Appunti sulla distribuzione normale

Distribuzioni normali e approssimazioni binomiali

Se X_n ∼ N(μ,σ²): F_x(x₀) = Φ^*((x-μ/σ)) Φ^*(-x) = 1-Φ^*(x).

Può capitare che si conosca α ∈ (0,1) e si cerchi di trovare il valore x_α per cui P(X ≤ x_α) = α.

Se X ~ N(μ, σ²): F_X(x₀) = Φ^*(〈x - μ/σ〉) Φ^*(-x) = 1 - Φ^*(x).

Può capitare che si conosca α ∈ (0,1) e si cerchi di trovare il valore x_α per cui P({X ≤ x_α}) = α.

x_α è detto quantile (relativo ad α).

Esempio

Sia X ~ N(-2, 0,25). Determinare c ∈ ℝ tale che P({X > c}) = 0,2.

P({-2-c ≤ X ≤ -2+c}) = ⁹⁰⁄₁₀₀.

P({X > c}) = 1 - F_x(c) = 1 - Φ^* (^{c - μ}⁄₅) = 1 - Φ^* (^{c + 2}⁄½) = 1 - Φ^*(2c + 4).

1 - Φ^*(2c + 4) = 0,2   ⇒   Φ^*(2c + 4) = 0,8.

2c + 4 = x_o.

2c + 4 = 0,84   ⇒   2c > 0,84 - 4   ⇒ 2c = -3,16       =>   C = -1,58.

P({a ≤ X ≤ b}) = φ^*(^{b - μ}/_σ) - φ^*(^{a - μ}/_σ).

• P({-2 - c ≤ X ≤ -2 + c}) = ⁹⁰/₁₀₀.

φ^*(^{-2 + c + x} /_√2) - φ^*(^{-2 - c + x}/_√2).

φ^*(2c) - φ^*(-2c) = ⁹⁰/₁₀₀.

1 - φ^*(2c) φ^*(2c) - φ^*(-2c) = ⁹⁰/₁₀₀.

(• φ^*(x₁) = φ^*(x₂) => x₁ = x₂.

2φ^*(2c) - 1 = ⁹⁰/₁₀₀.

2φ^*(2c) = 1,9.

φ^*(2c) = 0,95 = φ^*(x₁) = φ^*(1,64).

2c = 1,64 => c = 0,82.

Esempio 1

Il punteggio ottenuto dagli studenti ad un esame universitario è una v.a. N(21, 9). Qual è la percentuale degli studenti che hanno ottenuto un voto superiore a 24 e quella degli studenti che non hanno passato l’esame?

P(X ≥ 25) = 1 - P(X ≤ 24) = 1 - F_X(24) = 1 - ϕ^*((24-μ)/σ) = 1 - ϕ^*((24-21)/3) = 1 - ϕ^*(1) ≈ 1 - 0,84 = 0,16.

P(X ≤ 17) = ϕ^*((17-μ)/σ) = ϕ^*((17-21)/3) = p^*(-⁴/₃) = 1-p^*(⁴/₃) = 1-p^*(1,33) = 1-0,91 = 0,09.

Esempio 2

Sia X ∼ N(μ,6²). Determinare μ ∈ 6 affiché P({X-3}) = 0,97725.

P({X-3}) = 1-P({X ≤ -3}) = 1-p^*(^-3-μ/₆).

p^*(^2-μ/₆) = 0,69146 = p^*(0,5).

1-p^*(^-3-μ/₆) = 0,97725 = p^*(2).

1-p^*(-x) = p^*(x) = p^*(^3+μ/₆).

₂-μ/6 = 1/2.

3+μ/6 = 2.

2-μ = 6/2.

3+μ = 2₆.

5 = 5/2 => 6 = 2.

μ = 2G-3 = 1.

Esempio 3

Una macchina confezionatrice riem... pre automati...camente delle confezio... ni alimentari. Il peso dichiarato di ogni confezione è 125g. Il peso reale del contenuto è una v.a. N(125,4). Calcolare la prob. che una confezione contenga meno del peso dichiarato.

Volendo essere più certi di non disfare i clienti, il produttore decide di aumentare il contenuto medio μ delle confezioni in maniera tale che la prob. che una confezione contenga meno del peso dichiarato sia 0,1587. Calcolare μ.

P({X < 125}) = Φ^*((125 - μ) / 6) = Φ^*((125 - 125) / 2) = Φ^*(0) = 0,5.

Cerchiamo μ tale che P({X<125}) = 0,1587 con X ~ N(μ,4).

Φ^*(_125-μ/²) = 0,1587.

1-Φ^*(_125-μ/²) = 1-0,1587 = 0,8413 = Φ^*(1).

Φ^*(_μ-125/²).

_μ-125/² = 1.

μ = 125+2 = 127.

Teorema di De Moivre-Laplace

Se X è una v.a. B(m,p) e m → +∞ allora X ≈ N(mp, mp(1-p)), cioè P({X ≤ x_f}) ≈ Φ* ( ^{x - mp}/_√mp(1-p) ).

• Mp ≥ 5.
• M(1-p) ≥ 5.

mp = 5.

m(1-p) ≈ 45.

mp = 10.

m(1-p) = 90.

mp = 10.

m(1-p) = 10.

mp = 2!

Esempio

Lanciamo 40 volte una moneta, calcolare la probabilità di ottenere 20 teste.

X = numero teste ottenute nei 40 lanci.

X ~ B(40, ¹/₂).

P({X=20}) = ⁽⁴⁰⁾/(20) (¹/₂)⁴⁰ ≈ 0,125.

{mp=20 m(1-p)=20 => X ≈ N(20, 10).

P({X=20}) = 0! N(20, 10).

P({19,5 < X < 20,5}) = ϕ*^(20,5-20)/_√10 + - ϕ*^(19,5-20)/_√10 = ϕ*^0,5/_√10 - ϕ*(-^0,5/_√10) = 2 𝜎^*( (0,5 / √₁₀) ) - 1 ≈ 2𝜎^*(0,16) - 1 = 2 ⋅ 0,5636 - 1 = 1,1272 - 1 ≈ 0,1272.

Esempio 2

Calcolare la prob. di ottenere almeno 29 teste in 50 lanci di una moneta.

X = # teste nei 50 lanci.

P({X ≥ 29}).

mp=25=5.

m(1-p)=25≥9.

B(50, ½).

x ≈ N(25, 25/2) = 1-P({X<29}).

Bin. 1-P(X≤28) ≈ 𝜎^*(  (29-25 / √_25/2)  ) = 1-𝜎^*( 4/√_5/2 ) = 1 - ϕ^* ( 4√2 / 5 ) ≈ 0,13.

• 1 - ϕ^* ( 28 - 25 / _√25 ) = 1 - ϕ^* ( 3√2 / 5 ) ≈ 0,2.

Il conto esatto (con binomiale) è circa 0,16.

Correzione di Yates (o di continuità)

P({X ≥ 29}) ≈ 1 - P({X ≤ 28,5}) = 1 - ϕ^* ( 3,5 √2 / 5 ) ≈ 0,16.

Esempio 1

Un'azienda agricola produce mele il cui diametro è una v.a. normale di media 8 cm e varianza 2 cm². Le mele passano il controllo di qualità se il loro diametro è compreso tra 6 e 10 cm.

Calcolare la prob. che una mela passi il controllo di qualità. Calcolare la prob. che su un lotto di 84 mele passino il controllo almeno 77 mele.

X ∼ N(8,2).

P({6<X<10}) = Φ*(_(10-8)√₂) - Φ*(_(6-8)√₂) = Φ*(√₂)-Φ*(-√₂) = 2Φ*(√₂)-1 ≈ 2⋅0,92-11 - φ^*(√2) = 0,84.

Υ = # mele che passano il controllo nel lotto ~B(84,0,84).

P(Υ ≥ 77) = 1 - P(Υ ≤ 76,5) = 1 - φ^*(^{76,5 - mp}/_√mp(1-p)) = = 1 - φ(^{76,5 - 842/₁₀₀}/_{√^842/100/16/100}) == 1 - φ(^{7650 - 7056}/_{84, 16/100}).

mp = 84 · ⁸⁴/₁₀₀ = (⁸⁴/₁₀)² > 5.

m(1-p) = 84 · ¹⁶/₁₀₀ > 5| ok Th. De Moivre - Lapl.

= 1 - φ^*(⁵⁹⁴/_4,84) ≅ 1 - φ(^1,77) ≅ 1 - 0,96 ≅ 0,04.