Appunti di Fisica matematica

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Author: Ferros94

Revisionato il 24/07/2026

di Ferros94

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Appunti di fisica matematica basati su appunti personali e frequenza delle lezioni del professore Ruggeri, dell'università degli Studi di Bologna - Unibo, facoltà di ingegneria, …

Esame Fisica Matematica e trattamento delle osservazioni statistiche

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ruggeri Tommaso

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2021-2022

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Fisica matematica

Operatori matriciali tra vettori

Si indica con En uno spazio affine, euclideo, n-dimensionale reale, con V lo spazio vettoriale ad esso associato e con f.i.j una generica base ortonormale di V.

Prodotto scalare IRⁿ

Prodotto scalare IRⁿ: vettore x vettore = scalare.

Siano:

a = (a₁, …, a_n)

b = (b₁, …, b_n)

a · b = a₁b₁ + … + a_nb_n = a_ib_i = k

Prodotto vettoriale IR³

Prodotto vettoriale IR³: vettore x vettore = vettore.

c = a x b = det a₁a₂a₃b₁b₂b₃îĵk̂

c = (a₂b₃ - b₂a₃) î + (a₃b₁ - b₃a₁) ĵ + (a₁b₂ - b₁a₂) k̂

In termini vettoriali si può scrivere:

c_i = E_ijk a_i b_k ê_m dove i: è indice libero

Dove E_ijk è il simbolo di Levi-Civita, così definito:

E_ijk = 0 se almeno 2 indici uguali
1 se gli indici sono una permutazione pari
-1 se gli indici sono una permutazione dispari

Permutazione pari permutazione dispari

1 2 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
2 1 3
1 3 2

Simbolo di Kronecker IRⁿ

Simbolo di Kronecker IRⁿ

δ_ij = 0 i ≠ j

1 i = j

Nota: con la convenzione di Einstein si può scrivere δ_kk = n k = 1, … n

Fisica matematica

Operatori matriciali tra vettori

Si indica con E⋋ uno spazio affine euclideo n-dimensionale reale, con V lo spazio vettoriale ad esso associato e con fⱼ, i una generica base ortonormale di V.

Prodotto scalare Rⁿ

Prodotto scalare Rⁿ: vettore x vettore = scalare.

Siano:

a = (a₁, ..., a_n)

b = (b₁, ..., b_n)

c = a · b = a₁b₁ + ... + a_nb_n = a_ib_i = k

Prodotto vettoriale R³

Prodotto vettoriale R³: vettore x vettore = vettore.

c = a x b = det |a₁ a₂ a₃b₁ b₂ b₃̂ ̂ ̂|

c₁ = a₂b₃ - b₂a₃

c₂ = b₁a₃ - a₁b₃

c₃ = a₁b₂ - b₁a₂

Rispetto alla base {̂, ̂, ̂}

x₃̂

x₂ ̂ x₁ ̂

In termini vettoriali si può scrivere:

c = E_i _l _m a_i b_k ̂_m dove i: indice libero

Dove E_i _l _m è il simbolo di Levi-Civita, così definito:

E_i _l _m = 0 se almeno 2 indici uguali
1 se gli indici sono una permutazione pari
-1 se gli indici sono una permutazione dispari

Permutazione pari

(1 2 3)
2-3-1
3-1-2

Permutazione dispari

3-2-1
2-1-3
1-3-2

Simbolo di Kronecker Rⁿ

p { _i_j = { 0 i ≠ j 1 i = j }

Nota: con la convenzione di Einstein si può scrivere _k_k = n k = 1,...,n

Prodotti scalari speciali Rⁿ

Prodotti scalari speciali Rⁿ

a · a = a_i² = ||a||² dove ||a|| = √a_i²

a · b = 0 => a ⊥ b (cos90° = 0)

Base ortonormale

Base ortonormale

Si hanno 5 condizioni:

l₁ · l₁ = 1
l₁ · l₂ = l₂ · l₁ = 0
l₁ · l₃ = l₃ · l₁ = 0
l₂ · l₂ = 1
l₂ · l₃ = l₃ · l₂ = 0
l₃ · l₃ = 1

Si può scrivere:

l_i · l_j = δ_i,j

Incremento modulo di un vettore

Incremento modulo di un vettore

w = λ v |w| = |λ| |v|

Con v = v₁ l₁ + v₂ l₂ + v₃ l₃.

1 Operatori matriciali Rⁿ

Si definisce operatore matriciale un operatore lineare A che trasforma (sposta, ruota e allunga) un generico vettore v ∈ V in w ∈ V.

w = A v

(w₁, w₂, w₃) | A₁₁ A₁₂ A₁₃ | | v₁

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