Appunti Tecnica delle costruzioni M - parte 2

Tensioni su una giaciutura

Come trovare le tensioni su una giaciutura generica?

σ_n = σ_xcos²θ + σ_ysin²θ + τ_xycosθsinθ

σ_ns = σ_xcos²θ + σ_ysinθ + 2τ_xycosθsinθ

τ_ns = -σ_xcosθsinθ + σ_ycosθ + τ_xycos²θ - τ_xysin²θ

τ_ns = (σ_y - σ_x)cosθsinθ + τ_xy(cos²θ - sin²θ)

m_nn = m_xxcos²θ + m_yysin²θ + 2m_xycosθsinθ

m_nue = (m_yy - m_xx)cosθsinθ + m_xy(cos²θ - sin²θ)

Per risolvere le equazioni di Lagange bisogna porre delle condizioni di contorno:

1. Il momento sulla giaciutura sul bordo deve essere uguale a quello che applico. m_nm(0)
2. Il taglio deve essere in equilibrio con il carico applicato ad una giaciutura. t_n + m_nueq

Nello spigolo ho due forze (2m_n) concentrate in veste, ma è così perché si sta trascurando le deformazioni e taglio.

Navier Piastre appoggiate

Eq. Lagange

W_,xxxx + W_,yyyy + 2W_,xxyy = q/BC.

Cw = 0; m_x = 0 per x = 0 e aw = 0; m_y = 0 per y = 0 e bW(x, y) = ∑_n=1^∞∑_m=1^∞W_nmsin(nπx/a)sin(mπx/a)

Sviluppo in serie

dello spostamento incognita che viene determinato tramite Lagrange

Sviluppo in serie del carico

q(x, y) = ∑ ∑ q_{m, n} sen(^mπx/_a) sen(^nπy/_b)

q_{m, n} = ⁴/_ab ∫ ∫ q(x, y) sen(^mπx/_a) sen(^nπy/_b) dx dy

Se il carico è trasversale e costante con m, n dispari. ---- con m, n pari.

q_{m, n} = ^16q/_π²mn ---- q_{m, n} = 0

Perché con m, n pari ho 0 e con i dispari q_{m, n} = ^16q/_π²mn?

I numeri dispari sono simmetrici, e un carico uniformemente distribuito quindi: per approssimare qualcosa di simmetrico serve un coseno di simmetrico (oppure i numeri dispari).

Per trovare W₀(x, y) do W_{m, n}. Faccio le derivate della serie di Fourier e le metto nell'equazione di Lagrange

Derivate della serie di Fourier

W_xx = ∑ ∑ W_{m, n} ^mπ/_a cos(^mπx/_a) sen(^nπy/_b)

W_xxy = ∑ ∑ W_{m, n} ^mπ/_a cos(^mπx/_a) ^nπ/_b cos(^nπy/_b)

W_yy = ∑ ∑ W_{m, n} ^nπ/_b cos(^mπx/_a) sen(^nπy/_b)

W_xxx = ∑ ∑ W_{m, n} (^mπ/_a)² sen(^mπx/_a) sen(^nπy/_b)

W_yyy = ∑ ∑ W_{m, n} (^nπ/_b)² sen(^mπx/_a) sen(^nπy/_b)

W_xxyy = ∑ ∑ W_{m, n} (^mπ/_a)² (^nπ/_b)² sen(^mπx/_a) sen(^nπy/_b)

Equazione di Lagrange

Eq Lagrange: W_xx + W_yy + 2 W_xxyy = -^q/_B

∑ ∑ W_{m, n} (^mπ/_a)⁴ sen(^mπx/_a) sen(^nπy/_b) + W_{m, n} (^nπ/_b)⁴ sen(^mπx/_a) sen(^nπy/_b) + W_{m, n} (^mπ/_a)² (^nπ/_b)² sen(^mπx/_a) sen(^nπy/_b) = -^{q_{m, n}}/_B sen(^mπx/_a) sen(^nπy/_b)

Porto tutto a sinistra e raccolgo le funzioni senoΣΣ  = 0 deve sempre essere = 0;  trovo W_{m, n}

W_{m, n} = q_{m, n}/_Bπ⁴(_{m²/a² + n²/b²})

Tratto questo lo vedo e sostituire in W(x, y) = ΣΣW_{m, n}sen(_mπx/a)sen(_nπy/b)

Calcolo dei momenti

m_xy = _B(W_xx + νW_yy)

m_yy = _B(W_yy + νW_xx)

t_x = _∂mxy + _∂myy

t_y = _∂myy