Appunti orale Analisi matematica I

Name: Appunti orale Analisi matematica I
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Author: Samuele_Romeo

Revisionato il 27/07/2026

di Samuele_Romeo

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Dimostrazione in simboli dei teoremi, recuperati dalle registrazioni durante la spiegazione in classe, in ordine di spiegazione, con immagini, titoli ed indicazioni per evidenziare gli argomenti …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Amato Roberto

Università Università degli Studi di Messina

A.A. 2022-2023

34 pagine

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Appunti esame

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Estratto del documento

Limite di una successione

lim_n→∞ (a_n) = l ∞∀ε > 0 ∃nε ∀n > ν; l - ε < a_n < l + ε ε = |l| + 1 ∀ε > 0 l > 0 ⇒ ε = l l = 0 ⇒ |l| <ε l < 0 ⇒ a_n < l + ε

Confronto

a_n, b_n, c_n ∃ν | a ≤ b_n ≤ c_n

lim_n→∞(a_n) = l ⇒ lim_n→∞(c_n) = l ⇒ lim_n→∞(b_n) = l

∀ε > 0

l - ε < a_n < l + ε;

l - ε < c_n < l + ε;

∀ε > 0

∀n > ν

l - ε < a_n < c_n < l + ε;

∀ε > 0

∃ν | l - ε < a_n < c_n < l + ε;

ν = max(V, V₁, V₂)

∀ε > 0 ∃ν | l - ε < a_n < c_n < l + ε

Limite verso

lim_n→∞(a_n)

∀ε > 0 ∃ ν; ∀n ⇒ l - ε < a|a_n| < α = max(|a₁|, ..., |a_j|, |t_ε|)

lim_n→∞∀ε>0 ∃N_ε : ∀n>N_ε ⇒ l-ε < a_n < l+ε

ε = |l|

I) l>0: a_n → l⇒ l-ε < a_n, a_n→0
II) l<0: ⇒ a_n l+ε, a_n→0

Confronto tra successioni

{a_n}, {b_n}, {c_n} ∃N_ε : ∀n>N_ε⇒ a ≤ b_n ≤ c_n

lim_n→∞(a_n - l) < lim_n→∞(c_n - l)⇒ ∀ε>0 ∃N_ε : ∀n>N_ε ⇒ l-ε < a_n < l+ε

⇒ l-ε < c_n < l+ε

⇒ ∀ε>0 ∃N_ε : ∀n>N_ε⇒ l-ε < a ≤ b_n ≤ c_n < l+ε

Limitarse

∀ε>0 ∃N_ε : ∀n>N_ε

a_n = max|a_n| < α = max{} , ,

Estremi comunic

c) a_n → l

c) b_n → +∞⇒ a_n → l⇒ a_n {a_n}⇒ {a_n} → l⇒ a_n → +∞⇒ a_n × b_n⇒ (a_n)

Teorema di Weierstrass

se {a_n} è limitata ⇒ a_n converge (b)

{a_n} ⊆ [α, β]

1_n ≤ a_nk ≤ 1_nk

α = (α_k nkr_m → 1)

l (α, β)

r_m → α (α, β)

l_k k

Punto di accumulo

x₀ ∈ A ↔ ∃ {x_n} ∈ A: x_n → x₀

H_n

x₀ ∈ A ↔ (A ∪ {x₀}) → ∃{x_n} ∈ A: x_n → x₀

1) ∃{x_n} ∈ A x_n = x₀, ∀ n x_n ∈ A x_n → x₀
2) {x_n} ⊆ A ∀δ > 0 ∃x ∈ A: ∀x₀ |x - x₀| < δ

δ = ¹⁄_n ∃x_n ∈ A: {x₀, ¹⁄_n} |x_n - x₀| < ¹⁄_n x_n → x₀

∃ {x_n} ∈ A x_n → x

∃ {x_n} ∈ A x_n → x₀

C^A = ((A ∪ {x₀})(A ∪ {x₀}) x₀

3^a Def. [L] _{x → x₀}

∀ intorno del lim all'intens a ad ∞elementi di A

Chiusura e compattezza

A è chiuso ⟺ ∀(x_n) ∈ A convergente ⇒ x_n → x₀ ∈ A

A = Ā⇒∀ x_n → x₀ ∈ Ā ¯ = A

⇐∀ x_n ∈ A convergente ⇒ x_n → x₀ ∈ A

∅ ⊂ A ⊂ A

∀ x₀ ∈ Ā ¯ Def. Compatto

A è compatto ⇔ ∀ (x_n) ∈ A ⟺ ∀ (x_{n_k} → x_o ∈ A

A ⊂ ℝⁿ A è compatto ⟺ A è chiuso e limitato

⇐A è limitato ⇒ ∀ x_n ∈ A

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