Appunti sulle derivate

Derivate e continuità

toilette Été RfICIR I Ic- :✗ '→•, , è INOline fa ) )f finitoderivabile punto esistenel eddicesi se✗ -o ✗✗ → ✗ Xoo -( ))) (puo ✗line J-1h ° la-= ✗ Xocon = rapportodal- limitah 0→ am finedellaincrementale d¥f' prima derivata Df7 ( ) )diDERIVATA )(si (si indicachiama ✗che Xoin Xo Xoe :o , , .limite )( i lDef f èè I f tutti puntiderivabile derivabile diin Iin se i. .Def f derivata finitoha èSi esistedestrache prima ✗indice edseo. I' )Sciotti)( ) ) Dtf1-%×÷ (( ) (I ✗ Xo Xolinea line si indica°- e ,+= griot+✗ ✗→ on☐Def finitoderivata esisteSi èed✗haf sinistraprima in sechedice o. f- )Sciotti)( ) ) D-1-%×÷ (( ) (I ✗ fXo Xolinea licei si indica°- e ,= en -✗ × -30→ an,

Funzione costante

Funzione costante es . 'IR )f. #qflrf IR IRIR è tutto ( O1→ derivabile X: + =in e✗ q>1 - §indeterminata perchéè forma( unanon1(×ot%IR 9¥ § il 0✗ C- ilandandostadenim numaO ma. .o ,== = % 0andandosta anon, 0Ha ' costanterapporto incrementaleil e=/ o )ilprima ancora l i m i tedi sovra

Funzione lineare

Funzione lineare es . U-xc-IR-fkxt-mxi-mxi-qh-soxoc-IRflxothfn-flx-e.MN/othIR IRIR IRaf derivabilec- tuttoèg.: M q→ in e, Male) )(+9 mxotq- m>m==on

Parabola

Parabola es , f'#IRIRIR IR 2.x)(derivabileè→1 c-: eing. × =2✗→✗ H×°+h[1U < "' È °'0<+2 →)tir ( hxoth✗xotln ln✗ 2×0✗ +- 2×0- >= ☐ ==☐ hh

Valore assoluto

Valore assoluto es . / / ✗✗ ciò contacheintorno= in un e# ,J'IR derivabile comportamentoil dellaR è =L) èl i m i te( nel✗g. so f X→ ( e: bucatoneeiintornopensione 1)( sarebbe# mÀLX -1è11×1 )derivabile✗ < 0→✗ e = diintorno ✗in 1×1un ×= -Fa) )Ichline flo line =L- = lnesotg-lnnsot 0è aeeeeivaebilaf. innon ficoficolive.fm?g-s-O % )-2) )=L ( diverseline sonoma =Laeta= = ,-ho --← o a)( ho/1h -=

Continuità e derivabilità

Continuità e derivabilità Tamaderivabilila implica lanon →è TÀ IMPLICAviceversavero DerivabiliCONTINUITA 'PROP derivabileI Xo continuaf) ✗inin = o. .implica .(× ✗✗) )filo( →Jim ) J 1 (XoIl ) °× X o=- - ,. O> limitioperazioniper suilerapporto ✗iee- ✗→dividomoltiplico e OincrementaleYo✗per ÀCXO- )>✗✗ → 0 perchè è derivabile( gdi )ipotesipervalorelive siano( ) )fcx fcxo) o- =✗✗ → olinee ✗continuità in))( JCXO7 o× =✗✗ → o portarla) limitefuori( daldipendecostante) possonflxo è ×dan o n →una

Seconda derivata

Seconda derivata 'µ )IR1 IRderivabileI I→ Iin →✗ IC-: :, ☐ , è( edesistese limiteilfinito'Allora I ' derivabile XO7 volte Xoderivabiledice insi sedue ine rapporto incremdei .'f )di Xoin .[÷"' D'(f) =p ( derivata) )glio seconda) di) f( ✗(Xosi inXoponee :Xo = = o .-1

Derivata n-esima

N-esima derivata "(f )derivabileIR 1)( IRIf fvolta j→: II- in →n :- , ., . .,-1"allora f èsi7 derivabile derivabile ✗sedice volte ✗ ininn oo"1)µ "" " Olàfr- =D)1( ( 7) )flxo derivata diXoXosi esimaponee ) :( n= -= ✗ o ✗in o' IRIRPARABOLA èIRIR1 f → derivata→es primala parabola: della:. Lasenz lineare genzianauna èlineare.' .× 2x✗ ✗ →→( derivabile"I R R'f'V7 :/IR '=L) →(IRe-1 derivabilevolte ×c-due in e 2✗ '→ costanteLa funzionee- derivabile con"G'V7 IRIR O( ) derivata nulladerivabileè tre primain ef volte C- × = Da tutti 0otterròzero"IR (tu )è 31 f.volte derivabile ×>e =Dn in-La è derivabile infinite voltefunzioneparabola unaI :# IR→ tà' )0es derivabili( Studiamo ladappertuttocontinua inanchee :. . 2f ✗coincide con in un= f'#✗✗ )( 'Se ✗ derivato70 è oeeeeivSO 2X diX e-×intorno✗f. e ✗=in✓ . .. derivataf' ) la(✗ coincide× con2 f' "¥ diè )f.0 aleriv✗ LO (se ✗✗ < 2x .✗ ×in e- = -. di 1✗ coincidein intor noun è2 eleeeivaebche✗con - , .III.I f' ) )IO (2×1*0=0 -2×1×0=00= =+ -calcolata in 0ZX IRf' 1) =Df. è 'derivabile derivabile( Tutto0 0e inin e.' IR1 IR →: # " ) =L2x 7✗ fe-> (030 darà✗ volte Xese due ..× ' ti "èo (✗ )se -2-2 0 ff. aeeeeiv✗ volte X< < due e =.If ZII" ?'J'+103=2 =/+10 quindi)( ) -2 1 ( )o ma= o 0è derivabiledue1 volte innon ..

Operazioni con le derivate

Operazioni con le derivate ICIR IRf. II✗ ✗derivabili→ inC- 0g : o☐ ,, ." ÀCXO ' ))Allora ((( ) )è1 figXoderivabile XoXoin 9± og e ±='g) g')( )f' (f. (è ) )f. glio(derivabile )flxo Xoe +✗0g in XoXo -= .o 'Ig (f) ' ') )glio)se ()(è ( f1 Xoderivabile ))glxo of=/ Xo Xo( Xoin✗ e ✗ = - --oo 2/(G ( )XoOSS : ) è ilf delladerivabileè continua teoremasiccome permanenzaoycxosupponiamo > 0 anche, continueraigarantisce ad >oesseredel segno Xointornoin diche un .③ )((f g) ) ) )(Dim g)( )( ) glxoth )( ±gliof.xotln glio± Xo± ±xothf-. - = la= spezzo0h operazioniamh)(f. >)) ) °glioJ oylxoth(Xoth 'Xo g'- ))(-± f. (- ±Xo Xo,oh y *( sottraggog) )①③ ( e)f. ( ) )) )Yoth) flxotlng) Oglio( (( h✗Xo 0g Xog. + '- loaggiungo-- ☐= = stesso terminelr )( mistoLe * )) ()I) )cglxotln )) )aflxotln glio flxo)th (glio Xotln( glio+ g.- ✗ --- --o spezzo= frazlale .) È( f') (oth✗9 ✗) g')) ° )-9 tfcxo) (a)Scio (( ✗fcxoth Xo Xo) ggcxo -- )h( +✗g +☐ lia |1 glio)> ×le frazionispezzo " °→ dell' Xoè U quindiOf in anche continuaevidenza -metto ine laquindi dentroposso l i m i tepassare al variabileF- §÷÷ §ÈFg④ )Hoth) )( )Xo ) gcxoih)Shota gcxo sexo-- -= ==a hgcxoi-hlgcx.co)ln )(÷ M c m¥ definitoè ben→in intor noun)) cgcxoth) )g() fuo11×0+4 glio filofilo )) )gcxoXo + -- frazionilespezzo e= evidenzametto in)(li ( )toth Xog. q) ) l')Alto) À91×0afcxoten Hoth9 À°) →(ge- Xo) g -+ )gcxo, _ '))(hcgcxotlr glioh9ff¥ ) )(glio ) q XoFÉIN "h so- I' g'glio) )()fcxo)( XoXo - - -2/)⑤(XoTino )funzioneltiptico una costantebileaderiva unaperIRCorollario IRf è✗Xo→ derivabileI I: p c- ottengo ancorain che: c- quello✗ ✓., ,, ☐ aeeeeeleabill -mettendoprodottodelregola"( "f) ( ) costantef ) )allora è l acgcxI posto di✗derivabile al(✗ :Xo✗Xo e Xoin = portarecostante puòla si derivatafuori dalladerivata dalla( perché haf'' )(G) ( )% costante✗ è =DIl ) è deriva0se o(g)" allora ✗# ein = -☐ 2d)ff ( ✗ quozientedelregola :7posto mettodi 0greciprocoil al ,I.7posto dial mettoNFraapouo-incrementaeavengonof-semp.ro

Formule di derivazione

Formule di derivazione ]indeterminateforme-1" txtfu)1 IRDCX NX" 71=. DLX )Dim =L è=Linduzione =Lnper per n: ve r a. supponiamo Vediamo sepervera per n +n . -1 "" "+1 (")) ) n"""( (1) )=D ) +1(n =D ✗nx ✗✗ ✗✗✗ (× ✗× ✗ n n✗ D + +×+ == =-. - - A dipostoinduttiva nderivata all ala regola (ipotesiuso perderivazione did i ✗ 1)ae- loro utprodottodel2 è IR#) "( è )D c-✗ ( infinitederivabile evene sempre= →. " eh "+è èè h 0eDim →. _ ex ex-. = = >en enen "netto " ↳" 1rapporto #proprieincrementale limite ¥! =Lnor male" IR3 d-)D lega(à a 1a 0 ✗#> c-a.=. ,× "ahahln "" →✗ °+ -1 àngel"aDim a@@ _ a- ,.. == a-aa¥) tiDiego4 o>=. )&(2+7) lattuga G-lat(log socosilog §-)Dim leg ✗( en✗× -o> ✗+ -. = = ,= F-&hla ✗-eogipop . " → °f-cambio variabile y o>=)log ( y 0y →t +limitejpg <,=TX5 ) notevoleXx(D > ,o=. →✓Vxtln ¥ itTx )( 1Dim so 1-✗ +✗ - -. = ,= ZTXen a e✗f- %-)( E." → °f-g. »=→ { 4+9%-1-9 » =L✗a>è"voterà TGh 1g →✗ >o=D +00>, = =TX (è rapportoilderivabile 0 eim esistedestra delnon da increvnin . .è finitò )nonma .{

Derivata della funzione composta

Derivata della funzione composta TDERIVATA FUNZIONEDELLAIR ) )J IIII derivata (If derivataXot Xoff.: < in→ 0g✗ yo : =ineo,,,pg- ,g →, f'" () )'( )cgof IR )allora derivabile (gof flxo (Xoè )I e Xo=pin Xo→: -( )))( ) ) ( f (( h( ))Dim (goj )901 pixoh ✗g.✗ +Xo q+ - -☐ ☐=. moltiplicoDividole eA per] definizione ) fcxo)plxotlnper -rapportoincrementale Eglflxoi-GY-9.ph/oth)-fCxo)U rapporto= incrementalehIGXOaflxotln) )- h > o. s' cxo)>È 0() )f Xo1( otlnK ✗poniamo -= -↳ Xoderivabile)gcxo perché e- inyquindi in( continualn ✗)→ oog(f(✗d+xd) rapporto incrementaledi 9 xoinµ le -70 ( )g' flxo),Scio) lrpotrebbe) annullarsiAlioth aivalorequalcheproblema per: - quantitamoltiplicare potrebbe essere'quelladividerequindi a nonper lecito .)cglyotk )cgcyo{ - k¥0se( )Dimostrazione G-IRCt IR k =: →= µcorreva g' ( ) kioyo se0èG-Dimostro continua inche )( )940Yotk9linelinee -(a)g- ' )( )G-= (yog o= =KK -30 -70 te perdefinizione↳intorno increnn( rapp . .)bucato ècgdi yo0g in ederivabile ipotesiin go per .) ))( ) cglfcxo) 9111×0+4)( ( )901 )( XoofXoth qRapporto incrementale - -=composta ✗dalla i n o q hcontinuitàl a 1Ho+h)-th per→ o )o glio> di '? 1 membroGÌi= . increm.dif.in XoRapp . derivabilefr è7 xoe in' )) ( &g- ( 0g yo °o 'poiché G- →= e It 2.) membro)( Xo0continua in) ) ICXO) )I f( (Xotln O.K 0 membrientrambiavrei ia= . G-sostituisco seralaa) )fcxotln il) espressione quando( suof )I =/ (Xo yo=p