Appunti statistica

Divisione della statistica

• Tradizionale
• Descrittiva
• Inferenziale
• Moderna

Statistica descrittiva e inferenziale

La statistica descrittiva descrive la realtà dei fenomeni collettivi (fenomeni demografici, andamento delle temperature,...), definisce indicatori di sintesi e metodi complessi di analisi. La statistica inferenziale consente di riferire all’intera popolazione le sintesi quantitative dei dati osservati su un campione.

In entrambi i casi: i dati sono gli ingredienti, i metodi matematici sono gli strumenti. La statistica si occupa di predisporre adeguati metodi quantitativi per:

• Raccogliere e organizzare
• Elaborare e sintetizzare
• Analizzare e interpretare

dati e informazioni utili per esaminare i fenomeni reali.

Statistica 4.0

La statistica 4.0 è un insieme di metodi e sistemi di aggregazione e visualizzazione che trasformano dati in informazioni. I metodi statistici sono proposti e studiati per l’analisi dei fenomeni che si manifestano in una collettività. Con le analisi statistiche ci si propone di individuare, descrivere, interpretare e prevedere, pur nella varietà delle singole manifestazioni, le regolarità che sono alla base dei fenomeni.

Concetti fondamentali

Per conoscere e/o comprendere un fenomeno, è necessaria l’osservazione intenzionale di una molteplicità di casi individuali.

• Unità statistica: unità elementare su cui si osservano i caratteri oggetto di studio
• Popolazione o collettivo statistico: insieme di unità statistiche
• Campione: sottoinsieme della popolazione
• Carattere: caratteristica di interesse
• Modalità: manifestazione del carattere

Modalità di un carattere

Le modalità di un carattere devono essere:

• Incompatibili: la stessa unità statistica non può essere messa in relazione (classificata) con più modalità;
• Esaustive: le modalità elencate debbono rappresentare tutti i possibili modi d'essere del carattere, così che tutte le unità statistiche del collettivo possano essere classificate.

Tipi di statistica

• Statistica univariata: analizza un carattere alla volta
• Statistica bivariata: analizza congiuntamente due caratteri
• Statistica multivariata: analizza congiuntamente più caratteri

Una matrice di dati mostra le modalità di manifestazione dei caratteri di ogni unità statistica.

Operazioni di classificazione

Le operazioni di classificazione delle unità permettono di ottenere tabelle e grafici. Una tabella di distribuzione di frequenze permette di osservare quante volte un certo carattere si manifesta in una certa modalità. La distribuzione di frequenze può essere rappresentata anche con un grafico a nastri.

Le distribuzioni doppie (di frequenze) mostrano come le unità statistiche assumano le modalità di due caratteri. Le distribuzioni di quantità dividono una quantità di un carattere sulle unità statistiche. Essa è rappresentabile attraverso grafici a torta. Una serie storica mostra come un carattere abbia assunto modalità diverse nel corso del tempo.

Caratteri e scale di misura

I caratteri possono essere:

• Qualitativi (le modalità sono categorie, attributi,...)
• Quantitativi (numeri)
  • Discreti (numeri interi)
  • Continui

Si ottiene una scala di misura quando si fissano le modalità di un carattere ed i criteri di appartenenza alle stesse. La scala non è parte del carattere ma scaturisce dalla sua definizione operativa.

Una scala qualitativa può essere:

• Nominale (le modalità sono non ordinabili; confrontandole si può dire solamente se sono uguali o diverse);
• Ordinale (le modalità sono in sequenza logica, pertanto si può dire se una precede, è nello stesso posto o segue un’altra).

Una scala quantitativa può essere:

• Ad intervalli (le modalità sono numeri riferiti ad uno zero arbitrario, pertanto non possono essere confrontate tramite rapporto ma solamente tramite differenza);
• Di rapporti (le modalità sono numeri riferiti ad uno zero assoluto, quindi possono essere confrontate anche tramite rapporto).

Le scale sono in un rapporto gerarchico per cui le scale ordinali hanno le proprietà della scale nominali e sono ordinabili; le scale ad intervalli hanno le proprietà delle scale ordinale e sono numerate; le scale ad intervalli hanno le proprietà delle scale ad intervalli e sono rapportabili grazie allo zero assoluto. Gli strumenti validi per le scale inferiori valgono per quelle superiori, ma non viceversa.

Rapporti statistici

Quando i dati statistici non ammettono un confronto diretto sensato è necessario fare ricorso ad opportune elaborazioni degli stessi. I rapporti statistici sono il rapporto tra due dati, cui almeno uno di natura statistica. Indicano quanta parte del numeratore spetta idealmente ad un’unità del denominatore. Servono per rendere confrontabili dati che non lo sarebbero perché rilevati in tempi o circostanza diverse.

I rapporti di composizione, o di parte al tutto, si calcolano rapportando l'intensità, o frequenza, parziale all'intensità, o frequenza, totale. Questi rapporti servono a fare confronti tra fenomeni perché il rapporto consente di eliminare influenze di circostanze.

I rapporti di densità si calcolano rapportando una circostanza quantitativa di un fenomeno alla dimensione del campo di osservazione. Questi rapporti servono a fare confronti tra fenomeni perché il rapporto consente di eliminare influenze di circostanze.

I rapporti di derivazione si calcolano rapportando l’intensità, o frequenza, di un fenomeno con l’intensità, o frequenza, di un altro fenomeno ritenuto causa del verificarsi del primo. Questi rapporti servono a fare confronti tra fenomeni perché il rapporto consente di eliminare influenze di circostanze.

I rapporti statistici di coesistenza si calcolano quando interessa lo studio relativo di fenomeni antitetici che coesistono. Si calcolano rapportando l'intensità, o frequenza, di un fenomeno all’intensità, o frequenza, di un fenomeno antitetico. Il rapporto di coesistenza possiede sempre un livello critico. Se il rapporto è maggiore del livello critico, l’intensità, o frequenza, del primo fenomeno è maggiore dell’intensità, o frequenza, del secondo. Se il rapporto è minore del livello critico, l’intensità, o frequenza, del primo fenomeno è minore dell’intensità, o frequenza, del secondo. I rapporti di coesistenza informano non solo sul segno dello squilibrio, ma anche sull’entità della differenza relativa tra i fenomeni.

Rapporti di durata e ripetizione

I rapporti di durata e di ripetizione si calcolano in presenza di un fenomeno che possiede un flusso in entrata e un flusso in uscita. I rapporti di durata e di ripetizione trovano interessanti applicazione nello studio del movimento delle merci in magazzino. In questo caso, il rapporto di durata si calcola ponendo la consistenza media al flusso medio mentre il rapporto di ripetizione si calcola ponendo il flusso medio alla consistenza media. I rapporti di durata e di ripetizione hanno senso solo se riguardano dati stazionari, ovvero che non oscillano eccessivamente nel tempo.

Numeri indici

I numeri indici sono un particolare tipo di rapporto statistico. Si dividono in:

• Rapporti indici semplici (che confrontano le intensità, o frequenze, di un unico fenomeno in tempi e luoghi diversi);
• Rapporti indici composti (che confrontano in tempi e luoghi diversi un fenomeno che risulta dal concorso di più componenti).

I numeri indice a bassa fissa (NIbf) sono numeri indice semplici ottenuti eseguendo il rapporto tra ogni singola osservazione xt con un termine della serie storica xb che viene mantenuto fisso (base fissa). Essendo numeri puri, consentono di confrontare fenomeni con diversi ordini di grandezza. Data una serie di indici con una base vb, è possibile passare a una nuova base (nb) dividendo ogni numero indice per il numero indice della nuova base rispetto alla vecchia.

L'interpretazione dei NIbf avviene attraverso la variazione relativa tendenziale, a cui è collegato dalla relazione: Con i numeri indice a base fissa, le intensità del fenomeno vengono raffrontate tutte con l’intensità del tempo assunto come base. In alcune situazioni risulta più appropriato, o più conveniente, mettere a confronto la singola intensità con l'intensità del tempo immediatamente precedente.

I numeri indice a base mobile (NIbm) sono ottenuti eseguendo un il rapporto tra ogni singola osservazione xt con il termine xt-1 del periodo immediatamente precedente, che quindi cambia ogni volta (base mobile). Essendo numeri puri, consentono di confrontare fenomeni con diversi ordini di grandezza. Dati i numeri indice a base fissa, è possibile calcolare i numeri indice a base mobile dividendo un numero indice a base fissa al numero indice a base fissa che lo precede.

L’interpretazione dei NIbm avviene attraverso la variazione relativa congiunturale a cui è collegato attraverso la funzione: I numeri indice sono sempre positivi, mentre le variazioni relative possono essere positive o negative. Spesso non è possibile utilizzare i dati originali, ma si ha a disposizione solo i numeri indice o le variazioni relative.

Per trasformare un numero indice a base mobile in un numero indice a base fissa bisogna moltiplicare il numero indice desiderato per tutti i numeri indice che lo precedono.

Distribuzione statistica

Si chiama distribuzione statistica semplice disaggregata, o unitaria, secondo il carattere X l’insieme delle osservazioni relative alle N unità del collettivo. La distribuzione di frequenze di un carattere è una tabella che mostra in modo efficace, sintetico e in gruppi omogenei di uno o più caratteri la distribuzione disaggregata della popolazione. Ciò richiede che si individuino preliminarmente le modalità rispetto cui effettuare il raggruppamento. L'aggregazione comporta sempre una perdita di informazione: occorre operare in modo che ciò che si guadagna in termini di efficacia della rappresentazione compensi ciò che si perde in termini di informazione.

La mutabile statistica nominale è una rappresentazione dei caratteri qualitativi nominali. Le frequenze assolute mostrano quante volte la determinata modalità si presenta nella popolazione. Le frequenze assolute possono essere trasformate in frequenze relative (o in frequenze relative percentuali), per mettere in evidenza il “peso” della singola modalità sul totale.

Le frequenze relative sono rapporti di composizione (o parte al tutto), permettono di valutare l’importanza di ogni modalità e permettono di effettuare confronti tra popolazioni di diverse numerosità. La distribuzione delle frequenze può essere rappresentata tramite un grafico a torta (o a settori circolari) oppure attraverso pictogrammi (dove le modalità sono in ordine arbitrario).

La mutabile statistica ordinale è una rappresentazione dei caratteri qualitativi ordinali. Poiché i caratteri di riferimento sono ordinali, è possibile calcolare delle frequenze cumulate e retrocumulate. Le distribuzioni di frequenza di caratteri ordinale può essere rappresentata attraverso pictogrammi ordinati secondo l’ordine naturale. La distribuzione di frequenze può essere effettuata anche con caratteri discreti.

Rappresentazioni grafiche

Il diagramma a bastoncini, o diagramma ad aste, è un grafico dove il punto nel piano cartesiano corrispondente alla generica coppia (x̅;ni) è proiettato sull’asse delle ascisse e l’altezza del bastoncini corrisponde alla frequenza assoluta o relativa. Il diagramma a gradini (del cumulo) che traccia dal punto che rappresenta la generica coppia (x̅;Ni) un segmento verso destra di lunghezza pari a 1 e l’altezza del gradino corrisponde alla frequenza assoluta o relativa cumulata. Il diagramma a gradini (del retrocumulo) che traccia dal punto che rappresenta la generica coppia (x̅;Ñi) un segmento verso sinistra di lunghezza pari a 1 e l’altezza del gradino corrisponde alla frequenza assoluta o relativa retrocumulata.

Raggruppamenti e classi

Quando un carattere presenta un numero elevato di modalità, è preferibile raggruppare in classi (intervalli) incompatibile ed esaustive. L'ampiezza (a) di una classe discreta si misura facendo la differenza fra l’estremo superiore e quello inferiore +1. Dato che l’operazione di raggruppamento ha compresso la tabella di partenza, non è possibile la frequenza di ogni singola modalità. Introducendo un'ipotesi di equidistribuzione, la frequenza di una classe viene ripartita equamente tra le sue modalità.

La frequenza specifica è una frequenza ipotetica: rappresenta la frequenza attribuita a ciascuna modalità della classe nell’ipotesi di equadistribuzione; di conseguenza nsi può essere non intera. La frequenza specifica è un rapporto di densità, ovvero un rapporto fra la frequenza di una classe e la dimensione della stessa.

Se il carattere è continuo (variabile statistica continua), la corrispondente rappresentazione di frequenze deve essere rappresentata per classi di uguale ampiezza o ampiezza diversa. L’ampiezza è uguale alla differenza tra l’estremo superiore e l’estremo inferiore. L’istogramma è un grafico dove è possibile leggere l’ampiezza della classe sulle ascisse, la frequenza specifica sulle ordinate e la frequenza assoluta della classe moltiplicando l’ampiezza per la frequenza specifica (nell’area).