Matematica Finanziaria - Teoria

Introduzione

Di che cosa si occupa la matematica finanziaria?

• Idea di base: se oggi investiamo denaro, ci aspettiamo che in futuro incasseremo un importo più alto di quello investito:
• L’importo aggiuntivo è l’interesse;
• L’importo iniziale + l’interesse è il montante o valore futuro dell’investimento;
• Più a lungo resta investito il denaro, più elevato è (dovrebbe essere) l’ammontare dell’interesse.

L’ammontare dell’interesse dipende dal tempo (cioè: dalla durata dell’investimento) e da alcuni parametri, in particolare dal tasso di interesse.

Invertiamo la prospettiva

Abbiamo diritto a incassare un importo futuro e ne vogliamo calcolare il valore oggi (valore corrente). Il valore all’epoca corrente di un importo disponibile in futuro deve essere calcolato al netto degli interessi: gli interessi devono essere scontati.

Nozioni di base

Operazione finanziaria: scambio di somme di denaro disponibili in epoche diverse:

• Lo scambio è regolato da un contratto (finanziario);
• Ciascun importo è caratterizzato da valuta e epoca;
• Gli importi sono prefissati oppure determinabili in base a una regola pattuita.

Rappresentazione di un’operazione finanziaria: elenco degli importi associati alle rispettive epoche: il contratto deve specificare come misurare il tempo, come approssimare le grandezze da calcolare.

Operazione di puro investimento

• Flusso iniziale in uscita (prezzo dell’investimento, con importi > di 0);
• Flussi futuri in entrata (tipicamente equidistanti, con importi > di 0);
• Scadenzario (in ipotesi di pagamenti equidistanti).

Operazione di puro finanziamento (o indebitamento)

• Flusso iniziale in entrata (importo preso a prestito, importi > 0);
• Flussi futuri in uscita (rate d’ammortamento, tipicamente equidistanti).

Somma di operazioni finanziarie

• Scadenziario unione: t = t’ U t’’;
• Operazione somma: x/t dove z raccoglie i flussi di due operazioni.

Scomposizione di operazioni finanziarie

Data un’operazione finanziaria z = [z’, z…zm] con flussi in entrata e flussi in uscita, definita sullo scadenzario t, può essere necessario scomporla in due operazioni.

• x/t, solo flussi in entrata (flusso degli asset);
• y/t, solo flussi in uscita (flusso delle liability);
• Z = vettore asset - liability.

Operazioni a pronti e operazioni a termine

Le condizioni contrattuali sono pattuite all’epoca corrente, t₀:

• Operazioni a pronti (o spot) → all’epoca corrente vi è un flusso;
• Operazione a termine (o forward): il primo flusso è differito rispetto all’epoca corrente.

Operazioni certe e operazioni aleatorie

• Certa: Operazione importi e epoche sono noti alla stipulazione del contratto.
• Aleatoria: Operazione alcuni importi ed epoche non sono noti all’inizio dell’operazione, ma saranno determinati nel corso dell’operazione in funzione di assegnate variabili.

Capitalizzazione e attualizzazione

Equivalenza intertemporale: per l’investitore, posizione long, investimento o capitalizzazione; per il debitore, posizione short, finanziamento o attualizzazione.

Nota. Importi e epoche noti → l’operazione è considerata certa. In realtà il flusso futuro è soggetto al rischio di default della controparte (operazione aleatoria). Per rappresentarla in termini deterministici occorre trascurare il rischio di default.

Capitalizzazione

Si fissa C e si calcola (in funzione delle condizioni contrattuali):

• Importo corrente (uscita): capitale (investito);
• Importo futuro (entrata): montante o valore finale;
• Interesse = montante - capitale;
• Montante per unità di capitale: M/C = (C + I)/C: fattore di montante;
• Interesse per unità di capitale i = I / C: tasso di interesse.

Attualizzazione

S = si vuole calcolare A = S - D

• Importo futuro (uscita): valore nominale o alla scadenza;
• Importo corrente (entrata): valore attuale o scontato (o iniziale);
• Sconto = valore nominale - valore attuale;
• Valore attuale per unità di valore nominale v(1) = A/S = (S - D) / S fattore di sconto;
• Sconto per unità di valore nominale d = D/S: tasso di sconto;
• Quando guardiamo il lato dell’attualizzazione le etichette sono diverse.
• Punto di partenza S = somma finale.
• Importo attuale o importo corrente (A) = scontato degli interessi;
• Legame tra fattore di sconto e fattore di montante: il montante ci fa andare avanti e il fattore di sconto ci fa tornare indietro = il fattore di sconto è il reciproco del fattore di montante.

Equivalenza intertemporale

Dal punto di vista finanziario, in base alle condizioni contrattuali, C (A) all’epoca t = 0 è equivalente a M (S) all’epoca t = 1.

Le clausole contrattuali di fatto specificano un (a funzione) valore V(t) che riflette il prezzo del tempo.

In termini di fattore di montante: V(1) = V(0) · f(1):

• In generale, per un’operazione di durata t anni: V(t) = V(0) · f(t);

In termini di fattore di sconto: V(0) = V(1) · v(1):

• In generale, per un’operazione di durata t anni: V(0) = V(t) · v(t)

Formazione del valore nel tempo

Le leggi finanziarie esprimono il modo in cui “si passa da un importo all’altro”: ci baseremo in termini di equivalenza temporale (in quale modo, inteso come funzione del tempo, i 1 000 euro al tempo 0 diventano 1 100 euro al tempo 1?).

Invece che in termini di montante, conviene ragionare in termini di fattore di montante (o di sconto).

Appunti:

• Secondo la regola stabilita dal fattore montante, tra valori correnti e valore futuro c’è un’equivalenza finanziaria.
• Se attualizzo tutti i pagamenti futuri: i pagamenti futuri sono finanziariamente equivalenti al capitale che ricevo a prestito.
• Equivalenza = stabilita dal fattore di montante e fattore di sconto.
• Capire come entra il tempo nell’espressione algebrica;

Regimi e leggi finanziarie

Regime finanziario: Procedura di calcolo che, in funzione del tempo e di alcuni parametri (da assegnare), dà il montante alla scadenza di un euro investito oggi o il valore scontato oggi di un euro futuro;

Legge finanziaria: funzione di tempo che, sulla base di assegnati parametri, consente di calcolare il montante alla scadenza di un euro investito oggi o il valore scontato oggi di un euro futuro.

Data la funzione valore V(t), risulta definita una legge finanziaria, che può essere alternativamente espressa in termini di:

• Tassi d’interesse e tassi di sconto sono parametri delle leggi finanziarie.

Tasso d’interesse: solitamente inteso come remunerazione del capitale investito (rendimento):

• Siccome gli importi non sono deflazionati, si tratta di un tasso (su base) nominale: i tassi nominali sono (dovrebbero essere) sempre positivi.
• Al “netto” dell’inflazione, i tassi sono detti reali i tassi reali possono essere negativi.

Il tasso d’interesse esprime l’interesse per unità di capitale e per unità di tempo. Il significato specifico del tasso d’interesse dipende dalla legge finanziaria.

Le leggi finanziarie

Obiettivo: costruire formule che, in base a opportuni parametri, descrivano la funzione valore V(t).

Fattori di montante e fattore di sconto a interessi semplici

La legge degli interessi semplici

Investimento dell’importo C all’epoca 0 → V(0) = C.

Fattore di montante a interessi semplici, per un'operazione di durata di anni (t intero):

• f(t) = 1 + i x t.

Caratteristica: interessi proporzionali al valore iniziale (capitale) e alla durata dell’impiego: I = C x i x t.

• Fattore di proporzionalità: i
• Significato: denaro prodotto da un’unità di capitale (investito) nell’unità di tempo.
• Tasso d’interesse (semplice) (annuale se la durata è in anni, mensile se la durata è in mesi, ecc.) I solitamente: i > 0 garanzia d’interessi (V (t) crescente).

Legge impiegata per contratti di breve periodo (un anno circa) e comunque con scadenza fissata.

Fattore di sconto a interessi semplici (legge dello sconto semplice o razionale):

• Da f(t) = 1 + i x t, v(t) = 1/f(t) = 1/1 + i x t.

Il parametro i è ancora il tasso di interesse.

Fattori di montante e fattore di sconto a interessi composto

La legge degli investimenti composti

Investimento dell’importo C all’epoca 0 → V(0) = C.

L’aumento di valore in un generico anno è una percentuale i del valore accumulato all’inizio dell’anno. Gli interessi vengono capitalizzati e maturano da essi altri interessi.

La seconda: come calcolare il valore dell’investimenti a fine anno: moltiplichiamo x 1 + i. La regola presuppone che ogni anno gli interessi vengano calcolati con base di calcolo il valore raggiunto a inizio anno. Pertanto:

Il fattore di montante è esponenziale → il valore acquisito senza prelevamenti = capitale x fattore di montante a interessi composti. (valutazione per il calcolo degli interessi composti, e non si semplifica).

Mettere in parallelo le slide a interessi semplici e a interessi composti.

Fattore di montante a interessi composti, per un’operazione di durata t anni (t intero):

• Parametro i: tasso annuale (composto)
• Solitamente f(t) = (1 + i)^t è definito per t > 0.

Applicare la formula sopra. Assume valore sempre più elevati ed esponenziale, quindi convessa. Se considerassimo un valore un po’ più elevato: ottengo un fattore di montante che ha lo stesso andamento ma ha valori più elevati perché il tasso è più elevato.

• Traccio il valore di fattore di montante dopo un anno;
• Trovo 1 più il tasso: nel primo anno l’aumento è pari al tasso i (x ogni euro investito, nell’anno 1 guadagno un interesse pari a i);
• Valore generico: dall’epoca t all’epoca t+1 aumenta del capitale investito + i + interessi maturati sul capitale e sugli interessi reinvestiti.

Fattore di sconto a interessi composti (o fattore di sconto composto): Lo scriviamo con la stessa base ed esponente negativo. È una funzione esponenziale, solo che è decrescente:

• Sull’asse delle ascisse vi è la scadenza, asse delle ordinate il valore di oggi.
• Man mano che raggiunge la scadenza il valore si riduce.