Appunti primo e secondo parziale Geometria e algebra lineare

Spazi vettoriali

VUn insieme definitevettorialedefinitoviene alspazio internosuosonoseunodi coni sportivele per lescalone consauna predatooperazioni unoe, proprietà.

Sottospazi vettoriali

• Uno insiemispazio puoi vettorialivettoriale spazicontenere loroche sono notaa.
• VettorialiEssi sottospazichiamati verificare seguentitai devono lepervengono essere, etàpiani: ti Voleva contenere ieueetae meno. i, contienesottospazioOgni) Wii it WWHWLewaw C- f-), 0lo condizione Necessariai) WEWiii. tiit VU IKc-we, NSe sottospazi vettoriali dilui sono duewa amarae:, Qui si creanoW' vettoriali→vettorialenwW spazio die altri- ancora uno spazi2. Ti lo '/di W W' →WWz W- vettorialecwvettorialeWIU spazio se e spaziosoloune salto se e, , , , è semplicemente' iil grande duetrapiu. VW W'Se sidi diceV 'saltoc sposa spazio ventennale chee alloraun unoe, operazioni Vdaindottevettoriale lecon.

Combinazione lineare

In lineareelementii suoiposso combinazionevettorialespazio scrivere comesempreuno. Posso L deglilineari↳ elementi() l' combinazionichiamare insiemeUn lediv tutte. . . . settantenne contienespazio Maometto scaloneperladello questo somma e uno, , L Ldi _tbelementidomi èresti sottospazio vettoriale comunquerien un\ ↳ elementidegliunoseevettoriale èspazio determinatoeuno tale chesa a unla lorosottospazio, scrivere eelementisuoi combinazione lineare iposso comunquecome al sottospazio.combinazione lineare.}

Ragionando IRin: →)(' ' L opiuil =vettorialesottospazio epiccolo-) indipendenti(Lpoi linearmente praticamenteVaabbiamo vi. →- stovi sonodove vae l'indicando passanti originepersettele. possentiinfine limina pianiLlvivrv) originel'indico per}-. .)Se (Lin Unv1: . . . }elementidegliscambio ardere chequello SOÓottengomoltiplico sudoreperelemento unoun mulinoad il di sempreelemento aggiungo =aaltroun) Lui Un. ..(si opoozionu.metratta stessedelle) matricifate lecon.

Base

Una mi vettoribase dimin utilizzareil posso perripresenta chenumero liberoqualsiasicombinazione linearescrivere vettorecome.) lui bisognaquiquindi minori.vnL↳ trovare ilda numero. . linearedescrivere tramite ognicombinazionevettori elementoperdell' → diNecessario scatoleonlineinsieme scartoprocesso passoun →. quelli checombinazionisonolineari diL→ ' Invariatorimarra altriChiaramente ..→ Devo continuare fino chea altrideglilinearenessuno combinazioneè.

Diciamo ( L) ' cheVn vi. Unvidav1 neche anchegenerato Ume o. . .. . ... .., generatoriformano sistema diun. ↳ ' differenzaricordareimportante laadessoe 'nessuno esserepuoo/ sviato come linearecombinazioneindipendentilinearmente dipendenti /tra vettori altrideglid combinazioneNellaalmeno ouno imutipuò essere alineare 0=, Saito come 0coeff sono a=combinazione. . deglilinearealtri combinazionenella lineare a o= caeffalmeno un. Del di 'per =/cercare eresto o, . disemplificare il sistemageneratori ' vedere senecessarioe, Dipendenti scrittiquellitogliereLin che appunto possanosono vado comeesserea,. altri Itero procedimento linearecombinazione quando arrivofinodegli aed nonil indipendentilinearmenteGeneratorifinalmente sistemaunad di.

Dimensione finita

Gli generatorivettoriali dispazi ammettonoche sistemaunelementicostituito difinito hannodiceda chesinumeroun, dimensione finita. Insieme diamo che formano base lettorididefinizione diadesso la: indipendentilinearmenteSistema di generatoriUn sonoe. ↳ verificare hoper questo per sebasedavanti devo vedereunamielementiquesti formano generatorisistema diunIndipendentilinearmentesee sono.

La canonica base

La canonicabase ' i tuttinelesimaposizione e1presente troviamorestoNellae 0: -. Se Vho generatorivettorialespazio solotrovodove doveuno W cur.ua, .-. ,, indipendentilinVrv. Vs sono.. ., ,,. .2seIl di elementi dibasedi finita 'di dimensionenumero spaziouna uno e()haSpazio indicadello siDimensionedato mcon.-[amazon.aaaniana.fmbasehoQuando fareche unacona eloquestonatale possochesoun baseinscrivere uneimodo launico Etanolo, aaiinvece, mai aanaeauai anima-sono, ao naaaaaaaaaa, paga aaaaa, aaaaauna -1unicoesiste modoan un)

Avendo generatori (Vicvidi° sistema spaziosappiamo che m dimensione delloun, ,...' due casiEK: e, hoK basemaniM = o unaavrò diK > 'm sicuramente soetaiusieene basecheK unaeun. ↳ 'possibilitaAltra: () indipendentiV lin elementiLho =/allora significa gliinv chepochesono paroleevase, . ,.. . . SaraUall' sufficienti descriveridi quindiL possibile' trovareinterno lo spaziopersono unnon tutto.)( baseaggiungere LUntiantro ottenereVuda a vi perveetael una. . ..inVntiK baseM< Unposso averedamodoaggiungere una ., ...

Il basewmpietamento della teorema del rango una di matrice

Il basewmpietamento dellateorema delrango unadimatriceIl didi cani almatrice dellapivotrango spende suanumerounaperchéridotta miabbiamo operazionifarevistocome mequelle compromettenon, , generatoriil di Lsistema. Il pari spaziodi è matrice allo righerango dalle dellageneratouna anche?1kinmatriceConsiderando l' sanzionila matrice possiamo insiemeridottanostra vedere aeree, Èsistema consideratovettoriale omogeneosottospazioassociato solodel sesistema ilcome un, ., -in la suatal caso ?()' RandoIn M pivotparticolare Saradimensionesappiamo nriducendoche -→ incognitequalimatricela vediamoin qualiaipossiamo ricavare generale: alt reindeterminarepotendo generale× xu. . . . rimanenti scriverepossodelle: ()fi✗ Xn✗= uti, ...) (Cosicché; .fr/Xk+i,-.-iXn).xkH)fi (Sono soluzioni le Xn✗ ✗ mnti ... .. . .., .,,;)fu (FormadellaXxxi ✗✗ sono✗↳ dove= ✗nti mn n .., . .. . . indeterminatiparametri

Cambiamento per di base

Matricibasecambiamento perdi letrovare: Identità Bisognaassociate alle due funzioni, elementigli BasiDellescrivere nuove comelinearecombinazione delle vecchie.

Lineari algebra funzioni delle

Linearialgebra funzionidelle: applicazioniottengo unaquindilinearig)( udendo✓g) Wft( ft piu glu))(→ v, +: = l'operazioni insiemequeste 'applicazioni linearidelle eIAf W) V if) fili( un)=: → Homlviwvettorialespaziouno):Atbftgi ~> if la~ '

V autoveitore

V Autoveitore di fUNvevettore seeun: ① Ha② IVE fcu/-1 K)e T.co =1 all'Relativo vettoreAutoviene Vchiamato autovaloreIV ()quindi viene ✗fu mandatoconsiderando vettore che) stessoa se=/sarà 1rispettoV auoveetore a seun: idvi 0)glu =- Nonèchiaramente) elementoal( du VdiKer f- unnaveovvero)Kelp ')di (ke f- iduNullo banaleIdv e none-. IIA-f- IdV è associato a molteplicitàdetta -1dialgebrica1autoritari all'Quindi retoricif autovaloreammette q, posso avere)(Ker Idv ÈNon Banalef- roetepeicita=D☐ ti# Il polinomiootteniamosistema livello verificareassociato provinoamo a un>→, soluzioni Donai mt✗non che hache numeroannoiate sia autonomi