Appunti di Geometria e algebra lineare fino al primo parziale

Definizione: relazione

Una relazione binaria dall’insieme A all’insieme B è un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B. 2Una relazione sull’insieme A è un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano A² = A × A.

Relazione = Faccio il prodotto cartesiano, poi prendo un sottoinsieme qualsiasi, quel sottoinsieme è una relazione.

Una relazione binaria dall’insieme A all’insieme B collega alcuni elementi di A con alcuni elementi di B e non sempre lo fa seguendo una regola ben precisa.

A noi interessano principalmente le relazioni che sono sottoinsiemi del prodotto cartesiano di un insieme per sé stesso.

Possiamo pensare anche ad una relazione vuota, sottoinsieme vuoto, e una relazione totale, sottoinsieme che comprende tutti gli elementi del prodotto cartesiano.

Definizione: relazione di equivalenza

Una relazione su un insieme X, ovvero sul prodotto cartesiano X × X, è di equivalenza se ha le seguenti proprietà, ∼ indica semplicemente la relazione:

• Riflessività: per ogni x ∈ X: x ∼ x;
• Simmetria: per ogni x, y ∈ X, se x ∼ y, allora y ∼ x; simmetria in generale significa che se xRy allora yRx, ad esempio nella relazione di <, non vale la simmetria;
• Transitività: per ogni x, y, z ∈ X, se x ∼ y e y ∼ z, allora x ∼ z; in generale transitività significa che se xRy e yRz allora xRz.

Un esempio di relazione di equivalenza è l’uguaglianza, anche detta identità.

Un altro esempio di relazione di equivalenza è il parallelismo e ora vediamo il perché.

Consideriamo la relazione di parallelismo.

L’insieme A è l’insieme delle rette sul piano. Considero le rette r, s e t. rRs quando r//s.

Questa relazione ha le seguenti proprietà:

• Ogni retta è parallela a sé stessa, quindi la relazione è riflessiva;
• Se r//s, allora s//r, la relazione è simmetrica;
• Se r//s e s//t allora s//t, quindi anche transitiva.

La relazione di parallelismo, ovvero la direzione, è una relazione di equivalenza dato che possiede le 3 proprietà delle relazioni di equivalenza: riflessività, simmetria e transitività.

Definizione: classi di equivalenza e insieme quoziente

Data una relazione di equivalenza su un insieme non vuoto X, si definisce la classe di equivalenza di un elemento x ∈ X come l’insieme

[x] = {y ∈ X | y ∼ x}

Classe di equivalenza = insieme di tutti gli elementi dell’insieme legati dalla relazione di equivalenza.

Ogni classe di equivalenza non può essere vuota ed è disgiunta e separata dalle altre, quindi un elemento non può appartenere a più classi di equivalenza.

Osserviamo che ogni elemento di X sta in una ed una sola classe di equivalenza e ricordiamo che una partizione {U_i} di un insieme X è una famiglia di sottoinsiemi non vuoti U_i di X tale che ogni elemento di X sta in uno ed un solo sottoinsieme della famiglia.

In pratica, per suddividere l’insieme di partenza X in classi di equivalenza, io eseguo una partizione, ovvero una divisione.

Una partizione è una collezione di sottoinsiemi U1, U2, …, Un tali che

• U_i sia diverso dal vuoto per ogni i
• U_i intersecato U_j sia diverso dal vuoto per ogni i e j
• U1 unito U2 …. Unito Un = A

Ogni classe di equivalenza è una partizione.

Infine, si parla di insieme quoziente: insieme formato da un rappresentante per ogni classe di equivalenza.

Le classi di equivalenza sono molto evidenti nell’esempio della relazione di equivalenza di parallelismo.

Prendo la retta r e tutte le rette parallele a r. Lo stesso per le altre rette.

Costruisco sottoinsiemi non vuoti, disgiunti, tutti separati. Con la relazione di equivalenza, ho suddiviso le rette in base al parallelismo e quindi alla direzione delle rette.

Ho costruito delle classi di equivalenza.

Una volta individuata una relazione di equivalenza, ho suddiviso l’insieme in classi, in modo tale che i sottoinsiemi siano non vuoti, disgiunti, tutti separati.

Esempi di relazioni di equivalenza e classi di equivalenza

Il primo esempio di classe di equivalenza è ogni frazione dell’insieme Q.

A insieme delle coppie ordinate di numeri naturali con il secondo diverso da zero A = N × (N – {0})

Definiamo su A la relazione R: m/n R a/b quando mb = an, il che significa che la relazione è vera quando m/n è uguale a a/b.

Per questo Q è un insieme formato da classi di equivalenza, è quindi un insieme quoziente: uno stesso numero razionale può essere rappresentato tramite una classe di equivalenza formata da molte frazioni che hanno lo stesso risultato.

La congruenza è un’altra relazione di equivalenza che costruiamo su due segmenti nel piano o nello spazio.

Due segmenti sono congruenti quando esiste un movimento rigido, traslazione + rotazione, che porta gli estremi di uno a coincidere con gli estremi dell’altro.

La relazione di congruenza è una relazione di equivalenza; una classe di equivalenza è una lunghezza.

Dalle relazioni di equivalenza nascono i vettori

Quando si parla di vettori, si intende l’insieme di tutti i segmenti orientati, legati tra loro dalla relazione di equipollenza.

La relazione di equipollenza è una relazione di equivalenza e dice che due segmenti orientati AB e A’B’ possono essere sovrapposti tramite un movimento rigido, traslazione e rotazione. La classe di equivalenza della relazione di equipollenza è il vettore.

La differenza tra equipollenza e congruenza è solo che la prima tiene conto in più del verso.

Ìpuò indicatoUn vettore (essere I )☒a grassettocon o ..AI →B orientatoI AB segmento= > il vettore

Ìpuò indicatoUn vettore (essere I )☒a grassettocon o ..AAI →B orientatoI AB segmento= >

La somma di vettori geometrici si può fare col metodo del parallelogramma o il metodo punta coda.

il vettoredelmetodo cadametodoparallelogramma puntaA7 ----iI Iu.ie ,I 'delmetodo cadametodoparallelogramma 7puntaì> I "7 I è----iI Iu.ie I,I ' 7ì> I "I èI( ) )± f-a-± 1 K+ + = ++( ) )± f-a- ±± 1 K >+ + ±= ++I → ± t.tw,± >me ±a ± →I →+ ±e t.tw (1+1),mea +± a-→e)+e + (1+1)+a-( +a-e) ++ AAI →B orientatoI AB segmento= > il vettoredelmetodo cadametodoparallelogramma punta7 A ----iI Iu.ie ,I '

Proprietà della somma di vettori

• Proprietà associativa: (u + v) + w = u + (v + w) è7 I ----iI Iu.ie ,I ' 7ì>( ) )± f- I "a-± 1 KI + + = ++ èI ± > ±I → ± t.tw,mea ± →+e (1+1)( ) )± +f-a-± Wall1 a-Ke)+ + = ++ ++a-( ± > ±stesso risultatoI → ± t.tw,mea ± →+e (1+1)+Wall a-I e)I 1+1++ +a-(
• =Proprietà commutativa: u + v = v + uI 7 stesso risultato ti MI stesso risultato+n v. ±+1e a ,I I 1+1+ = eI 7 ti MI stesso risultato+n v. ±+1e a ,tu e Ìpuò indicatot 0 Un> vettorestesso verso (essere I )☒
• A grassettocon o ..t < appostoo verso
• La somma di vettori geometrici ammette un elemento neutro, ovvero la classe
• Ètu AI →B orientatoI AB segmento±=rappresentata dal segmento orientato nullo 0, ovvero il segmento orientato con estremità> il vettoretcoincidenti. 0> stesso verso
• T < appostooL’elemento neutro è importante perché ci permette di trovare l’opposto, ovvero l’oppostoverso
• ÈAdi un vettore è il vettore che sommato al primo mi dà come risultato 0.±
• Ogni vettore u ha come opposto il vettore -u che ha la stessa direzione di u, la stessadelmetodo cadametodoparallelogramma puntalunghezza, ma verso opposto.7 ----iI Iu.ie ,I ' 7ì>

Moltiplicazione per uno scalare

Sui vettori geometrici c’è anche un’altra operazione, ovvero la moltiplicazione per un numero reale.

I "I èDato un vettore non nullo u e uno scalare, cioè un numero reale, non nullo t, si definisce il prodottoIesterno, o prodotto di un vettore per uno scalare, il vettoretu( ) )± f-a-± 1 K+ + = ++che ha come lunghezza la lunghezza di u moltiplicata per |t|, modulo di t, la stessa direzione di u,± > ±lo stesso verso di u se t>0, verso opposto a quello di u se t<0.

Si pone infine t0=0 per ogni scalare tI → ± t.tw,mea(e vettore nullo) e 0u = 0 per ogni vettore u, scalare t nullo.± →+e (1+1)+Wall a-e) ++a-(

Si prova facilmente che, per ogni vettore u e s, t ∈ R, risulta:

• 1u = u; I I 1+1+
• s(tu) = (st)u =

Inoltre, per ogni u, v e s, t ∈ R, valgono le proprietà distributive:

• t(u + v) = tu + tv; ±+1e a ,
• (s + t)u = su + tu. etut 0> stesso verso
• t < appostoo verso
• È ±2319

Lezione di equivalenza, equipollenza e vettori

Lezione diequivalenza equipollenzadidirelazione allaè base vettoredella concetto .è orientatoIl segmentovettore un .equipollentevettoriDue quando hannoli quandorigidomovimentosono ovveroposso consovrapporre un ,direzionelunghezza)uguale (intensità versoe, .

Noi studieranno vettoriali formati soloNon da geometricivettorispazi saranno ..vettorialespazio diuno consiste :

• -- puntiho corrispondenza vettorialedelfissose piano biunivoca lotra pianoipunto spazionel una eun ., adPprendo corrisponde orientatoprurito qualsiasi ilse 1segmentoessoun , .ogni corrispondeAd solopunto e vettoreuno un .corrisponde soloAd vettore puntoogni euno un ..o 'delPunti piano origineèdel pianogeometricivettori giratadove un'e

PuòMa identificatoogni punto di continuatenumericoppia leordinata introducoessere con se:una →. disistemaun^ P riferimentoYp >...- . __._ . i± ( E) coordinate delPuntip = pianodel; ypxp , puntotigeometricovettoreXp che dall' originevapuntoalPunti-7 sistemadidel di riferimentodotatovettori geometrici piano pianodel AI ÓP diversi segmenti orientatie sonoB ,>I stessolo vettorema sono .

Q._p1 7a Ù F- ( )PII YPPcorrisponde XPAl vettore puntoil ,.e È (EI )Qcorrisponde IAl Q YQ✗il puntovettore a ,.o2- ^ sièascisse nello spazio uguale ma✗ ,. ordinata )aggiunge ( laun numeroy zidentificare il punto2- quota per .p→ (I )P Xp ZPyp> ,,y/l × VersariI :2-n I vettori di3E sonof e, intensità parilunghezza ovvero,1a .

E ^ I è G. )0,0=> ,È y )( 0,1 05- = ,I )( ^0,0= ,"× )( d btpat> , b)(I( a.)ap p =_ , , B)I fae = ,"± )(" btpIuguali quindila datsono < =, ,stessab componente)(ap ×- > vedolo aL± occhio1I &a vedesi bene come unol'finiscedove altroinizia( )1 btpI ata anche+ = , emerge→ commutativitàla)( bI pt✗ QI ++ = , metodostessa vedela col delsi parallelogrammacosa .

^ Q→ ( )2-ZV ypxp= ,P b)(I a= ,, b) )(t (te tbtaa. == ,>Modulo ÉTÉ(I III) 11111 generalizzatodiil pitagorateoremaY Z per×= == →,, puntiDistanza tra 2 ÀBII( B)dist IlA =,a)(A ✗ YA 2-a ,,te1a AI ) B-( AIa- 1- + =ya za✗= a.A- ,B- ( AIB) B- a-✗ 2-YB= B = -,,B)(B 2-YB✗B ,, AI ( )ZB ZaYaYB✗ XA= B- -. - ,, ÷Éj÷'B)( I IIAII a)dist ( ✗A 2-2-yae YB✗ B-= B-a= =-, , ,art at IE- (E )A- I 0,0= o-= = ,

Il mediodelposizionevettore valepuntoM B)(§= a + ^-2leI ✗ ^±' ± > y( c)I ,ba= , ")( dip ×a- r= ,nell' vedo chemettoLi moltiplicatoorigine è ¥± uguale ae . 3) ( ) 3)(✗ tu 12 (I ✗t3 (I IR± 44,6 6)1,2E 1,2solo : 2,4see =se = , ,,b Tp t XEte tdaovvero n cn == = -, ( ( )) 3,242,3 11 non, ,| { tt n^ - -3T impossibile2=32 =y n 3=23 2T=)(I Xp yp= ,( )P Ypxp ,> .

I > ×i hannoquandoDue vettori direzionelaparalleli stessasono .adnullovettoreIl vettoreè parallelo ogni .un' )( proporzionalità( b)( condizioneè) eccezione rispetta la algebricama00,0 a. →= , . hannodeisullapunti tutticheiTutti corrispondonoretta la stessavettoria^ ,multiplidirezione quindi di vettore esono un, .☒± tv REt corrispondenza numerideibiunivoca tra la retta→= reali la retta r .e .

L ( )X✗ è il generico punto × y,I )(±è posizioneil ✗ yvettore ✗=,"8 (I ) entrambi✗ p Iè depparametri direzionevettoree R conche fornisce psono non× c-auna = pun ,, ,, "direttori nulli I è vettore direttoredetto. . .

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