appunti matematica e statistica

Capitolo 1 - Nozioni di base

1.1 Logica

Logica: disciplina che si occupa di come impostare ragionamenti corretti e dedurre conseguenze coerenti da premesse date.

Proposizioni e connettivi

(enunciati) una affermazione di cui dica se vera o falsa semplice -> composta.

Un connettivo logico è un operatore che permette di costruire una proposizione a partire da altre.

• Negazione "¬" (¬p si legge "non p")
• Congiunzione "^" (p^q si legge "p e q" -> falsa se tutte e due F)
• Disgiunzione "V" (pVq si legge "p o q" -> falsa solo se tutte e due F)
• Implicazione "⇒" (p⇒q si legge "p implica q", oppure "p se q" oppure "p solo se q" -> falsa se p è vera e q falsa)
• Equivalenza "⇔" (p⇔q si legge "p è equivalente q", stesso valore)

Tavola di verità

P Q ¬P ¬Q P^Q P∨Q P⇒Q P⇔Q V V F F V V V V V F F V F V F F F V V F F V V F F F V V F F V V

Proprietà

• p⇔¬ (¬p) La neg. della negazione di p equivale a p.
• p∨¬p principio del terzo escluso, può essere solo V o F. (in una c'è la sol)
• ¬ (p ^ ¬p) p, non contraddizione non può essere sia V che F.

Capitolo 1 - Nozioni di base

1.1 Logica

Logica: disciplina che si occupa di come impostare ragionamenti corretti e dedurne conseguenze coerenti da premesse valide.

Proposizioni e connettivi

(enunciati) un'affermazione di cui dirà senso chiedersi se è vera o falsa semplice composta.

Un connettivo logico è un operatore che permette di costruire una proposizione a partire da altre.

• Negazione "¬" (¬p si legge "non p")
• Congiunzione "∧" (p∧q si legge "p e q" falso se tutte e due F)
• Disgiunzione "∨" (p∨q si legge "p o q" falso solo se tutte e due F)
• Implicazione "⇒" (p⇒q si legge "se p allora q" è sempre vera tranne
• Equivalenza "⇔" (p⇔q si equivalenti p, q hanno lo stesso valore)

Tavola di verità

P q ¬p ¬q p∧q p∨q p⇒q p⇔q V V F F V V V V V F F V F V F F F V V F F V V F F F V V F F V V

Proprietà

• p⇔┐(┐p) La neg. della negazione di p equivale a p.
• p∨┐p principio del terzo escluso, può essere solo V o F: iu uno e c'è la sol
• ┐(p∧┐p) p non contraddizione, non può essere sia V che F.

(IV) ⊬ (p∧q)⟷(⊬p∨⊬q) ∧ ⊬ (p∨q)⟷(⊬p∧⊬q)

Leggi di De Morgan

• Negare p e q ∨ → almeno una è falsa
• Negare che almeno uno sia vero = è automatico falsare tutti

(V) (p⇒q)⟷(⊬p∨q)⟷(⊬q⇒⊬p)

Contaminale premessa ⇒ q vera quando q falsa ⇒ p falsa.

(VI) [(⊬p⇒q)∧(⊬q⇒r)]⇒(⊬p⇒r)

Proprietà transitiva.

Teoremi, assiomi, postulati

Teorema: p ⇒ q, due per se sono proposizioni semplici, ammettono vero significato considerato vero il suo enunciato.

Suo prenoti: Hp (ipotesi) Th (tesi) Dim (dimostrazioni).

Ipotesi + svolgimento = tesi conseguenza.

Assioma: proposizione non dimostrabile se è logica e ritenuto vero, si usa logica; Postulato.

Definizione: enunciazione tra oggetto e significato che gli si vuole dare.

Predicati e quantificatori

Un predicato è una proposizione che dipende da uno o più argomenti notabili in un insieme detto dominio, i suoi elementi costituiscono "insieme di verità".

Es. P(x)=x

Quantificatori: modifica il valore di un predicato.

• Q. Universale "∀" → per ogni
• Q. Esistenziale "∃" → esiste almeno uno
• Q. Esistenziale unitario → esiste ed è unico

Uguaglianza

Uguaglianza =

Ogni elemento di A è anche in B e viceversa.

Se è vero questo si può dire: A = B

Le relazioni senza di inclusione sono transitive: se (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) ⇒ (A ⊆ C)

Anche quella di uguaglianza: (A = B) ∧ (B = C) ⇒ (A = C)

L’insieme delle parti P(A) = {B | B ⊆ A} l’insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di A.

Operazioni tra gli insiemi

Intersezione

Un insieme dato dagli elementi che sono sia in A che in B A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Unione

Un insieme dato dagli elementi che sono in A o in B A ∪