infatti se δΠ > 0

Condizioni di stazionarietà

Integrando per parti la condizione di stazionarietà, si ottiene:

∫_a^b ∂F/∂u' δu' dx = [∂F/∂u' δu]^b_a - ∫_a^b d/dx (∂F/∂u') δu dx = ∂F/∂u'u

Facciamo la stessa cosa al termine ∂F/∂u''

∫_a^b ∂F/∂u'' δu'' dx = [∂F/∂u'' δu'_a]^b_a

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