Appunti sulle trasformazioni adiabatiche

TRASFORMAZIONE ADIABATICA

Se gas non scambia calore => dQ = 0

dQ - PdV = mc_v dT

dQ = 0 => - PdV = mc_v dT

PV = mRT

P = \(\frac{mRT}{V}\)

- \(\frac{mRT}{V}\) dV = mc_v dT

- \(\frac{R}{c_v}\) \(\frac{dV}{V}\) = \(\frac{dT}{T}\)

\(\frac{R}{c_v}\) = \(\frac{c_p - c_v}{c_v}\) = \(\frac{c_p}{c_v}\) - 1 = \(\gamma - 1\)

\(\lambda\) = c_p - c_v

R = c_p - c_v

\(N.B.\) \(\gamma = \frac{c_p}{c_v}\)

integro = \(-( \gamma - 1 ) \ln V = \ln T + \text{cost}\)

ln T + ( \gamma - 1 ) \ln V = cost

\(\ln T + \ln V^{\gamma - 1} = \text{cost}\)

\(\ln T V^{\gamma - 1} = \text{cost}\)

T V^{\(\gamma - 1\)} = cost

P V = mRT

T = \(\frac{PV}{mR}\)

\(mR \frac {PV}{mR} V^{\gamma - 1} = \text{cost} \cdot mR\)

PV^{\(\gamma - 1\)} = cost

PV^\(\gamma\) = cost

PV V^{\(\gamma - 1\)} = cost

V \cdot V^{\(\gamma - 1\)} = V^{1 + \gamma - 1\)} = V^\(\gamma\)

TRASFORMAZIONE ADIABATICA

Se gas non scambia calore → dQ = 0

dQ - PdV = mc_v dT

dQ = 0

dQ - PdV = mc_v dT

- PdV = mc_v dT

PV = mRT

P = _mRT/^V

- _mRT/^V dV = mc_v dT

- _R/^c_v dV/_v = dT/_T

R/_cv = _{cp - cv}/^c_v

R = c_p - c_v

R = c_p - c_v

legge di Mayer

N.B. γ = _cp/^c_v

γ = _cp/^c_v

- _R/^c_v = γ - 1

- _R/^c_v dV/_v = dT/_T

- (γ -1) dV/_v = dT/_T

integro = - (γ -1) lnV = lnT + cost

lnT + (γ -1) lnV = cost

lnT + lnV^γ-1 = cost

lnTV^γ-1 = cost

T V^γ-1 = cost

PV = mRT

T = PV/_mR

P V^γ-1 = cost

nRT V^γ-1/_mR = cost

= cost ⋅ n_R

P V^γ = cost

P V^γ = cost

V ⋅ V^γ-1 = V^1+γ-1 = V^γ

Espressioni di un'adiabatica reversibile di un gas perfetto

T V^γ-1 = cost

P V^γ = cost

Disegno adiabatica sul piano di Clapeyron

Nell'adiabatica la curva ha una maggiore pendenza rispetto a un'isoterma

Lavoro di un'adiabatica

P V^γ = cost differenzio parzialmente

V^γ dP + P γ V^γ-1 dV = 0

V^γ _V^γ-1 dP + P γ V^γ-1 dV = 0

_V^γ V^γ-1 = V^β-β+1 = V

V dP + P γ dV = 0

P V = m R T differenzio parzialmente

V dP + P dV = n R dT

∫V0^V dP = ∫mR dT_A^B - ∫PdV

P dV (1-γ) P dV = m R _1-γdT

P dV = -m c_v dT

L = ∫_A^B P dV = ∫_TA^T_B - m c_v dT = - m c_v (T_B - T_A) = -m c_v ΔT

N.B.

Il lavoro di un'adiabatica dipende solo dalle temperature!

• BA) compressione adiabatica
• L_BA < 0 \(\Delta T > 0\)
• BC) espansione adiabatica
• L_BC > 0 \(\Delta T < 0\)