Appunti sulle derivate e teoremi affini per la preparazione dell'esame Matematica Corso Base

Il concetto di derivata

y = g(x) definita in D, x₀ ∈ D.

Considerata una funzione y = g(x) definita in un insieme D, e preso un punto x₀ appartenente a quell'insieme D, cos’è la derivata della funzione osservata nel punto x₀? La derivata è indicata con y' oppure g'(x₀).

1. Derivata prima della funzione in x₀, ovvero lim_h→0 [g(x₀ + h) - g(x₀)] / h.

Ovvero, la derivata prima di una funzione nel punto x₀ è il limite del rapporto incrementale.

Il rapporto incrementale (Δy/Δx) è il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento della variabile indipendente.

Cos’è il rapporto incrementale

g(x₀ + h) - g(x₀)?

Δy = g(x₀ + h) - g(x₀)

Il concetto di derivata

y = g(x) definita in D, x₀ ∈ D.

Considerata una funzione y = g(x) definita in un insieme D, e preso un punto x₀ appartenente a quell'insieme D, cos'è la derivata della funzione osservata nel punto x₀? La derivata si indica con y' oppure g'(x₀).

1₂. Derivata prima della funzione in x₀ è lim_h→0 [g(x₀ + h) + g(x₀)] / h.

Ovvero, la derivata prima di una funzione nel punto x₀ è il limite del rapporto incrementale.

Il rapporto incrementale (Δy/Δx) è il rapporto tra l'incremento della funzione e il corrispondente incremento della variabile indipendente.

Cos'è il rapporto incrementale

g(x₀ + h) - g(x₀)?

Δy = g(x₀ + h) - g(x₀)

La derivata prima è: g'(x₀) = lim_h→0 (g(x₀ + h) - g(x₀)) / h.

h rappresenta l'incremento che ho sulla variabile indipendente, cioè la cosiddetta Δx.

(g(x₀ + h) - g(x₀)) rappresenta il Δy.

La retta tracciata è una secante al grafico della funzione e il rapporto incrementale Δy/Δx rappresenta il coefficiente angolare di questa retta.

Se faccio tendere h a 0, p e q si avvicinano fino a quando la retta diventa tangente al punto x₀. Quindi il lim_h→0 (g(x₀ + 1) - g(x)) / h, ovvero la derivata prima, rappresenta il rapporto geometrico e il coefficiente della retta tangente al grafico della funzione.

Come tutti i limiti, il lim_h→0 (g(x₀ + h) - g(x₀)) / h può essere calcolato sia con h→0⁺ sia con h→0⁻.

Se calcolo il limite con h→0 sia da destra che da sinistra, la derivata prima prende il nome di derivata della funzione nel punto.

Se invece studio h→0⁺ e h→0⁻, la derivata prima prende rispettivamente il nome di:

• Derivata del punto da destra
• Derivata del punto da sinistra

Una funzione per essere derivata in un punto, il lim_h→0 (g(x₀ + h) - g(x₀)) / h deve essere finito e il punto h = 0 non deve essere punto di discontinuità.

Una funzione è derivabile in un intervallo quando è derivabile in tutti i punti dell'intervallo.

Ricorda: la continuità non implica la derivabilità.

Ci sono funzioni continue che non sono derivabili, mentre le funzioni derivabili sono sempre continue.

Esempio. La funzione è continua, ma non derivabile. Infatti calcolarne l'incremento non è possibile perché il limite da sinistra è infinito, da destra è finito.

Quindi esistono:

• Punti di discontinuità
• Punti di derivabilità

Derivate delle funzioni elementari

g(x) = k

Metà piano.

g'(x) = 0.

g'(x) = lim_h→0 g(x + h) - g(x) = lim_h→0 k - k = 0.

Dimostrazione:

g(x) = x, bisettrice I e III quadrante.

g'(x) = lim_h→0 g(x + h) - g(x) = lim_h→0 x + h - x = 1.

g'(x) = 1.

β(x) = x²

β'(x) = 2x

β(x) = x^m

β'(x) = m x^{(m - 1)}

Es: β(x) = x³, β'(x) = 3 x²

β(x) = x^d

β'(x) = d x^{d - 1}

Es: β(x) = ½ x

β(x) = ½ x^-2

β(x) = sin x

β'(x) = cos x

β(x) = cos x

β'(x) = -sin x

β(x) = tan x

β'(x) = 1/cos²x

β'(x) = 1 + tan²x

β(x) = e^x

β'(x) = e^x

β(x) = a^x

β'(x) = a^x · log₁₀ a

a > 0 oppure a ≠ 1.

β(x) = cotan x

β'(x) = -1/sin²x

β'(x) = -(1 + cotan2x)

β(x) = log x

β'(x) = 1/x

β(x) = log_ax

β'(x) = 1/(x · log₁₀a)

Regole di derivazione

D = [β(x) + ε(x)] = β'(x) ± ε'(x)

D[β(x) · ε(x)] = β'(x) · ε(x) + β(x) · ε'(x)

D[β(x)/ε(x)] = [β'(x) · ε(x) - β(x) · ε'(x)] / [ε(x)]²

Teorema di Rolle

Se g(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso [a, b] e derivabile nel medesimo intervallo aperto, se la funzione assume valori uguali negli estremi a e b, allora esiste almeno un punto c all'interno dell'intervallo in cui la derivata della funzione è nulla.

Ipotesi e tesi di questo teorema sono così sintetizzabili:

• g(x) continua in [a, b]
• g(x) derivabile in (a, b)
• g(a) = g(b)

Tesi: ∃c ∈ (a, b): g'(c) = 0.

La funzione ha lo stesso valore in a e b. Esiste un punto in cui si annulla la derivata prima, ovvero esiste un punto in cui la tangente è parallela all'asse delle x.

Nei grafici riportati non esiste un punto in cui si annulli la derivata prima:

• 1) Manca l'ipotesi di continuità
• 2) Manca l'ipotesi di derivabilità perché il Lim del rapporto incrementale Δy/Δx è diverso
• 3) Manca l'ipotesi di derivabilità

Esempio 1

y'(x) = x² + x (è un polinomio, dunque è una funzione continua negli intervalli chiusi e derivabile nell'intervallo aperto).

y'(x) = 1 + 2x, da cui c = -1/2 interno a [-1; 0].

Esiste almeno un punto interno dell'intervallo che annulla la derivata prima. Il punto in questo caso è -1/2.

Esempio 2

y = (1 - x²) / x² nell'intervallo [-1, 1].

D: (-∞, 0) U (0, +∞)

Non è applicabile il teorema poiché x = 0 non appartiene all'intervallo, non è né continua né derivabile.

Esempio 3

y = g(x) = |x + 3|

Riscrivo la funzione per parti: y₂ = x + 3 per x ≥ -3; y₁ = -x - 3 per x < -3.

Punto di discontinuità: -3 (perché la tangente da destra è una retta, da sinistra un'orizzontale).

Ne consegue che il Teorema di Rolle non si può applicare.

Sintesi: Se tracciamo di Rolle, date le ipotesi, è assurdo che c'è un punto e tangente orizzontale.

Punto stazionario

I punti stazionari vengono detti estremanti. Non tutti i punti stazionari sono estremanti, perché possono anche non essere minimi o massimi relativi.

Il g(x) in ogni estremo è un punto stazionario.

Il Teorema di Lagrange (o del Valore Medio)

Data una funzione y = β(x) continua nell'intervallo chiuso e derivabile sul medesimo intervallo aperto, allora esiste almeno un punto c interno dell'intervallo tale che sia:

(β(b) - β(a)) / (b - a) = m, coefficiente angolare della retta secante la funzione nei punti B e A.

(β(b) - β(a)) / (b - a) = β'(c) ↔ β'(c) è la tangente.

Ma se i due coefficienti angolari sono uguali, due rette sono parallele.

Quindi il teorema ci assicura che esiste almeno un punto c in cui il coefficiente angolare della secante è uguale al coefficiente angolare della tangente, e quindi le due rette sono parallele.

Il punto della tangente è parallela alla secante negli estremi dell'intervallo.

Le conseguenze del Teorema di Lagrange

Prima conseguenza del Teorema di Lagrange

Ipotesi:

• g(x) derivabile in (a, b)
• g(x) continua in [a, b]
• g'(x) > 0 in (a, b)

Tesi: g(x) è crescente in (a, b).

Si inverte:

• g(x) derivabile in (a, b)
• g(x) continua in [a, b]
• g'(x) < 0 in (a, b)
• g(x) è decrescente in (a, b)

Seconda conseguenza del Teorema di Lagrange

Se g derivata prima è uguale a zero, vuol dire che g(x) è costante in (a, b), ovvero è una retta parallela all'asse.

Ipotesi:

• g(x) derivabile in (a, b)
• g(x) continua in [2, 5]
• g'(x) = 0 in (a, b)

Tesi: g(x) = k in (a, b).

Teorema di De L'Hospital

Ipotesi:

• f(x) definita e derivabile in U(x₀), escluso al più x₀ (in cui la funzione può non assumere valore).
• g(x) definita e derivabile in U(x₀), escluso al più x₀ (in cui la funzione può non assumere valore).
• ∅ lim f(x) = 0 (oppure ∞) x → x₀
• ∅ lim ξ() x → x₀ g(x)

Tesi: ∅ lim {f(x)_&lt} = lim f'(x) x → x₀ {x → x₀ g'(x).

Quindi per risolvere una forma indeterminata si deriva numeratore e denominatore, e si ripete tale solo nei casi: [∞] [∅].

La ricerca di massimi e minimi

Ricorda.

Minimo assoluto: valore più piccolo dell'intervallo.

Massimo assoluto: valore più grande dell'intervallo.

Se la ricerca del minimo o del massimo si limita ad un intorno dell'intervallo, e non all'intero intervallo, allora:

• Se β(x) ≤ β(x_o) ∀ x ∈ U(x_o)

Allora β(x_o) è massimo relativo, e l'x_o cui quel punto è chiamata punto di massimo relativo.

• Se β(x) ≥ β(x_o) ∀ x ∈ U(x_o)

Allora β(x_o) è minimo relativo, e l'x_o cui quel punto è chiamata punto di minimo relativo.

Esempio: "Se X_o è massimo relativo, prima di X_o la funzione cresce, dopo X_o decresce".

"Se X_o è minimo relativo, prima di X_o la funzione decresce, dopo X_o cresce".

β(x₀) è massimo relativo se:

• β'(x₀) = 0, ovvero è punto stazionario
• β'(x) ≤ 0 ∀ x ∈ U^-(x₀)
• β'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ U⁺(x₀)

β(x₀) è minimo relativo se:

• β'(x₀) = 0
• β'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ U^-(x₀)
• β'(x) ≤ 0 ∀ x ∈ U⁺(x₀)