Appunti Fondamenti di controlli automatici

Revisionato il 10/09/2026

di Ciccio99EMA

Publisher

Vota

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti Fondamenti di controlli automatici. Sistemi dinamici a tempi continui: studio dei sistemi lineari e non lineari, analisi dell'equilibrio e linearizzazione. Rappresentazioni dello stato e …

Esame Fondamenti di controlli automatici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Russo Giovanni

Università Università degli Studi di Salerno

A.A. 2022-2023

75 pagine

Appunti esame

Scarica

Estratto del documento

Linearizzazione di un sistema dinamico non lineare

1) Dato il sistema dinamico a tempo continuo non lineare (si omette la dipendenza dal tempo per compattezza di notazione)

x₁^· = -x₁³ + x₁ + x₂ + u + 1

x₂^· = x₁ + x₂ + u

y = 1/x₁ ln(x₂ + 1) + u²

Linearizzarlo intorno ai punti di equilibrio per u = -1.

Cosa posso già dire del sistema

Cosa posso già dire del sistema, per quello che ho imparato fino ad ora.

Per prima cosa il sistema si presenta nella forma non linearizzata, è non lineare perché vediamo che presenta termini come x₁³ e u².

Analizzando due stati, x₁ ed x₂, si ha un’uscita che dipende dai due stati e dall’ingresso u, quindi notando la relazione con l’ingresso nell’uscita posso affermare che il sistema è proprio.

Linearizzare un sistema significa rendere le funzioni (funzione generatrice dello stato) e y (funzione generatrice delle uscite) lineari e trovarli il sistema nella seguente forma:

∫ x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

∫ y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)

x(t₀) = x₀

Dove le matrici sono:

A: Matrice dinamica, di dimensioni n x n dove n indica il numero di stati
B: Matrice degli ingressi, di dimensioni n x n dove m indica il numero di ingressi
C: Matrice delle uscite, di dimensioni p x n dove p indica il numeri di uscite
D: Matrice diretta ingresso uscita, di dimensioni p x m. Se non è presente il sistema è detto strettamente proprio

Modello linearizzato

Trovare il modello linearizzato significa risolvere l'equazione differenziale, quindi:

x₁^· = -x₁³ + x₁ + x₂ + u + 1

x₂^· = x₁ + x₂ + u

y = 1/x₁ ln(x₂ + 1) + u²

x₁³ + x₁ + x₂ + u + 1 = 0

x₁ + x₂ + u + 1 = 0

y = 1/x₁ + ln(x₂ + 1) + u²

x₁³ + x₁ + x₂ + u + 1 = 0

x₁ + x₂ + u + 1 = 0

y = 1/x₁ + ln(x₂ + 1) + u²

Stati e uscite di equilibrio

Ponendo u = -1 posso trovare gli stati e le uscite di equilibrio:

x₀ = x₁ x₂ = 1 0

y_eq = y = 1

Matrici jacobiane

A questo punto posso linearizzare usando le matrici jacobiane che mi daranno le matrici A, B, C, D che abbiamo scritto all'inizio.

La matrice B, di dimensioni non (2x2) la troviamo scrivendo la derivata rispetto allo stato. L'elemento in posizione 1,1 la trovo derivando lo stato x₁ rispetto x₁: l'elemento in posizione 1,2 lo trovo derivando lo stato x₁ rispetto x₂; al contrario per la seconda riga: elemento 2,1 lo trovo derivando lo stato x₂ rispetto x₁, elemento 2,2 trovo derivando lo stato x₂ rispetto x₂.

La matrice B, di dimensioni non (2x1) la trovo seguendo lo stesso ragionamento che alla fine è quello di trovare la matrice jacobiana).

Stessa cosa per la matrice C (pxn) (1x2) e la matrice D, di dimensioni pxm (1x1).

La matrice jacobiana, che è parte della risoluzione di un'equazione differenziale, si costruisce in questo modo:

∂f₁(x)/∂x₁ ∂f₁(x)/∂x₂

∂f₂(x)/∂x₁ ∂f₂(x)/∂x₂

Linearizzazione del sistema dinamico non lineare

1) Dato il sistema dinamico a tempo continuo non lineare (si omette la dipendenza dal tempo per compattezza di notazione)

_x₁ '= -x₁³+ x₁ + x₂ + u + 1

_x₂ '= x₁ + x₂ + u

y = ¹⁄_x₁ ln(x₂ + 1) + u²

Linearizzarlo intorno ai punti di equilibrio per u = -1.

Cosa posso già dire del sistema

Cosa posso già dire del sistema, per quello che ho imparato fino ad ora.

Per prima cosa il sistema si presenta nella forma non linearizzata, è non lineare perché vediamo che presenta termini come x₁³ e u².

Analizzando due stati, x(t) e u(t) è un'uscita che dipende dai due stati e dall'ingresso u, quindi notando la relazione con l'ingresso nell'uscita posso affermare che il sistema è proprio.

Linearizzare un sistema significa rendere le funzione (funzione generatrice dello stato) e e (funzione generatrice delle uscite) lineari e trovarci il sistema nella seguente forma:

x(t)= A(t)x(t) + B(t)u(t)

y(t)= C(t)x(t) + d(t)u(t)

x(t₀) = x₀

Dove le matrici sono:

A: Matrice dinamica, di dimensioni n x n dove n indica il numero di stati
B: Matrice degli ingressi, di dimensioni n x m dove m indica il numero di ingressi
C: Matrice delle uscite, di dimensioni p x n dove p indica il numeri di uscite
D: Matrice diretta ingresso uscita, di dimensioni p x m. Se non è presente il sistema è detto strettamente proprio

Trovare il modello lineari

Anteprima

Vedrai una selezione di 16 pagine su 75