Appunti completi del corso "Misure meccaniche e termiche"

Norma UNI 4546 (1984-2018) - Misure e misurazioni termini e definizioni

Una misura è un'informazione costituita da 3 elementi essenziali:

• Numero
• Incertezza
• Unità di misura

Per rendere univoca la misura bisogna considerare anche lo stato del sistema, quindi le condizioni in cui avviene la misura.

Incertezza: intorno del valore di riferimento, ovvero il numero.

Numero - inc. + inc. Questo modello è stato superato perché implicava l'esistenza di un "valore vero" di misura.

Prima: misura = numero + errore di misura.

Ma c'è una differenza tra modello e realtà fisica, che viene detta "incertezza intrinseca o definizionale".

Adesso: misura = intervallo di incertezza.

In questo modo è stato eliminato il concetto di un "valore vero" più un "errore di misura".

Taratura

Valore nominale, ovvero il valore ideale, stampato sul pezzo che stiamo usando per tarare lo strumento.

Solo durante le operazioni di taratura, parleremo comunque di errori di misura, poiché gli scostamenti dal valore nominale sono dovuti proprio allo strumento in questo caso.

Errore = (valore misurato) - (valore nominale)

Misurazione valore di riferimento

Siccome le misure sono intervalli di incertezza, non ha senso dire che due misure sono uguali, perché non sono più numeri. - inc. + inc.

Possiamo solo dire che due misure sono "compatibili" se hanno un intervallo di sovrapposizione.

La compatibilità non è transitiva: 1 compatibile con 2, 2 compatibile con 3, 1 NON compatibile con 3.

La "misura" è il risultato della "misurazione", che quindi è l'azione di effettuare una misura.

Il "misurando" è l'oggetto della misurazione.

ISO: mondiale.

CEN: europea.

UNI: italiana.

Vocabolario

ISO GUIDE 99 (2008) - VIM UNI-CEI 70099 (2010)

Internazionale.

Metrologia: una misura è costituita da un intervallo di valori assegnati al misurando + qualsiasi altra informazione.

Misura = Measurement Result.

Misurazione = Measurement.

Statistica e probabilità per il calcolo dell'incertezza

Anche se vengono effettuate migliaia di misurazioni, non è comunque possibile prevedere quale sarà la misura successiva.

Variabili aleatorie: hanno delle caratteristiche di regolarità su più osservazioni, ma di cui non si può predire la singola osservazione.

Parametri per definire l'incertezza, dandogli un significato in termini di probabilità:

• Media: sommatoria delle differenze tra le singole osservazioni e la media.
• Varianza: al quadrato, fratto il numero di osservazioni.
• Scarto tipo: è stato definito per riportare la varianza all'unità di misura del nostro misurando.
• Deviazione standard.

Frequenza Cumulata Frequenza Relativa Cumulata.

Ovvero il numero di osservazioni al di sotto dei valori corrispondenti. In percentuale.

Istogramma delle Frequenze Istogramma delle Frequenze Relative.

Ovvero quanti valori sono compresi nei vari intervalli di temperatura.

Il difetto di questa rappresentazione è che se si cambia la suddivisione in intervalli, cambia anche la frequenza.

Per ovviare a questo problema si divide la frequenza ottenuta per l'ampiezza dell'intervallo.

Variabili Aleatorie Discrete: hanno come possibile uscita dei valori discreti, cioè dei valori con un numero di cifre pari alla sensibilità dello strumento di misura, quindi NON può assumere TUTTI i valori, per esempio con il metro si possono misurare solo valori con una precisione di un millimetro, tipo non si può trovare 34,2 mm.

Variabile aleatoria misura.

Al contrario una variabile reale si dice "continua", e noi useremo questo tipo di variabili, perché le funzioni che studieremo sono continue, e poi adatteremo a variabili discrete.

Probabilità: numero di volte che si è ottenuta la misura x, definizione frequentista, numero delle misurazioni totali.

Probabilità Cumulata: probabilità che si verifichino osservazioni minori del valore x.

Però questo grafico non permette di vedere dove i dati sono concentrati.

Dati compresi tra x1 e x2, larghezza dell'intervallo.

Per avere un'informazione localizzata, riduciamo l'intervallo.

Densità di probabilità: variabili discrete, va bene la sommatoria; variabili continue, integrali.

Media.

Varianza.

Distribuzione di Gauss

Nel mondo reale ci sono delle "grandezze di disturbo", che forniscono misure molto diverse dal valore reale.

Si osserva che la distribuzione dei risultati è di tipo "gaussiano".

La gaussiana dipende però sia da σ che da μ, allora si può riscrivere sostituendo con la variabile z.

Il vantaggio è che questa funzione è unica.

Gaussiana Normalizzata.

• La media diventa 0
• Lo scarto tipo diventa 1

Utilizzando questa si trovano i valori di z.

Le due aree sono uguali, poiché la gaussiana è simmetrica, ma per ricavare x basta utilizzare la relazione di sostituzione conoscendo μ e σ.

In corrispondenza di μ, poiché la gaussiana è simmetrica, l'area vale il 50% del totale.

L'area totale sottesa dalla gaussiana è uguale a 1, ovvero equivale al 100% delle probabilità.

Ora vogliamo trovare quel Δ affinché l'intervallo di probabilità sia di un valore prefissato, per esempio del 95%.

Ma questa area può essere anche vista come 1 - l'area della coda di destra, che però è uguale a quella della coda di sinistra, quindi.

Valori ricorrenti.

La conoscenza di F o f ci consente di determinare l'incertezza con un significato ben preciso.

Nel 99,7% dei casi una qualsiasi misura successiva si troverà dentro questo intervallo.

Procedimento inverso: si fa una misura sola, conoscendo però lo scarto tipo delle misure, e si ricava l'intervallo.

La media sarà compressa nell'intervallo con un "livello di confidenza" del.

Quindi al 99,7% dei casi la media sarà compresa in quell'intervallo.

Esempio: misura del diametro di un bullone da un righello.

Siccome la sensibilità è di 1 mm, tutte le misurazioni daranno come risultato 8, quindi l'intervallo va da 7,5 a 8,5.

Risoluzione.

Media.

Varianza.

Scarto tipo.

Analisi campionaria

Campione: è una porzione di soggetti che viene misurato per caratterizzare un'intera popolazione.

Più elementi n considero, più mi avvicino a μ.

Valore medio del campione.

Media di tutta la popolazione.

Si possono prendere anche più campioni, in modo da considerare tutta la popolazione.

Se si prendono tutti i valori medi, si può fare il valore medio dei valori medi.

Quindi si può affermare che è "stimatore corretto" di.

Le stesse considerazioni si possono fare per la varianza: bisogna aggiungere però un "- 1".

Quindi si può anche affermare che è "stimatore corretto" di.

Ma quanto lontano è x medio da μ?

Stiamo osservando come sono sparse le medie di campioni fatti di n elementi.

Quando n tende ad infinito, la gaussiana si stringe e tende ad una retta verticale, quindi si trova che x medio coincide con μ.

Esempio: da una serie di misure si ottiene una media di.

Le misurazioni però sono effettuate con uno strumento che ha una sensibilità inferiore.

Allora per riportare la misura ad essere discreta posso dire che la misura è l'intervallo.

In questo caso però dobbiamo conoscere lo scarto o la varianza, perché in questo caso vogliamo un livello di confidenza del 95%.

Ma allora invece che mettere mettiamo la sua migliore stima, cioè.

Passiamo alla gaussiana normalizzata: quindi consideriamo.

Utilizzando s invece che σ, otteniamo un'altra variabile di sostituzione che chiamiamo t.

Se n è molto elevato si ottiene una gaussiana, più invece n diventa piccolo, circa 10, la curva è schiacciata al centro, e sollevata ai lati.

Queste curve sono una famiglia, non è una curva unica, come la gaussiana: "funzioni t-student".

Numero di gradi di libertà della funzione.

Anche nel grafico delle F otteniamo più curve.

Se vogliamo l'intervallo in cui è compreso il 95% delle misure, dobbiamo cercare F pari al 2,5%.

A pari livello di confidenza, t è maggiore di z.

Caso con due variabili aleatorie

Vogliamo considerare la quantità.

Varianza di x.

Varianza di y.

Covarianza: ci dice se le variazioni della x sono legate alle variazione delle y.

Può essere anche negativa.

Esempio: ci manca μy: se c'è y = -kx più una componente aleatoria, invece che ottenere dei punti allineati ad una retta, ottengo una nuvola vicino alla retta.

Se la covarianza è nulla, le variabili sono statisticamente indipendenti.

La covarianza allora sarebbe un po' più piccola rispetto a k.

Calcoliamo ora la varianza di z.

La covarianza è diversa da zero se c'è nuvola di punti.

Se x e y sono indipendenti.

Se x e y sono dipendenti.

Vediamo adesso quanto vale la varianza di y in funzione di x.

Esempio.

Esempio.

Quando sommiamo tante variabili, la somma è sempre una distribuzione gaussiana.

Criterio di esclusione di Chauvenet

Criterio di esclusione (Chauvenet): si escludono i valori che complessivamente hanno una probabilità.

Perché per esempio quel punto lì potrebbe essere dovuto a qualcosa che ha influenzato lo strumento di misurazione, o a un errore di lettura, e si elimina perché altrimenti influenzerebbe significativamente la media.

Si usa 1/2n perché in questo modo la probabilità che compaia un valore anomalo in una delle osservazioni è 1/2.

Per applicare il criterio di Chauvenet:

• Si calcola la media
• Si calcola la varianza

Si costruisce la Gaussiana con: si determinano gli x che hanno una probabilità di verificarsi inferiore a 1/2n.

Sono quelli troppo lontani rispetto alla media, quindi ne escludo metà perché troppo grandi, e metà perché troppo piccoli.

Quindi nel grafico della frequenza cumulata bisogna cercare le F(x) pari 1/4n, quindi si trovano xmin e xmax.

Supponiamo per esempio di aver fatto 100 misure.

Si eliminano tutti i punti minori di xmin, e maggiori di xmax: se viene eliminato numero di elementi eliminati.

A questo punto si trova una nuova media corretta.

L'applicazione di questo criterio parte dall', quindi vale solo se i dati sono gaussiani.

Ipotesi di distribuzione gaussiana

Dobbiamo verificarlo, ci sono due metodi:

• Metodo grafico
• Test del Χ²

Metodo grafico

Se ipotizziamo che i dati siano Gaussiani, si può costruire un istogramma delle frequenze relative.

Ciò che ci chiediamo è: che forma avrebbe quell'istogramma se la distribuzione fosse gaussiana?

Numero elementi favorevoli.

Frequenza Relativa: è analoga alla definizione frequentistica di probabilità.

Dai dati si ricavano.

Cerchiamo quindi la Gaussiana con.

Questa Gaussiana avrà una F(x): F(x) è la probabilità di avere valori più piccoli di...

Adesso si osserva quanti dati ci sono nella classe compresa tra x1 e x2, e si calcola la probabilità di avere valori in questa classe.

Questa P1 è l'equivalente alla frequenza relativa 1, quindi riportiamo sull'istogramma dei punti, che ci dicono che se fosse gaussiana, la frequenza relativa dovrebbe avere quel valore.

Volendo si può anche calcolare la frequenza cumulata invece della frequenza relativa, per poi paragonarla con quella di una gaussiana.

È una frequenza relativa che però in questo caso indica tutti i dati più piccoli di xi.

Se è gaussiana, avremo valori non nulli anche per le classi che sperimentalmente avevano dato valori nulli, perché la gaussiana vale zero solo quando tende a infinito.

Arriva a 1 in corrispondenza del massimo dei valori osservati.

Test del Χ²

Test del Χ²: è un criterio oggettivo.

Analizza le deviazioni tra la gaussiana e i punti della distribuzione osservata.

I dati si dividono in classi, che non devono essere per forza uguali, quindi non devono avere la stessa larghezza.

Bisogna dividere l'intervallo in almeno 4 classi, e in ogni classe ci devono essere più di 5 eventi.

Numero di classi.

Eventi in ogni classe.

Dagli n dati si ricavano.

Si costruisce la Gaussiana con.

A questo punto si calcolano le "frequenze attese" in ogni classe.

Per farlo sfruttiamo la probabilità cumulata.

Per esempio: numero di eventi attesi con?

Calcolo la probabilità e la moltiplico per il numero di misure fatte: in generale non è un intero.

Frequenze attese Frequenze osservate, conto semplicemente i valori ottenuti nelle varie classi.

È un indicatore di quanto la distribuzione assomiglia a quella teorica della gaussiana, quindi quanto le frequenze osservate si avvicinano alle frequenze attese.

X² è molto piccola quando i dati sono molto gaussiani.

Tracciamo la frequenza cumulata di X²: numero di gradi di libertà.

All'aumentare dei gradi di libertà, la curva si appiattisce, ma non è una gaussiana.

Se imponiamo come limite un X² del 95%, significa che se prendiamo dei dati, e ne calcoliamo il X², nel 95% dei casi esso sarà minore di questo valore.

Nel restante 5% dei casi abbiamo un X² maggiore, quindi vuol dire che i dati non sono gaussiani, con un rischio d'errore del 5%.

Se, possiamo dire che i dati sono gaussiani, con un rischio d'errore del 5%.

Talvolta si possono considerare anche X² troppo piccoli, per esempio un X² del 5%; ciò significa che le frequenze osservate sono talmente vicine a quelle attese, che statisticamente si verifica raramente, cosa???, nel 5% dei casi.

Valutazione dell'incertezza

Ci si riferisce alla norma: UNI-CEI-70098-3 (2016) Guida all'espressione dell'incertezza nelle misure.

È il corrispettivo italiano della: ISO-GUIDE 88-3 (GUM - 1995) Guide to the evaluation of Uncertainty in Measurement.

Si parla di "errore" non quando si effettuano misure normalmente, ma quando si caratterizza uno strumento misurando qualcosa di noto, che ha un valore nominale Vn.

Prova di ripetibilità di uno strumento

• Si prende uno strumento
• Si prende un campione
• Si ripete n volte la misurazione, da cui si otterranno n valori
• Da questi si calcola il valore medio
• E lo scarto tipo

"Errore sistematico": "scarto tipo di ripetibilità".

Siccome sia la media, che il valore nominale sono "misure", dire che l'errore sistematico è uguale a 0 vuol dire che x medio e Vn sono due misure compatibili, se e sono misure compatibili.

Esempio: sono compatibili, quindi lo strumento non ha errori sistematici.

L'errore sistematico comunque non è un errore grave.

Se per esempio avessi ottenuto che ε non fosse nullo, ma per esempio fosse.

Basta traslare la scala di 0,1 mm, in modo tale che se poi si fa un'altra misura, ε diventa nullo.

Quindi gli errori sistematici si possono correggere.

Esempio: errore casuale NO errore sistematico.

Errore sistematico, scarto tipo di ripetibilità, piccolo errore casuale, piccolo errore casuale.

Siccome gli errori sistematici si possono correggere, per la valutazione dell'incertezza si assume che tutti gli strumenti siano tarati in modo corretto, quindi con un ε = 0.

Obiettivo: definire un intervallo che con data probabilità, livello di confidenza, contiene la media delle misure.

Valutazione di tipo A dell'incertezza

• Si prende un campione di n misure
• Si calcola la media
• Si calcola lo scarto tipo
• Si calcola lo scarto tipo della media
• La misura diventa: incertezza tipo, = scarto tipo

Questa valutazione si può applicare solo se:

• Si può ripetere n volte la misura
• Lo strumento è esente da errori sistematici

Oggetto: misurando.

Incertezza intrinseca, cioè anche misurandolo con uno strumento perfetto ci sarebbe un'incertezza.

Non va bene se si vuole utilizzare questa valutazione dell'incertezza.

Quando si usa uno strumento si aumenta la dispersione.

L'incertezza è aumentata a causa della misurazione dello strumento.

Se invece c'è un errore sistematico, il valore medio non coincide con il valore medio x.

NON c'è errore sistematico (ε = 0).

Se si considera il solito bullone che aveva misura poco inferiore a 8, e si fanno n misure con un righello, si otterrà n volte 8.

Se si usasse una valutazione di tipo A, si otterrebbe una misura di 8, con un'incertezza tipo uguale a 0.

La valutazione A non è applicabile, ma perché?

Il problema è che lo strumento, anche se è tarato correttamente, anche se non ha alcuna imperfezione, poiché è affetto da una risoluzione, determina lo stesso un errore sistematico ε.

In questo caso per esempio nonostante la media sia minore di 8, tutte le misure vengono approssimate a 8, quindi si aggiunge sempre una quantità positiva alle varie misure.

In generale è presente un errore sistematico se lo scarto tipo è inferiore alla risoluzione dello strumento.

Errore sistematico.

NO errore sistematico in questo caso infatti, la risoluzione dello strumento è molto superiore, e quindi non c'è errore sistematico, perché a volte si approssima per eccesso, a volte per difetto, quindi a volte si aggiunge una quantità positiva, mentre a volte una negativa, quindi la media degli errori di arrotondamento è zero.

Così però abbiamo un paragone tra uno scarto tipo e una risoluzione.

È più elegante un paragone tra scarti tipo: densità di probabilità sca