Appunti Misure meccaniche e termiche - prima parte del corso

Misura

La misura è costituita da un numero, un'incertezza e un'unità di misura.

Il problema pratico che sorge è che ripetendo il procedimento di misura non si ottiene lo stesso risultato; questo perché l’applicazione del metodo di misura è imperfetta e il cosiddetto valore reale è in generale sconosciuto.

Errore

Avendo specificato ciò possiamo dire che cade anche la definizione d’errore in quanto non è altro che la differenza tra il valore vero e il valore della misurazione, ma non potendo conoscere il vero valore non ha più senso parlare di errore.

Parleremo quindi d’incertezza.

Incertezza

L’incertezza è definita tramite la norma dettata dall’ISO come dubbio sulla validità del risultato; è una caratteristica che dipende dalla sensibilità dello strumento di misura.

Durante la misurazione possiamo identificare delle tipologie di errore:

• Errori sistematici sono quegli errori che non sono rilevabili ripetendo la misura.
• Errori casuali sono rilevabili ripetendo la misura.

Le principali cause di questi errori sono:

• Ingressi interferenti o modificatori.
• Imperfezione nella realizzazione del metodo di misura.
• Errori intrinseci legati alla definizione del misurando.
• Intrusività; quando lo strumento di misura modifica l’oggetto da misurare.

Avendo descritto questa tipologia di errori possiamo anche definire due parametri strumentali:

• Accuratezza: proprietà dello strumento ad essere esente da errori sistematici.
• Ripetibilità: proprietà dello strumento ad essere esente da errori casuali.

Trasduttore elementare

Sistema astratto orientato; è rappresentato come una scatola nera che lega in maniera lineare la grandezza e l’uscita.

Disturbi

• Ingresso modificatore sono disturbi che agiscono direttamente sullo strumento andando a modificare la costante di proporzionalità “K” (q = 0i Δq allora = 0)o.

Esempio: nella misurazione della lunghezza con un metro può capitare che l’eccessiva temperatura della stanza modifichi la lunghezza del metro che a sua volta fornirà un valore errato.

• Ingresso interferente sono disturbi che variano o l’ingresso o l’uscita Δq ≠ (anche se q = 0 può accadere che 0)i o.

Esempio: se teniamo il termometro con la mano per conduzione di calore il termometro subirà un riscaldamento, questo comporta che il valore fornito dalla misurazione è il valore dell’oggetto che realmente si voleva misurare più il valore del calore fornito dalla mano.

Riduzione degli effetti dei disturbi

• Insensibilità intrinseca: rende lo strumento solo sensibile agli ingressi desiderati.
• Retroazione: si aggiunge al sistema un elemento di feedback che rileva l’uscita q e la moltiplica per un'altra costante k; quindi la relazione ingresso uscita diventa q = (q – (q k)ko i o f da cui otteniamo q = q k / (1 + k k) riscrivibile come q = q / [(1/k + k)]o i f o i f.

Se la costante di feedback è molto elevata allora possiamo dire che k >> 1/k chef diventa quindi trascurabile facendo sì che la nuova relazione ingresso uscita sia q = q / ko i f.

Così facendo se l’ingresso modificatore non agisce su kf abbiamo eliminato il disturbo, il problema è che se questa costante è troppo elevata poi si rischiano problemi legati alla instabilità.

• Correzioni calcolate dell’uscita: conoscendo a priori gli effetti degli ingressi interferenti si possono calcolare a posteriori tramite calcolo.
• Metodo degli ingressi in opposizione: si introduce nello strumento degli ingressi intenzionalmente interferenti che però abbiano segno opposto a quelli che si vuole eliminare così che questi due effetti si elidano tra loro restituendo in uscita solo il valore sulla quale era d’interesse effettuare la misura.
• Filtraggi:

Compatibilità della misura

Bisogna prima specificare che ogni valore ha la sua fascia di validità, legata all’incertezza.

Possiamo affermare che due grandezze sono uguali se esiste almeno una sovrapposizione tra le due fasce d’incertezza.

Esempio: 1-3; 2-3 sono grandezze compatibili tra loro. 1-2 non sono grandezze compatibili in quanto non c’è sovrapposizione.

Deviazione standard

Dobbiamo dapprima definire cos’è la media; ovvero la stima di ottenere il valore atteso e la differenza tra il valore medio e il valore atteso non è altro che l’inaccuratezza della misura.

Per determinare la precisione della misura consideriamo la dispersione dei dati attorno al valore medio come.

Ora possiamo definire la deviazione standard come la migliore misura della dispersione.

La deviazione standard è l’indice d’imprecisione della misura.

Distribuzioni

Come già detto ripetendo più volte la misurazione si ottengono generalmente valori in uscita differenti tra loro, possiamo fornire questi valori come distribuzione d’ampiezza /= Δ max.

Per ogni misurazione supponiamo di tracciare un rettangolo di altezza Ztotale Z limitato superiormente dal valore massimo della lettura e inferiormente dal valore minimo. L’area di questo rettangolo è la min probabilità che una certa misura ricade nell’intervallo associato.

Confrontando tutti i vari rettangoli tra loro otteniamo un grafico ad istogramma.

Caso particolare

Non è la reale misurazione ma la risoluzione dello strumento è troppo ampia per il tipo di misurazione che vogliamo eseguire.

Questi insiemi di misurazioni danno origine ad una serie di distribuzioni:

• Gaussiana; il picco della gaussiana è il punto di maggiore probabilità della “reale” misurazione.
• Rettangolare; tutti i punti hanno stessa probabilità.
• Triangolare.

A questo punto possiamo definire una nuova funzione detta funzione densità di probabilità che è il rapporto tra la frequenza percentuale e l’ampiezza della classe d’appartenenza.

Esistono infinite forme per le funzioni densità di probabilità; ma tenendo in considerazione che ci sono effetti che tendono a sovrastimare il sensore ed effetti che invece sottostimano il nostro sensore, possiamo pensare di utilizzare una distribuzione simmetrica rispetto al valore medio che a sua volta è il dato che è più atteso come valore corretto della misurazione. Il modello in particolare è un modello Gaussiano espresso dalla funzione densità di probabilità gaussiana.

Definiamo la larghezza della distribuzione come l’incertezza dello strumento di misura; maggiore sarà la larghezza della Gaussiana e maggiore sarà la probabilità di avere valori che si discostano dal valore più probabile.

Definiamo il valore medio come il massimo della probabilità.

Diremo quindi che = ± = = )( dove e.

Avendo definito l’area sottesa come la probabilità di trovare un elemento in tutto il campo d’esistenza, con questa formula otteniamo una percentuale di accuratezza di circa 66% che non è sufficiente perciò = ± 2.

Ampliamo il campo di incertezza così da ottenere sicurezze migliori.

Solitamente vengono scelti valori dell’incertezza di 2 o 3.

Incertezza

L’incertezza può essere divisa in:

• Incertezze casuali.
• Incertezze sistematiche; sono quelle incertezze generate dalla tendenza dello strumento a sovrastimare o sottostimare sempre il valore dell’oggetto da misurare.

Per valutare l’incertezza delle misure dirette possiamo utilizzare due metodi:

Valutazione di tipo A

Si eseguono n misurazioni ripetute e si calcola poi:

• Valore medio (X).
• Deviazione standard (S).

Da cui possiamo dire che la misura non è nient’altro che l’intervallo centrato nel valore medio e di ampiezza /√.

Da cui si nota che per ridurre l’incertezza si può ):

• Aumentare il numero di misurazioni (maggiorare).
• Ridurre la dispersione (minorare S).

Va notato che se presente una causa d’incertezza di tipo sistematico il valore della dispersione non riesce ad evidenziarla, perciò potrà essere risolta migliorando l’incertezza dello strumento soltanto per confronto con un campione.

Valutazione di tipo B

In questi casi viene assunta una distribuzione d’ampiezza già nota a priori.