Appunti Progettazione funzionale

Complementi di cinematica

Richiami di cinematica

La principale caratteristica dei sistemi meccanici è quella di essere costituiti da più corpi (membri), che tipicamente consideriamo rigidi, collegati fra loro in modo opportuno. In conseguenza di tali legami (vincoli) risultano limitate le possibilità di movimento di ciascun membro relativamente agli altri, ossia il numero dei gradi di libertà del singolo membro e di tutta la macchina.

Si definisce coppia il sistema formato da 2 membri contigui collegati: se tra di essi esiste un movimento relativo (cioè il sistema ha almeno 1 g.d.l.) si ha una coppia cinematica.

Le coppie sono caratterizzate essenzialmente dallo spostamento relativo dei membri a contatto, che dipende dalla forma delle superfici che sono in contatto durante il moto: tali superfici sono dette superfici coniugate. Uno stesso spostamento relativo fra i membri può essere ottenuto con differenti coppie di superfici coniugate: la forma costruttiva ha influenza sulla trasmissione delle forze, l’usura, l’ingombro, ecc.

Dal punto di vista cinematico si distinguono:

• Contatti di strisciamento
• Contatti di rotolamento
• Contatti di urto

Dal punto di vista realizzativo si distinguono:

• Accoppiamenti di forma (es: perno cilindrico in sede cilindrica) questi vincoli sono anche detti accoppiamenti bilaterali.
• Accoppiamenti di forza (es: bloccaggio di un pezzo in una pinza) anche detti accoppiamenti unilaterali.

Tutte le coppie possono essere realizzate in entrambi i modi: gli accoppiamenti di forza sono monolaterali ed il contatto è mantenuto da opportune forze e momenti.

In relazione alla geometria del contatto si hanno:

• Contatti puntiformi (es: cuscinetto a sfere)
• Contatti lineari (es: cuscinetto a rulli)
• Contatti superficiali (es: vite-madrevite)

Si indica come classe di una coppia cinematica il numero di gradi di libertà nel moto relativo.

Si definiscono coppie elementari o inferiori quelle coppie rigide che sono realizzabili tramite contatti di superficie: le superfici coniugate sono rigide, identiche e combacianti. Nell’uso corrente sono spesso considerati “elementari” esclusivamente le coppie che lasciano 1 grado di libertà, e quindi quelle rotoidali, prismatiche ed elicoidali.

Si definiscono superiori le coppie cinematiche che non sono inferiori; esse non sono in alcun modo realizzabili tramite contatti di superficie ma esclusivamente tramite contatti lineari o puntiformi. Tutte le coppie tra membri non rigidi sono anche esse classificate come superiori (per es. accoppiamento puleggia-flessibile; fluido-condotti di turbina).

La camma piana è una coppia superiore; essa lascia 2 gradi di libertà nel moto relativo dei membri collegati: vengono consentite la traslazione in direzione tangenziale e la rotazione, mentre viene impedita la traslazione nella direzione normale alle superfici coniugate nel punto di contatto.

Se aggiungessi anche il vincolo di puro rotolamento, ovvero che nel punto di contatto la velocità istantanea è nulla; questo significa che rotazione e traslazione sono collegati tra di loro (mentre prima non lo erano) e quindi il sistema avrebbe un solo grado di libertà.

Ricordiamo che nel caso di puro rotolamento e di rullo che si muove a velocità costante, il punto di contatto non è stazionario, è vero che ha velocità nulla, ma ha velocità centripeta diversa da 0. Dire velocità costante, significa che l’accelerazione centripeta è data dalla velocità angolare al quadrato diviso il raggio. Quindi anche se il rullo si muove a velocità costante, ha comunque una componente di accelerazione, quando si muoverà nell’istante dopo, acquisisce una velocità perché nell’istante prima aveva accelerazione; è chiaro che è cambiato il punto di contatto, il nuovo punto di contatto sarà il nuovo centro di rotazione avrà sempre velocità nulla e accelerazione diversa da 0.

Esempi di coppie inferiori

Esempio di coppie superiori

Coppie superiori rigide ma non combacianti: gli elementi cinematici vengono fra loro a contatto in un punto o al più lungo una linea.

Esempio in cui è superiore la coppia fra i membri 1 e 2.

Coppie superiori combacianti ma non rigide:

Esempio in cui sono superiori le coppie fra i membri 1, 2 e 2, 3.

Catene cinematiche

Un insieme di corpi connessi da coppie cinematiche è detto catena cinematica. Se la catena contiene un corpo fisso, esso è detto telaio.

Rappresentazione

Notare che il telaio (1) è rappresentato in forma connessa (immagini superiori) o non connessa (immagini inferiori).

Topologia

Si indica con il termine “topologia” di una catena cinematica l’informazione che rappresenta le connessioni fra i corpi tramite coppie cinematiche.

Distinguiamo:

• Catene cinematiche chiuse: tutti i corpi sono connessi attraverso 2 o più coppie. Sono riconoscibili, quindi, percorsi chiusi nella catena detti maglie chiuse.
• Catene cinematiche aperte: non sono presenti maglie chiuse nella catena cinematica.
• Catene cinematiche miste: sono riconoscibili sia maglie chiuse che sottoinsiemi della catena cinematica in cui un membro è connesso attraverso una sola coppia.

La molteplicità di una coppia cinematica è pari al numero dei corpi ad essa connessa -1.

• Una coppia è equivalente a un numero di coppie binarie pari alla sua molteplicità.
• + 1

La scomposizione di una coppia a molteplicità potrà dare luogo a schemi cinematicamente equivalenti formati da sole coppie binarie, in cui corpi sono connessi ad un unico corpo.

Equazioni di struttura

La relazione tra numero dei gradi di libertà, numero e tipo di vincoli e numero dei corpi nel sistema è detta equazione di mobilità. Per meccanismi nello spazio, la formula di Gruebler è rimpiazzata dalla formula di Kutzbach: . . = 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 2 3 4 5

• O . . . → numero dei gradi di libertà del sistema, cioè numero dei parametri indipendenti necessari a descriverlo.
• O → numero dei corpi mobili nella catena cinematica;
• O → numero di coppie di classe (che lasciano gradi di libertà) (coppie di classe 1: rotoidale, prismatica, elicoidale ecc.; coppie di classe 2: giunto di Cardano, cilindrica; coppie di classe 3: sferiche, accoppiamento piano; coppie di classe 4: spesso è una composizione di alcuni vincoli; coppie di classe 5: camma piana).

Per meccanismi piani, l’equazione è stata formalizzata da Gruebler: . . = 3 − 2 − 1 2

• O . . → numero di gradi di libertà del sistema, cioè numero dei parametri indipendenti.
• O → numero di corpi mobili nella catena cinematica.
• O → numero di coppie di classe 1 (che lasciano 1 grado di libertà) 1
• O → numero di coppie di classe 2 (che lasciano 2 grado di libertà) 2

Se:

• ≥ 1 → meccanismo
• = 0 → struttura isostatica
• < 0 → struttura iperstatica

L’equazione di struttura deve essere applicata con cautela in alcuni casi particolari:

• Nel caso in cui una coppia connetta più di 2 membri occorre contare il vincolo più volte (tante quanto i membri concorrenti nella coppia meno 1).
• Nel caso in cui il meccanismo contenga una parte con un grado di mobilità negativo, il risultato derivante dall’applicazione della formula globalmente a tutto il meccanismo è errato.
• Si ottengono risultati errati anche quando la geometria del meccanismo è tale da diminuire i vincoli effettivi imposti dagli accoppiamenti.

Mobilità in caso di vincoli sovrabbondanti

Se sono presenti vincoli sovrabbondati (sistema sovravincolato o internamente iperstatico) si può scrivere nel caso generale:

Esempi

L’accoppiamento considerato è un accoppiamento di camma piana più una condizione di puro rotolamento; quindi, che non ci può essere strisciamento nel punto di contatto (quindi vincola due gradi di libertà e ne lascia libero uno). = 3 ∗ 3 – 2 ∗ 3 −1 ∗ 1 = 2 (coppie prismatiche) (coppie superiori) (che sono la rotazione della rotella su sé stessa e la traslazione del cedente).

Quindi ai fini del movimento della macchina non mi interessa se c’è puro rotolamento o strisciamento, ma se sono interessato al comportamento relativo valutare questa opzione è importante poiché va cambiata l’equazione.

Infatti, se valuto il complessivo mi basta un motore, mentre se vado a studiare nel dettaglio il movimento relativo ne necessiterei 2.

Dati i 2 gradi di libertà devo posizionare due motori, per comodità e per via delle inerzia si posizionano solitamente a telaio. Il posizionamento dei motori non è solo una questione costruttiva, ma soprattutto matematica e prestazionale.

Questo non vale solo per le catene chiuse, ma anche nelle catene aperte dove a seconda di chi è il movente e chi è il cedente o una condizione diversa (lo si vede nelle Jacobiane e quindi si riflette su tutti gli altri aspetti).

Esempio: vincoli virtuali

Nel meccanismo in figura si ha un grado di libertà; il movimento da controllare solitamente è la traslazione su un pistone (non avrebbe senso un motore rotativo nella cerniera).

Se introducessimo un ulteriore corpo come in figura, applicando l’equazione di Gruebler si otterrebbe che il numero di gradi di libertà è pari a 0 (4 corpi mobili e 6 coppie elementari). Nella pratica sperimentiamo che in realtà il sistema si muove. Questo perché il vincolo dato dall’asta 3 connessa alla cerniera in A, va a replicare un vincolo che già era presente nella meccanica precedente; senza l’asta 3, la traiettoria è la stessa che si ha con il corpo 3 (A in entrambi i casi effettua una circonferenza).

Esempio: coppie multiple

Nel caso di meccanismi con catene composte (cioè con accoppiamenti multipli) l’equazione di struttura non dà risultati corretti se applicata senza cautela; ad esempio, il meccanismo di Watt:

Schemi strutturali

Gli schemi strutturali spesso considerano solo coppie rotoidali o prismatiche (di classe1), eventualmente ricorrendo al meccanismo associato a quello con coppie superiori.

Utilizzando solo coppie di classe 1, dall’equazione di Grübler, per ottenere meccanismi con 1g.d.l., occorre che il numero delle coppie sia: 3 = −22

Da cui il numero di membri deve essere pari. = 2,

A parte il caso banale i meccanismi con 4 membri vengono genericamente detti “quadrilateri” e quelli con 6 membri “esalateri”.

Esempio: piattaforma di Stewart

Si ha una catena chiusa, quindi si parla di un meccanismo a cinematica parallela ed è un po' quello che abbiamo visto nel piano con il quadrilatero articolato, ma visto secondo un approccio spaziale.

Si ha un telaio a cui sono collegati 6 elementi telescopici (cilindro + pistone) che supportano una piattaforma superiore. Gli elementi telescopici sono collegati a telaio e alla piattaforma superiore tramite una sferica ( ), 3 mentre l’elemento telescopico è rappresentato da una prismatica ( ). 1

La formula di Kutzbach restituisce 12 g.d.l. per la piattaforma di Stewart, che sembra un risultato errato visto che il meccanismo ha lo scopo di movimentare la piattaforma mobile 14 rispetto al telaio 1. (non ha senso perché rispetto un corpo, posso gestire al massimo 6 g.d.l. nello spazio)

In realtà il risultato è corretto ma 6 (ogni elemento telescopico che ruota attorno al proprio asse) dei 12 g.d.l. indicano dei moti irrilevanti dal punto di vista del funzionamento della macchina che possono essere evitati tramite semplici accortezze realizzative.

Quindi per evitare le rotazioni attorno ai propri assi (dato che non mi interessano dal punto di vista della funzionalità della macchina) posso variare la meccanica, sostituendo uno dei giunti sferici con una coppia universale (togliendo l’asse allineato al pistone ho 6 in questo modo i g.d.l. totali sono 6) 2

Il quadrilatero articolato visto nel piano ha 1 grado di libertà, se lo stesso corpo lo vedessimo nello spazio (applichiamo Kutzbach invece di Gruebler) non si ottiene più lo stesso risultato: . . = 6 ∙ − 5 ∙ = 6 ∙ 3 − 5 ∙ 4 = −2 1

Il meccanismo è sempre lo stesso di prima, quindi non può essere cambiata la mobilità. Il fatto è che ci sono 3 ridondanze, infatti, se costruissi gli assi delle cerniere con delle imperfezioni, la macchina non si muove in quanto iperstatico (a meno di non avere deformabilità delle aste o giochi nei giunti).

Nella pratica quando si costruiscono i meccanismi, qualunque essi siano, se non ci sono i corretti giochi o le corrette relazioni geometriche questi non funzionano. ES: se nel motore a combustione interna non ci sono i giusti giochi, il sistema non funziona.

Facciamo questo discorso nell’ottica del software poiché mentre nella pratica queste problematiche si risolvono con la meccanica, nel simulatore considerare cedevolezza, imperfezioni sugli assi o giochi comporta una notevole complessità; questa complessità nel simulatore è possibile risparmiarsela conoscendo le ridondanze ed evitarle di inserirle nel modello da mandare in simulazione.

Il simulatore per fare la simulazione svincolerà alcune cerniere in modo da mantenere il meccanismo ad un grado di libertà; mentre se volessimo tenere conto della deformabilità e delle imprecisioni negli assi, potremmo provare a declassare le cerniere in cilindriche e sferiche per togliere le ridondanze.

Poiché ho 4 vincoli che mi danno un vincolo planare, mentre ne necessiterei solo di 2, quindi al posto di due cerniere metto una cilindrica ed una sferica: . . = 6 ∙ − 5 ∙ − 4 ∙ − 3 ∙ = 6 ∙ 3 − 5 ∙ 2 − 4 ∙ 1 − 3 ∙ 1 = 1 1 2 3

Vincoli

Vincoli ℛ, … Dato un sistema materiale i cui punti materiali sono indicati con , il sistema si dice libero quando 1 tali punti sono liberi di assumere qualunque posizione nello spazio, altrimenti il sistema è detto vincolato. ( ) ( )

Chiamiamo vincolo ogni dispositivo che limita le posizioni e le velocità dei punti del sistema meccanico; pertanto, la presenza di un vincolo tra due membri distinti riduce la mobilità relativa dei membri stessi. I vincoli possono essere espressi analiticamente mediante relazioni fra le coordinate e le velocità di punti del sistema: ( ), ( ), ( ), ( ))( … , … , ≥ 01 1

Un vincolo è detto:

• Bilaterale se le restrizioni imposte al sistema si rappresentano tramite sole equazioni (es: punto vincolato ad una linea, corpo con un punto fisso); ( ( ), ( ), ( ), ( ), ) … , … , = 01 1
• Unilaterale se compare almeno una disequazione, quello che comporta, non è una eliminazione dei gradi di libertà, ma è una limitazione del range del movimento. È solitamente un accoppiamento di forza. (es: corpo appoggiato ad un piano o vincolato a stare all’interno di una sfera). ( ( ), ( ), ( ), ( ), ) … , … , > 01 1 (un punto costretto a stare all’interno di un cerchio è rappresentato da una disequazione, quindi, è un vincolo unilaterale, mentre un punto costretto a stare sulla circonferenza è bilaterale)

Un vincolo è detto:

• Indipendente dal tempo o scleronomo se la relativa equazione del vincolo non contiene esplicitamente il tempo: (( ), ( ), ( ), ( )) … , … , ≥ 01 1
• Dipendente dal tempo o reonomo se la relativa equazione del vincolo contiene esplicitamente il tempo: ( ( ), ( ), ( ), ( ), ) … , … , ≥ 01 1 = )

Es: asse di un motore che si muove a velocità costante ((attenzione la dipendenza dal tempo deve essere esplicita e diretta; se ad esempio avessi un vincolo 1 generico che dipende indirettamente da un altro vincolo reonomo 2, anche il vincolo 1 dipenderebbe indirettamente dal tempo, ma non viene classificato come reonomo in quanto non è una dipendenza esplicita).

Un vincolo è detto:

• Olonomo o geometrico o di posizione se limita direttamente solo le posizioni del sistema, e quindi non compare nella sua espressione la dipendenza dalle velocità. (( ), ( ), ) … , ≥ 01 Nella definizione vi è una disuguaglianza, ma nella meccanica delle coppie cinematiche questo la maggior parte delle volte è un vincolo bilaterale, quindi con un’uguaglianza, di conseguenza stiamo sicuramente sottraendo gradi di libertà. (es: due aste vincolate da una cerniera)
• Anolonomo o cinematico o di mobilità se limita anche le velocità dei punti. ( ( ), ( ), ( ), ( ), ) … , … , ≥ 01 1 Sono descrivibili sia tramite un’uguaglianza che una diseguaglianza, ma in questo caso, anche se ci trovassimo nella condizione di uguaglianza, il vincolo anolonomo non sottrae gradi di libertà.

N.B. Perché un vincolo risulti effettivamente anolonomo occorre che la sua equazione di vincolo (alle derivate prime rispetto al tempo) risulti non integrabile, cioè non riconducibile ad un vincolo di posizione.

Esempio: vincolo olo