Appunti di Fisica matematica

Fisica matematica

Monica De Angelis, con rappresentazioni e note esplicative. Scritto e organizzato da Giovanni Celentano.

Teoria dei vettori liberi

Segmento orientato

Segmento orientato. (, ). Consideriamo la coppia ordinata di punti. Si definisce segmento orientato l’ente analitico individuato da una direzione da un modulo e da un verso. In particolare, la direzione è quella della retta che congiunge i punti e Il modulo coincide con la distanza che intercorre tra i due punti e il verso è quello che da porta a.

Vettori equipollenti

Vettori equipollenti. (, ) (, ) ~ Due segmenti orientati e si definiscono equipollenti se hanno la stessa direzione, lo stesso modulo e lo stesso verso. L’equipollenza è una relazione di equivalenza, cioè è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Classe di equipollenza

Classe di equipollenza. L’insieme degli infiniti segmenti orientati equipollenti tra di loro costituisce una classe detta classe di equipollenza.

Nota bene: Le classi di equipollenza costituiscono una partizione tra i segmenti orientati, ovvero, un segmento orientato può appartenere ad una ed una sola classe di equipollenza.

Vettore libero

Vettore libero. Si intende per vettore libero una classe di segmenti orientati equipollenti.

Notazione di Grassmann

Notazione di Grassmann. , Consideriamo un arbitrario punto nello spazio. A partire da riportiamo un segmento orientato rappresentativo del vettore libero. Rimane univocamente determinato l’estremo e pertanto, secondo la notazione di = − . Grassmann, possiamo scrivere che (tale notazione è necessaria per passare alla considerazione matematica dei vettori).

Due vettori liberi si definiscono paralleli se hanno la stessa direzione.

Tre vettori sono complanari se i loro segmenti rappresentativi giacciono tutti sullo stesso piano.

Nota bene: due vettori sono sempre complanari. Tre vettori, di cui due paralleli, sono complanari. (servirà nel prodotto misto)

Operazioni tra vettori liberi

Somma di vettori e risultante

Somma di vettori e risultante (vettore libero). Il risultante di due vettori coincide con la diagonale del parallelogramma che ha per lati i vettori stessi.

La somma di tre vettori non complanari coincide con la diagonale del parallelepipedo che ha per lati i vettori stessi.

Prodotto fra un vettore e uno scalare

Prodotto fra un vettore e uno scalare. Assegnato un vettore libero e uno scalare si definisce prodotto tra il vettore e lo scalare il vettore libero che ha per direzione la direzione di per modulo il prodotto, tra il modulo del vettore e il valore assoluto dello scalare il verso sarà concorde o discorde al verso di a seconda che sia positivo o negativo. −

Vettore opposto

Vettore opposto, − Assegnato si definisce vettore opposto e indichiamo con il vettore individuato dal (−1). prodotto Tutto ciò permette di introdurre la differenza tra due vettori. Considerati , − , due vettori e si intende per differenza dei due vettori, e scriveremo la somma . − = + (−) del vettore e dell’opposto di.

Proprietà − La differenza coincide con “l’altra” diagonale del parallelogramma costruito a partire (, ) da orientata nel punto finale del primo vettore.

Versore

Versore ̂), ( Assegnato il vettore libero si definisce versore di il vettore che ha direzione e verso di e modulo unitario. 1̂= ||

I vettori liberi costituiscono uno spazio vettoriale sul campo nei numeri reali. Infatti è possibile dimostrare che soddisfano le otto proprietà degli spazi vettoriali.

Angolo tra 2 vettori

Angolo tra 2 vettori , . Consideriamo due vettori. Si possono presentare 4 casi: Si intende per angolo tra due vettori la parte di piano racchiusa tra i due vettori che sia compresa. tra 0 e.

Prodotto scalare

Prodotto scalare ̂, . Consideriamo due vettori liberi Indichiamo l’angolo con . Si intende per prodotto scalare tra due vettori lo scalare individuato dal prodotto del |||| ̂. ∙ = cos modulo dei due vettori e il coseno dell’angolo compreso fra essi: ∙ > 0 < se 2 ∙=0 =se 2 ∙<0 >se 2

Proprietà prodotto scalare ∙=∙ (prop commutativa) ( ) ∙ + = ∙ + ∙ (prop distributiva) ( ) () () ∙ = ∙ = ∙ (prop omogeneità) ∙ > 0 se ≠ 0, ∙ = 0 se = 0

Modulo della somma di due vettori

Modulo della somma di due vettori (modulo del risultante) 22 2| | ( )√± = + ± 2 ∙ + (ricordalo come quadrato di un binomio: )

Componente di un vettore lungo una direzione assegnata

Componente di un vettore lungo una direzione assegnata, , Considerato un vettore una direzione individuata da un versore si possono presentare due casi: ∗ In entrambi i casi consideriamo il punto che rappresenta la proiezione dell’estremo . del vettore lungo la direzione ∗ − , Il vettore è un vettore parallelo ad pertanto esiste uno scalare per il quale ∗ − = .

Lo scalare è detto componente del vettore lungo. Per definizione ∗ = | − | < se caso 2 ∗ = −| − | > se caso 2 = ∙ Dimostriamo che ) < Sia Per definizione si ha che 2 ∗ | | || |||| = − = cos = cos = ∙ ) > Sia Per definizione si ha che 2 ∗ −| | −|| cos(180 ) −|| cos(−) || |||| = − = − = = cos = cos = ∙

Componenti di vettore lungo le direzioni assegnate

Componenti di vettore lungo le direzioni assegnate e = + ∗ − ) Posso applicare la definizione (proietto il vettore sulla determinata retta e misuro oppure sfrutto la proprietà del prodotto scalare: Nota: le componenti sono scalari e possono assumere valori positivi, negativi o nulli.

Terne levogire

Terne levogire Consideriamo tre vettori (u, v, w) non complanari uscenti da uno stesso punto O.

Tre vettori non complanari costituiscono una terna levogira se ad un osservatore posto con i piedi in O e la testa rivolta nel verso positivo del terzo vettore appare antioraria la rotazione che deve compiere il primo vettore per sovrapporsi al secondo. vettore con un angolo minore di.

Prodotto vettoriale

Prodotto vettoriale , Consideriamo due vettori × Si intende per prodotto vettoriale il vettore che ha per modulo il prodotto dei moduli dei vettori per il seno dell’angolo compreso, la direzione è ortogonale al piano (, , × ) individuato dai due vettori, il verso è tale che la terna ordinata sia una terna levogira.

Valgono le seguenti proprietà:

• ||||sen ̂ × =
• × = − × (prop. anticommutativa)
• ( ) × + = × + × (prop. distributiva)
• ( )× = × = × (prop. omogeneità)

Modulo del prodotto vettoriale

Modulo del prodotto vettoriale. Il modulo del prodotto vettoriale coincide con l’area del parallelogramma che ha per lati i vettori stessi. | | ||||sen ||ℎ× = =

Operazioni fra 3 vettori

Operazioni fra 3 vettori: prodotto misto e doppio prodotto vettoriale (, , ). Consideriamo tre vettori ( ) Prodotto vettoriale → × × → × → Prodotto scalare → × ∙ → Prodotto misto.

Prodotto misto

Il prodotto misto è uno scalare che, in valore assoluto, coincide con il volume del parallelepipedo che ha per lati i tre vettori stessi. Assume segno positivo o negativo a seconda che la terna (u, v, w) sia levogira o destrogira.

+ Prodotto misto: × ∙ = − Proprietà ciclica: × ∙ = × ∙ = × ∙

Doppio prodotto vettoriale

Doppio prodotto vettoriale ( )× × . Considerato il prodotto vettoriale esso è un vettore del piano ( ) ( ) ( )× × = ∙ − ∙ ( ) ( ) ( ) × × = ∙ − ∙

Come ricordare la proprietà: Prodotti scalari elem. parentesi ed elem. esterno (prima gli estremi e poi i medi); segno meno; terzo vettore × =

Risoluzione di un’equazione vettoriale

Risoluzione di un’equazione vettoriale: (1), , . Assegnati i vettori determinare il vettore.

Condizione di compatibilità e formula risolutiva equaz. vettoriale ∙ = 0 1) ∙ = 0 2) , ) (infatti per definizione di prodotto vett. è ortogonale al piano di e ∙ = 0, È possibile dimostrare che se e solo se esistono infiniti vettori soluzioni della 1 = × + ∀ (1) e sono dati da: 2

Base ortonormale

Base ortonormale { } = , , Base: Una base è detta ortonormale se tutti gli elementi della base hanno modulo unitario. Inoltre essi sono a due a due ortogonali tra di loro. ∙ = 1 = 1,2,3 ∙ = 0

Terna cartesiana

Terna cartesiana. Si definisce terna cartesiana una terna alla quale è associata una base ortonormale. Noi considereremo sempre una terna cartesiana levogira. × = × = × =

Operazione fra vettori in componenti cartesiane

Operazione fra vettori in componenti cartesiane. In componenti cartesiane, il prodotto scalare è il numero individuato dalla somma dei prodotti delle omologhe componenti dei due vettori costituenti il prodotto scalare. ( ) ( ) = , , = , , ∙ = + +

Consideriamo una base ortonormale. Il prodotto vettoriale fra due vettori è quel vettore le cui componenti possono essere determinate formalmente attraverso lo sviluppo del seguente determinante: 1 2 3 | | × =

Il prodotto misto è lo scalare individuato formalmente dallo sviluppo del seguente determinante: | | × ∙ =

Nota bene: da questa regola si evidenzia che se due vettori sono paralleli il prodotto misto è nullo.

Legge di variazione delle componenti di una base

Legge di variazione delle componenti di una base ′ ′′{ } { } = , = , Siano e due basi ortonormali. ′ (cos ) (sin ) = + ′ (− ) (cos ) = sin + cos sin = ( )− sin cos

Trasformazione inversa ′ ′′ , Consideriamo la base e scriviamo gli elementi in funzione degli elementi della .base ′ ′(cos ) = + (− sin ) ′ ′ = (sin ) + (cos ) cos − sin ( ) = = sin cos

Ci accorgiamo che la matrice inversa coincide con la matrice trasposta. Pertanto la matrice A è una matrice ortonormale.

La legge di variazione delle componenti di una base lungo un’altra base è la seguente: 131 12 ′ 1 = = ′31 2 ∑ { = ( ) = → Convenzione di Einstein → 2 2 2 ′ = 31 2 3 3 3

Convenzione di Einstein sull’indice ripetuto

Convenzione di Einstein sull’indice ripetuto. Quando in un’espressione compare un indice ripetuto due volte (uno in alto e uno in basso) per quell’indice si può sottintendere il segno della sommatoria.

La matrice è una matrice ortonormale per cui gode delle sei proprietà di ortonormalità, ovvero: 1) le sue righe sono a due a due ortogonali fra di loro (tre equazioni); 2) ogni riga ha modulo unitario (tre equazioni).

13 3 131 1 12 2 1 122 2 2( ) ( ) ( ) + + = 0 + + = 11 2 2 2 113 3 31 1 12 2 1 22 2 2( ) ( ) ( ){ {1) 2) + + = 0 + + = 11 3 3 3 2 2 23 3 31 1 2 2 1 22 2 2( ) ( ) ( ) + + = 0 + + = 12 3 2 3 2 3 3 3 3

Nota bene: essendo la matrice ortonormale, i nove elementi componenti tale matrice devono soddisfare le sei equazioni di ortonormalità. Pertanto saranno liberi solo tre parametri dei nove componenti la matrice.

Legge di variazione delle componenti al variare del riferimento cartesiano

Legge di variazione delle componenti al variare del riferimento cartesiano 1 2 3 − = = + + 1 2 3 ′ − = = + + ′ ′ ′ ′ P ′ ′ ′′ 1 2 3 − = = + + ′ = + → Grassmann → ′ ′( ) ( ) − = − + − → ′ = + →′ = + →′ ( ) ( ) ( )= + () (2)′

Legge di variazione delle componenti del vettore posizione al variare delle terne cartesiane. Tale legge è non omogenea ed è retta dalla matrice trasposta della legge di ′ . ) variazione delle basi. (la matrice di variazione permette di ricavare da Ora ci serve.

Osservazioni: ( ) 1) la non omogeneità è data dal termine ′ 2) la matrice è quella trasposta 3) tutto dipende dalla variabile.

Nel caso di uno spostamento rigido, una delle terne sarà scelta come terna solidale al corpo. Pertanto, si avrà modo di capire che il corpo si muove insieme con la sua terna solidale cosicché la posizione dei punti del corpo rispetto a tale terna sarà fissa, ovvero costante, durante tutto lo spostamento. In questo caso, quindi, se ad esempio fissiamo la ′ terna cartesiana con origine in quale terna solidale, la posizione del punto rispetto a tale terna sarà costante durante tutto lo spostamento. In questo caso il vettore ′ rappresenterà una etichetta che l’osservatore associa a tale punto cosicché il vettore rimarrà costante durante tutto il moto e quindi non dipenderà dalla variabile e avremo modo, quindi, di scrivere l’equazione finita dei moti rigidi (2) che sarà il cardine di tutta la cinematica, della fisica matematica e oltre.

Teoria dei vettori applicati

Vettori applicati

Vettori applicati , . Consideriamo un vettore libero e un punto (, ) Si definisce vettore applicato l’ente analitico individuato da un punto fissato e dal. vettore libero è detto punto di applicazione mentre la retta sulla quale giace il vettore è detta retta di applicazione.

Vettore levogiro rispetto ad un osservatore

Vettore levogiro rispetto ad un osservatore (, ) . Consideriamo il vettore applicato e la retta di applicazione di Il vettore applicato (, ) si definisce levogiro se ad un osservatore posto sulla retta con la testa rivolta nel verso positivo di tale retta, appare antioraria la rotazione che deve compiere il piano individuato dal versore e dal punto A allo scorrere del punto di applicazione sulla retta di applicazione nel verso indicato dal vettore.

(, ) (, ( − ), ) In particolare il vettore è levogiro se la terna è una terna levogira.

Per capire: .Ti trovi in Osservi il vettore. Se punta verso sinistra è levogiro vP altrimenti è destrogiro. T

Momento polare di un vettore applicato

Momento polare di un vettore applicato (, ) . Consideriamo il vettore applicato ed un punto arbitrario Si intende per momento polare di un vettore applicato, il vettore libero individuato dal = × ( − ). prodotto vettoriale (, ( − )) Il momento polare è un vettore ortogonale al piano | | = − sen Ha modulo uguale a: (, ( ), )−