Appunti esame orale Matematica per l'economia

Teoremi delle funzioni monotone

1 Teorema

Ipotesi: Se f (x) è derivabile in un punto (quindi possiamo definire quando la funzione cresce o decresce) x 0, la derivata prima del punto sarà > o < di 0.

Tesi: Se la derivata prima in quel punto è > o < la funzione in quel punto sarà strettamente crescente/decresc.

Dimostrazione

Se la f (x ) > 0 x0 0 è allora la funzione è strettamente crescente nel punto.

Se la f (x ) < 0 x0 0 è allora la funzione è strettamente decrescente nel punto.

2 Teorema

Ipotesi: Se la funzione f (x) è derivabile in x0 ed è strettamente crescente/decrescente in quel punto ≥ ≤.

Tesi: La sua derivata prima nel punto sarà o di zero.

Dimostrazione

Se f (x) x f (x ) 00 0 è strettamente crescente nel punto allora ≥.

Se f (x) x f (x ) 00 0 è strettamente decrescente nel punto allora ≤.

Per dimostrare il 2 Teorema quindi neghiamo la tesi e poniamo f (x ) < 00.

Se f (x ) < 0 f (x) x0 0 allora è strettamente decrescente nel punto (1 Teorema).

Ciò è assurdo perché per l’ipotesi f (x) è strettamente crescente.

L’assurdo nasce dall’aver supposto falsa la tesi (f (x ) < 0);0 di conseguenza, la tesi deve essere vera, come volevasi dimostrare.

3 Teorema

Il terzo teorema è generalizzato perché non avviene in un punto definito ma in tutto il dominio. x0 ⊆

Ipotesi: La funzione f (x) è derivabile in tutti i punti di un insieme A R. ∀x ∈

La derivata è > o < per ogni elemento dell’insieme A.

Tesi: La funzione f (x) è strettamente crescente/decrescente in tutto l’insieme A.

Dimostrazione

Se f (x) > 0 A f (x) A è strettamente crescente in ∀x ∈ →.

Se f (x) < 0 A f (x) A è strettamente decrescente in ∀x ∈ →.

Punti di max e min relativi

Si dicono relativi perché non si tiene conto di tutto il dominio ma solo dell’intorno di quel punto x 0.

Una funzione può ammettere più punti di minimo e più punti di massimo relativo.

Punto di massimo relativo

y f (x )0 è ascissa di un punto di massimo relativo x 0 ∃.

I ∀x ∈ ̸se : I x = xx x 00 0 il valore che assume è f (x) < f (x )0 xx 0.

Se esiste un intorno del punto con zero, tale che, per ogni appartenente all’intorno I x x I, il valore della funzione in x è minore del valore della funzione in x con zero.

Punto di minimo relativo

y è ascissa di un punto di minimo relativo x 0 ∃.

I ∀x ∈ ̸se : I x = xx x 00 0 il valore che assume è f (x) > f (x )0 f (x )0 xx 0.

Se esiste un intorno del punto con zero, tale che, per ogni appartenente all’intorno I x x I, il valore della funzione in x è maggiore del valore della funzione in x con zero.

Teorema di Fermat

Condizione necessaria ma non sufficiente affinché x0 sia l’ascissa di un punto di minimo e di massimo relativo è l’annullarsi della derivata prima in quel punto. Sia però f (x) una funzione definita in un intervallo [a, b] e sia x0 un punto interno all’intervallo.

 sia x 0  minimo o   Tesi Ipotesi ⇒ f (x ) = 0  0  massimo  relativo.

Dimostrazione

Per assurdo neghiamo la tesi ⇒ f (x ) = 0 ⇒0.

◦ Per il teor. funz. monotone, è f (x) > 0 ⇒ 1 f (x)  →strett. crescente in x ASSURDO 0.

◦ Per il teor. funz. monotone, è f (x) < 0 ⇒ 1 f (x)  →strett. decrescente in x ASSURDO 0.

f (x ) f (x )0 0x xx x0 0 la f (x) cresce sempre, sia la f (x) decresce sempre prima che dopo x0 →.

Ciò contrasta l’ipotesi: non può crescere o decrescere solo perché altrimenti non ci sarebbero punti di massimo e minimo relativo. Deve prima crescere e poi decrescere (per un massimo) o viceversa (per un minimo).

Siccome la tesi negata è un assurdo la tesi è vera proprio perché non può essere negata.

Per capire la natura del punto x 0, non basta sapere che la derivata è nulla, ma bisogna studiare il segno della derivata prima nell’intorno di quel punto.

Criterio locale puntuale

Le condizioni sufficienti sono: E TEOREMA DI FERMAT. La condizione necessaria invece è il CRITERIO LOCALE.

2 2−x −x ·f (x) = e f (x) = e (−2x)

IMPONIAMO 2−x⇔ · ≥ ⇔ −2x ≥ → ≤ ≤f (x) 0 e (−2x) 0 0 2x 0 ⇒ x 0 ⋓ ≤.

La derivata prima è positiva per x 0−+.

Nell’intorno sinistro cresce.

Nell’intorno destro decresce.

x → QUINDI 0 È UN PUNTO DI MAX ⇒ M (0; 1)0−0 1 1.

f (0) = e = = =10e 1.

Teoria: Avendo una funzione f (x), si trova la sua derivata prima f (x) per poi imporla f (x) 0. Alla fine si studia il segno della funzione per capire dove cresce e dove decresce.

Criterio puntuale

f (x ) = 00 (n) (n−1)→ → · · · → → ̸f (x ) = 0 f (x ) = 0 f (x ) = 0 f (x ) = 00 0 0 0

Teoria: Avendo la derivata prima di una funzione uguale a zero si continua per le sue derivate successive finché la derivata non risulta diversa da zero. Dopo aver trovata la derivata diversa da zero bisogna vedere se la sua derivata e di n pari o dispari.

( (n) → minimo relativo f (x ) > 0 x0 0 pari minimo o massimo relativo n ⇒ x ⇒0 (n) → massimo relativo f (x ) < 0 x0 0.

DISPARI NÉ MINIMO, NÉ MASSIMO RELATIVO n ⇒ x0.

Rapporto incrementale

• → Punto fissato x 0
• → Punto variabile x
• − → Incremento variabile indipendente x x 0

f (x)−f (x ) →0 Rapporto incrementale (rapporto tra due incrementi) x−x 0.

Quando vogliamo studiare il comportamento del rapporto incrementale in prossimità di x 0:

 →(reale e finito) derivabile in l f (x) x 0 −f (x) f (x ) derivata prima della funzione calcolata in l = f (x ) x0 0 0→lim −x xx→x 0 0  ± ∞ →o è non derivabile in f (x) x∈ 0.

Una funzione è derivabile in un punto se esiste, ed è finito, il limite del rapporto incrementale.

Derivata prima

Derivata. Quando una funzione è derivabile in ogni punto del suo dominio, definiamo la funzione Per