Appunti lezione 3 Matematica finanziaria

Grandezze fondamentali per operazioni di durata t

⇒

P1,P2,P3 t

= = >

M ( C , x , t ) Cu ( t ) Cu , u 1

i

Intensità di interesse = t

j t t

In particolare per t=1/k, ho un intensità periodale di interesse riferita a un k-

esimo d’anno i

Tasso nominale di = 1

/ k

j =

j ki

⇒

1 / k

interesse convertibile k 1 / k 1 / k 1 / k

volte l’anno in tasso

periodale effettivo j

= 1 / k

i

⇒ Conversione in tasso periodale effettivo 1

/ k k

Esempio 1

Tassi nominali convertibili

• Calcoliamo M(10 Euro,x,2 anni) con legge esponenziale, sapendo che il

tasso nominale convertibile semestralmente è pari al 4%

j 0

.

04

=

j 0

.

04 ⇒ = = =

1

/ 2

i 2

%

1

/ 2 1

/ 2 2 2

4 4

= + =

M 10 (

1 i ) 10 (

1 . 02 )

1 / 2

Grandezze fondamentali per operazioni di durata t

⇒

P1,P2,P3

rt

= = +

M ( C , x , t ) Ce , r ln(

1 i )

Intensità istantanea di interesse =

r lim j

1 / k

→ +∞

k

Infatti 1 / k

− −

1 1

i u u

= = = = = + =

1 / k 1 / k

lim lim lim lim

j ln u ln(

1 i ) r

k

1 / 1 / 1 / 1 /

k k k

→ +∞ → +∞ → +∞ → +∞

k k k k

r rt t t

= = + = = +

e u 1 i e u (

1 i )

Da ricordare Esempio 2

Intensità istantanea di interesse

• Calcoliamo M(10 Euro,x,2 anni) con legge esponenziale,

sapendo che l’intensità istantanea di interesse è pari al 4%

=

r 0

.

04 0 . 04 * 2 0 . 08

⇒ = =

M 10 e 10 e

Rendimento delle operazioni di capitalizzazione

nella legge esponenziale

• r intensità istantanea di interesse

• u=1+i fattore di capitalizzazione annuo

• i tasso effettivo annuo di interesse

• Il rendimento è costante nel tempo r(t)=r +

t t t ln(

1 i ) rt

= = = + = =

u ( x , t ) u (

t ) u (

1 i ) e e

Rendimento delle operazioni finanziarie in

leggi non uniformi u(x,t)

≥

• Il rendimento r(t) 0 è variabile nel tempo, r(t) integrabile

+t +t

x x

∫

∫ r ( z ) dz r ( z ) dz

= − = −

=

u ( x , t ) e i ( x , t ) u ( x , t ) 1 e 1

x x

+ +

x t x t

∫ ∫

Oss Se r(t) costante = =

r ( z ) dz rdz rt

x x

rt

⇒ = =

u ( x

, t ) u (

t ) e

Proprietà di una legge non uniforme u(x,t)

+

x t

∫ r ( z ) dz

= ≥

u ( x , t ) e ,