Appunti Fisica matematica

Operatori matriciali su vettori

Simbolo di Kronecker

Simbolo di Kronecker: δ_ij = ⁰₁

Simbolo Levi-Cività

Simbolo Levi-Cività: ε_ijk = 0 = almeno 2 indici

• 1 = Permutazione pari
• -1 = Permutazione dispari

Proprietà dell'operatore lineare

Proprietà dell'operatore lineare

A(u+v) = Au + Av

A(λu) = λ Au

Traccia

Traccia

trA = A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

Determinante

Determinante

det A = λ

det (A · B) = det A · det B

det A = det A · det B

det (λ A) = λⁿ det A

Componente algebrico

Componente algebrico

A^-1 = &frac{A^T}{det A}

Operatori matriciali su vettori

Simbolo di Kronecker

Simbolo di Kronecker: δ_ij = ⁰₁

Simbolo Levi-Civita

Simbolo Levi-Civita: ε_ijk

• 0 = Almeno 2 indici
• 1 = Permutazione pari
• -1 = Permutazione dispari

Proprietà dell'operatore lineare

Proprietà dell'operatore lineare

A(u+v) = Au + Av

A(λu) = λAu

Traccia

Traccia

tr A = A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

Determinante

Determinante

det A = λ

1. det (A · B) = det A · det B
2. det A = det A · det B
3. det (λA) = λⁿ det A

Complemento algebrico

Complemento algebrico

A^-1 = ^CT_{det A}

Operatore simmetrico e antisimmetrico

1. Operatore qualsiasi = n²

9n. a 3d.

2. Operatore simmetrico = ⁿ²⁄₂ + n⁄2

→ ⁿ⁄₂(n+1)

S = S^T ⇔ S_ij = S_ji

6n. a 3d.

3. Operatore antisimmetrico = ⁿ²⁄₂ - n⁄2

→ ⁿ⁄₂(n-1)

A = A^-T ⇔ A_ij = -A_ji

3n. a 3d.

F = F^S + F^A

o.q.   o.s.   o.a.

F = ¹⁄₂(F + F^T) + ¹⁄₂(F - F^T)

F^S F^A

Operatori definiti di segno

Teorema di Sylvester

Teorema di Sylvester

1. Operatore positivo

F_v∙v ≥ 0 ∀v \ v ≠ 0 = 0 v = 0

2. Operatore negativo

F_v∙v ≤ 0 ∀v \ v ≠ 0 = 0 v = 0

3. Operatore semi-definito positivo

F_v∙v ≥ 0 ∀v

4. Operatore semi-definito negativo

F_v∙v ≤ 0 ∀v

Proprietà

Proprietà

F_v∙v = (F^s + F^A)v ∙ v = F^sv ∙ v + F^Av ∙ v = F^sv ∙ v Simmetrico

λ ∙v = λv₁² + λv₂² + λv₃² ∀v > 0

operatore strettamente positivo λ > 0

λ = (1,0,0) oppure (0,1,0) oppure (0,0,1)

Stessa cosa vale per il caso strettamente negativo.

A → operatore; oppure F → operatore non singolare

A^T = (F^TF)^T = F^TF = AA

_v∙v = F^TF_v∙v = F_v∙F_v = (F_v)²

det F ≠ 0

Teorema Sylvester

Teorema Sylvester

A = (_{A11 A12 A21 A22})

1. A _dfp ⊕ A11 > 0 → det(_{A11 A12 A21 A22}) > 0
2. A _dfn ⊖ A11 A11 A12 _{A21 A22}) > 0
3. A _semi-dfp ⊕ A11 = 0, A22 ≥ 0 → det(_{A11 A12 A21 A22}) ≤ 0
4. A _semi-dfn ⊖ A11 ≤ 0, A22 ≤ 0 → det(_{A11 A12 A21 A22}) ≤ 0

Nell’operatore non simmetrico si studia il segno solo della parte simmetrica A^s

A_v∙v = (A^s + A^A)v ∙ v = A^sv ∙ v + A^Av ∙ v = A^sv ∙ v

Operatore di deformazione

Operatore deformazione

Operatore deformazione

dx = dP^* = (dx₁, dx₂, dx₃)

dx_i = ∂x_i / ∂X_A ⋅ dX_A = F dX

x = x (X, t)

F = ∂x / ∂X F_iA = ∂x_i / ∂X_A

Determinante λ = detF ≠ 0 (parti non sovrapponibili)

Deformazione è il divario tra dp e dp^*

|dx|² = dx ⋅ dx = F dx ⋅ dx