Appunti completi del corso di Matematica applicata e statistica

Università di Modena e Reggio Emilia

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Appunti di Matematica Applicata e Statistica

Autore: Docente:

Filippo Viappiani Chiara Franceschini

Anno Accademico 2021/2022

Indice

1 Calcolo combinatorio 1

1.1 Disposizioni semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Disposizioni con ripetizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Combinazioni semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Spazio di probabilità 4

2.1 Probabilità condizionata ed eventi indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Variabili aleatorie 8

3.1 Variabili aleatorie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Variabili aleatorie assolutamente continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 Quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Media e varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Leggi di probabilità discrete notevoli 16

4.1 Legge di probabilità di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Legge di probabilità binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Legge di probabilità binomiale ipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 Legge di probabilità di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4.1 Approssimazione di una variabile binomiale a una di Poisson . . . . . 23

4.5 Legge di probabilità geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.6 Legge di probabilità binomiale negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Leggi di probabilità continue notevoli 29

5.1 Legge di probabilità uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Legge di probabilità normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.3 Legge di probabilità esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.4 Legge di probabilità gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.5 Legge di probabilità di Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6 Trasformazione di una variabile aleatoria 41

7 Variabili aleatorie multiple 46

7.1 Trasformazioni di due variabili aleatorie indipendenti . . . . . . . . . . . . . 60

8 Legge dei grandi numeri 63

A Integrale di Gauss 69

I Calcolo combinatorio

1 Calcolo combinatorio

1.1 Disposizioni semplici

Si definisce disposizione semplice di n oggetti a k a k una k-upla ordinata di k oggetti scelti fra gli n dati; ovviamente k non può superare n.

Esempio 1. Per esempio, si considerino le disposizioni semplici di tre oggetti a, b e c a due a due (a, b) (b, c) (c, a) (b, a) (c, b) (a, c)

L’aggettivo semplice indica che all’interno di una k-upla non si può ripetere lo stesso elemento mentre la parola disposizione indica che conta anche l’ordine in cui compaiono gli elementi.

Il numero di disposizioni semplici di n oggetti a k a k, indicato con D(n; k) è il prodotto di k numeri naturali decrescenti a partire da n

k−1Y − − − −

D(n; k) = (n i) = n(n 1)... n (k 1)

i=0

Infatti, per determinare il valore di D(n; k) si può ragionare per analogia come segue.

Si supponga di dover riempire k caselle avendo a disposizione n elementi distinti in modo che non ci siano ripetizioni tra una casella e un’altra: per la prima casella si hanno n possibilità di scelta, corrispondenti a tutti gli elementi disponibili da disporre; per la seconda casella si hanno n − 1 scelte poiché un elemento è già stato scelto in precedenza e quindi non può essere scelto nuovamente; proseguendo come già stato descritto, per la k-esima casella si hanno n − k + 1 scelte.

Il prodotto di tutte le possibilità di scelta porta al numero totale di disposizioni semplici di n oggetti a k a k.

Sulla calcolatrice esiste un operatore binario capace di calcolare il numero di tali disposizioni, ovvero D(n; k) = n nP r k

1.2 Permutazioni

Si definisce permutazione di n oggetti una n-upla i cui elementi sono tutti gli n oggetti.

Esempio 2. Per esempio, si considerino le permutazioni di tre oggetti a, b e c

(a, b, c) (a, c, b) (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b) (c, b, a)

Il numero di permutazioni di n oggetti, indicato con P (n) è il prodotto dei primi n naturali

nY − · ·

P (n) = i = n(n 1)...3 2 1 = n!

i=1

1 Calcolo combinatorio

Infatti, una permutazione è una disposizione semplice di n oggetti a n a n

P (n) = D(n; n) = n!

1.3 Disposizioni con ripetizione

Si definisce disposizione con ripetizione di n oggetti a k a k una k-upla i cui elementi sono scelti fra gli n dati con possibilità di scegliere più volte lo stesso elemento.

Esempio 3. Per esempio si considerino le disposizioni con ripetizione di tre oggetti a, b e c a due a due (a, a) (a, b) (a, c)

(b, a) (b, b) (b, c) (1)

(c, a) (c, b) (c, c)

Come già descritto, la locuzione con ripetizione indica la possibilità che all’interno della stessa k-upla sia presente lo stesso elemento più volte mentre la parola disposizione indica che conta anche l’ordine in cui compaiono gli elementi. R

Il numero di disposizione con ripetizione di n oggetti a k a k, indicato con D (n; k), è pari a

k−1Y R k

D (n; k) = n = n

i=0R

Infatti, per determinare il valore di D (n; k) si può ragionare per analogia come segue.

Si supponga di dover riempire k caselle avendo a disposizione n elementi distinti in modo che ci possano essere ripetizioni tra una casella e un’altra: per la prima casella si hanno n possibilità di scelta, corrispondenti a tutti gli elementi disponibili da disporre; per la seconda sono ancora disponibili n scelte poiché sono possibili le ripetizioni; procedendo come già descritto, anche per la k-esima casella si hanno n scelte.

Il prodotto di tutte le possibilità di scelta porta al numero totale di disposizioni con ripetizione di n oggetti a k a k.

1.4 Combinazioni semplici

Si definisce combinazione semplice di n oggetti a k a k un sottinsieme senza struttura d’ordine di k oggetti scelti tra gli n.

Esempio 4. Per esempio, si considerino le combinazioni semplici di tre oggetti distinti a, b e c a due a due {a, {b, {c,b} c} a}

Il sostantivo combinazione indica che non è importante l’ordine mentre semplice indica che nello stesso sottoinsieme non è possibile ripetere lo stesso elemento.

2 Calcolo combinatorio

Il numero di combinazioni semplici di n oggetti a k a k, indicato con C(n; k), è pari al numero di disposizioni semplici di n oggetti a k a k diviso per il numero di permutazioni di k oggetti

− − −

n(n 1)... n (k 1)D(n; k) n!

C(n; k) = = = −

P (k) k! k!(n k)!

Tale numero si può anche scrivere come coefficiente binomiale

n n!

C(n; k) = = −

k!(n k)!k

Infatti, per ogni disposizione semplice esistono k! possibilità di disporre gli elementi di tale k-upla.

Quindi il numero C(n; k) indica in quanti modi è possibile scegliere k oggetti da un insieme di n elementi.

Sulla calcolatrice esiste un operatore binario capace di calcolare il numero di tali combinazioni

C(n; k) = n nCr k

Se in una scatola sono presenti r palle rosse e b palle bianche e se ne estraggono n senza rimessa

1. Il numero di esiti totali possibili è pari al numero di combinazioni semplici di r + b elementi a n a n, ovvero il numero di scelte possibili di n elementi da un gruppo di r + b oggetti

r + b

Esiti totali possibili = C(r + b; n) = n

2. Il numero di esiti possibili in cui k palle sono rosse equivale al prodotto di scelte possibili − di k palle rosse tra le r totali e le scelte di n k palle bianche tra le b bianche

r b−

Esiti di k palle rosse (ed n k bianche) = −

k n k

3 Spazio di probabilità

2 Spazio di probabilità

Sia Ω un insieme. Una famiglia Σ di sottoinsiemi di Ω si definisce σ-algebra se

1. L’insieme totale Ω e l’insieme vuoto Ø appartengono a Σ

∈Ω, Ø Σ

2. Se l’insieme A appartiene a Σ allora anche il suo complementare appartiene a Σ

C∈ ⇒ − ∈A Σ A = Ω A Σ

3. Se una successione numerabile di sottoinsieme A , A , ..., A appartiene a Σ allora anche 1 2 n la loro unione appartiene a Σ

n[∈ ⇒ ∈A , A , ..., A Σ A Σ

1 2 n ii=1

In altri termini, una famiglia Σ di sottoinsiemi di Ω, detta anche famiglia di eventi, è una σ-algebra se comprende Ω e Ø ed è chiuso rispetto alla complementazione e all’unione numerabile.

Due eventi A e B di Σ si dicono disgiunti se la loro intersezione è pari all’insieme vuoto

def⇔ ∩A e B disgiunti A B =Ø

Si definisce spazio di probabilità una terna (Ω, Σ, P ) dove Ω è un insieme non vuoto, Σ è una σ-algebra di sottoinsiemi di Ω e P è una legge a valori in [0, 1], detta legge di probabilità, tale che

1. Per ogni evento A appartenente a Σ esiste una valore di P compreso tra zero e uno detto probabilità di A

∀A ∈ ∃P ∈Σ (A) [0, 1]

2. La probabilità dell’insieme totale Ω è pari a uno mentre quella dell’insieme vuoto è zero

P (Ω) = 1 P (Ø) = 0

3. La probabilità è numerabile additiva su ogni successione di eventi a due a due disgiunti

!n n[ X{A } ∩ ∀i ′: A A = Ø = j P A = P (A )i i∈N i j i ii=1 i=1

Teorema 1

Teorema 1. Se A e B sono due eventi in uno spazio di probabilità (Ω, Σ, P ) allora

∪ − ∩P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

4 Spazio di probabilità

− ∩Dimostrazione L’evento A può essere scritto come unione disgiunta di A B e A B e − ∪ l’evento B può essere scritto come unione disgiunta di B A e A B

− ∪ ∩A = (A B) (A B) (2)

− ∪ ∩B = (B A) (A B) (3)

B−B AA ∩A B−A B

Andando a sommare la probabilità di B con quella di A e applicando l’assioma secondo cui la probabilità dell’unione disgiunta è pari alla somma delle probabilità singole si ottiene

− ∪ ∩ − ∪ ∩P (A) + P (B) = P (A B) (A B) + P (B A) (A B) (4)

− ∩ − ∩= P (A B) + P (A B) + P (B A) + P (A B) (5)

− ∪ ∩ ∪ − ∩= P (A B) (A B) (B A) + P (A B) (6)

∪ ∩= P (A B) + P (A B) (7)

Quindi la probabilità dell’unione di A e B è pari a

∪ − ∩P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

Teorema 2

Teorema 2. Se E è un evento dello spazio di probabilità (Ω, Σ, P ) allora

C −P (E ) = 1 P (E) C

Dimostrazione L’insieme totale Ω può essere scritto come unione disgiunta di E ed EC

∪Ω = E E (8)

CP (Ω) = P (E) + P (E ) (9)

C1 = P (E) + P (E ) (10)

C −P (E ) = 1 P (E) (11)

5 Spazio di probabilità

2.1 Probabilità condizionata ed eventi indipendenti

Siano A e B due eventi di uno spazio di probabilità (Ω, Σ, P ).

Si definisce probabilità condizionata di B dato A, indicata con P (B|A), il rapporto tra la probabilità dell’intersezione fra A e B e la probabilità di A.

∩P (A B)defP (B|A) = P (A)

Se gli eventi A e B hanno entrambi probabilità non nulla si può scrivere

∩P (A B) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B)

In uno spazio di probabilità (Ω, Σ, P ) due eventi A e B si definiscono indipendenti se e solo se la probabilità dell’intersezione dei due eventi è pari al prodotto delle probabilità dei singoli eventi

def⇔ ∩A e B indipendenti P (A B) = P (A)P (B)

In generale n eventi A , A , ..., A sono indipendenti se la probabilità dell’intersezione di una 1 2 n qualunque sottofamiglia di tali eventi è pari al prodotto delle probabilità degli elementi di tale famiglia.

Se due eventi A e B sono indipendenti, dalla definizione di probabilità condizionata si ha

∩P (A B) P (A) P (B)P (A|B) = = = P (A) (12)P (B) P (B)

∩ P (A)P (B)P (A B) = = P (B) (13)P (B|A) = P (A) P (A)

e quindi la probabilità di A non dipende dal verificarsi di B e viceversa.

Dato un insieme di eventi Ω si definisce partizione di Ω un insieme finito o infinito di eventi H , H , ..., H , ... disgiunti e la cui unione è pari a Ω

1 2 n def [{H } ⇔ ∩ ∀i ′partizione di Ω H = Ω H H = Ø = ji i i ji=1

Teorema 3 della probabilità totale

{H }Teorema 3 (della probabilità totale). Sia (Ω, Σ, P ) uno spazio di probabilità. Sia una i partizione di Ω composta da eventi a probabilità non nulla e sia B un evento dello spazio di probabilità.

Allora vale la seguente equazione

XP (B) = P (H )P (B|H )i ii

{H } {(H ∩Dimostrazione Se è una partizione di Ω allora B)} è una partizione di B e per i i l’additività numerabile si ha

X ∩P (B) = P (H B)ii

6 Spazio di probabilità

Per la definizione di probabilità condizionata

∩P (H B) = P (H )P (B|H )i i i

Mettendo insieme quanto trovato

X X∩P (B) = P (H B) = P (H )P (B|H )i i ii i

Teorema 4 di Bayes in forma semplice

Teorema 4 (di Bayes in forma semplice). Sia (Ω, Σ, P ) uno spazio di probabilità e siano A e B due eventi di tale spazio a probabilità non nulla.

Allora vale la seguente equazione

P (A)P (B|A)P (A|B) = P (B)

Teorema 5 di Bayes adattato a una partizione

Teorema 5 (di Bayes adattato a una partizione). Sia (Ω, Σ, P ) uno spazio di probabilità.

{H }Sia una partizione di Ω tale che ogni evento H abbia probabilità non nulla e sia B un i i evento dello spazio di probabilità.

Allora vale la seguente equazione

P (B|H )P (H )i i|B)P (H =i X P (B|H )P (H )k kk

Dimostrazione In forma semplice, il teorema di Bayes è diretta conseguenza della definizione di probabilità condizionata

P (A)P (B|A)∩ ⇒P (A B) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B) P (A|B) = P (B)

Per la forma adattata a una partizione si può applicare il teorema in forma semplice applicato ad H e B per un certo indice i fissato

i P (B|H )P (H )i i|B)P (H =i P (B)

Secondo il teorema della probabilità totale [3], la probabilità di B può essere scritta come

XP (B) = P (H )P (B|H )k kk

Mettendo insieme quanto trovato si ottiene

P (B|H )P (H )i i|B)P (H =i X P (B|H )P (H )k kk

7 Variabili aleatorie

3 Variabili aleatorie

Si consideri uno spazio di (Ω, Σ, P ).

Si definisce come variabile aleatoria una funzione X definita da Ω a valori in che a ogni R∈ ∈ {ω esito elementare ω Ω fa corrispondere un numero X(ω) in modo che l’insieme : R≤ ∈ X(ω) x} appartenga a Σ per ogni valore di x R.

def⇔ ∀x ∈ {ω ≤ ∈X variabile aleatoria : X(ω) x} ΣR ∈

La probabilità di uno degli eventi di tale insieme, al variare di x determina la funzione R≤F (x) = P X(ω) x detta funzione distribuzione della variabile aleatoria X.

∈ In altre parole X è una variabile aleatoria se, per ogni x la controimmagine della R, ≤ semiretta (−∞, x] attraverso X è un evento tale che esista la probabilità P (X x).

def −1⇔ ∀x ∈ ∃PX variabile aleatoria X (−∞, x]R ≤

Analogamente al fatto che esista la probabilità di dell’evento X(ω) x esiste la probabilità che tale valore appartenga a un intervallo qualsiasi, sia esso limitato o illimitato, chiuso o aperto.

Esempio 5. Per esempio, si supponga di lanciare una moneta tre volte. L’insieme Ω di tutti gli eventi possibili è il seguente

{(C,Ω = C, C), (C, C, T ), (C, T, C), (C, T, T ), (T, C, C), (T, C, T ), (T, T, C), (T, T, T )}

defSi definisca la variabile aleatoria X = numero di teste nei tre lanci.

A seconda dell’evento preso in esame la variabile aleatoria X assume i seguenti valori

 0 se ω = (C, C, C)

 1 se ω = (C, C, T ), (C, T, C), (T, C, C)

X(ω) = 2 se ω = (T, T, C), (T, C, T ), (C, T, T )

 3 se ω = (T, T, T )

Per esempio, si possono calcolare le seguenti probabilità

13 ≤ ≤ ≤P 3.3 X(ω) 5.5 = 0 P X(ω) 0 =P X(ω) = 2 = 8 8

Si noti come la funzione distribuzione F (x) di una variabile aleatoria faccia conoscere anche tutte le probabilità di appartenenza a ogni insieme A misurabile

≤ ∀x ∈ ⇒ ∈ ∀AP (X x) P (X A) misurabileR

Due diverse variabili aleatorie X, Y si definiscono identicamente distribuite se le loro funzioni distribuzione sono uguali

def⇔ ∀x ∈ ≤ ≤X e Y identicamente distribuite P (X x) = P (Y x)R

8 Variabili aleatorie

3.1 Variabili aleatorie discrete

Una variabile aleatoria X si definisce discreta se valgono le seguenti condizioni

1. Esiste un insieme numerabile di valori di x tali che la probabilità che X sia uguale a ognuno di quei valori è positiva

∃{x } : P (X = x ) > 0j j∈N j

2. La somma delle probabilità degli eventi di tale insieme è uno

X P (X = x ) = 1jj

Si definisce funzione di probabilità di una variabile aleatoria discreta la seguente funzione

def ∀x ∈f (x) = P (X = x) R