Appunti lezione 4 Matematica finanziaria

Operazioni di anticipazione

All’epoca 0, un debitore conviene con un creditore, di estinguere all’epoca x un debito K

in scadenza ad una certa epoca x+t, mediante il pagamento di un importo P detto valore

anticipato • P=g(K,x,t)

g • g legge di anticipazione

P K • t durata dell’operazione

• D=K-P>0 se t>0, sconto

0 x x+t • x=0 operazione a pronti

• x>0 operazione a termine

Forma funzionale di g

P=g(K,x,t)

• g(K,x,t) funzione monotona decrescente di t.

∀

• g(K,x,0) = K (K,x)

• P1 Omogeneita’ di importo

• P2 Scindibilità rispetto alla durata t

• P3 Uniformità rispetto all’inizio x

P1 Omogeneità di importo

∀α>0

g(αK,x,t)=αg(K,x,t)

α α

Oss Moltiplicando il debito per si moltiplica per anche il valore anticipato

1

1

α ⇒ ⇒

=

= g (

1

, x , t ) g ( K , x , t )

K

K

= = =

P g ( K , x , t ) Kg (

1

, x , t ) Kv ( x , t )

• v(x,t) fattore di anticipazione, fattore moltiplicativo da

applicare a K per ottenere P

• v(x,t) valore anticipato in x di un euro esigibile in x+t

• v(0,t) fattore di attualizzazione

P2 Scindibilità

∀ ∀

v(x,t)= v(x+s,t-s) v(x,s) s≤ t, x

Oss v(0,t) funzione di anticipazione a pronti al variare di

t. La scindibilità significa conoscere v(x,t), funzione di

anticipazione a termine, al variare di x. Infatti

+

( 0

, )

v x t

=

( , )

v x t ( 0

, )

v x

v(x+s,t-s)

v(x,t)= v(x,s)v(x+s,t-s) 1

0 x x+t

x+s

P3 Uniformità

∀

v(x,t)=v(t) x

• P=K v(t)

• Il valore anticipato dipende solo dalla durata t e non

dall’epoca x di inizio dell’operazione.

P=g(K,x,t)

• P1 P=Kv(x,t) Indipendenza dall’importo

• P2 v(x,t)= v(x+s,t-s)v(x,s) Scindibilità

• P3 v(x,t)=v(t

) Uniformità

P2 + P3 ⇒ v(t)=v(t-s)v(s)

⇒ Legge Esponenziale

Legge esponenziale

t

= < <

v (

t ) v , 0 v 1

i) v(0)=1

ii) v(t) funzione monotona decrescente di t

⇒

0<v<1 v=1-d con 0<d<1 tasso annuo di sconto

P2 −

t s t s

=

v v v

⇒ t

=

P ( K , x , t ) Kv

Grafico t

= < <

v ( t ) v , 0 v 1

t t

= =

v ( t ) 0 . 5 v ( t ) 0 . 7

Grandezze fondamentali per operazioni di durata t

⇒

P1 P(K,x,t)=K v(x,t) P ( K , x , t )

• Fattore di anticipazione =

v ( x , t ) K

= −

D ( K , x ,