Appunti esame Fisica

Analisi vettoriale

Scalare e vettore

Scalare -> Numero
Vettore _A
Modulo -> Numero |A|
Direzione (pendenza della retta)
Verso (freccia)
Punto di applicazione
Sono tutti lo stesso vettore
Vettore libero
Vettore applicato in P
Sistema di riferimento

Rappresentazioni del vettore A

Rappresentazione polare di _A: _A = (A, θ)
Rappresentazione cartesiana di _A: _A = (A_x, A_y)
A = √(A_x² + A_y²)
θ = tan^-1 _{(Ay / Ax)}

Componenti scalari

{ A_x = A ⋅ cos θ
A_y = A ⋅ sin θ }

Prodotto di uno scalare per un vettore

Prodotto di uno scalare k per un vettore
A → B = k • A
k ∈ ℝ
Modulo
Direzione
dir. di B = dir. di A
Verso
k > 0 → stesso verso
k < 0 → verso opposto

Versori e somma di vettori

Versori
A = (A_x, A_y)
Versore → vettore di modulo unitario

Somma di vettori (metodo grafico)

A + B = C → C = B + A (commutativo)
|A + B| ≠ A + B
A + B = A + B (solo in questo caso)
A = A_xî + A_yĵ

Somma (metodo analitico)

C̅ = A̅ + B̅ = C_xî + C_yĵ = (A_x + B_x)î + (A_y + B_y)ĵ
C_x = A_x + B_x
C_y = A_y + B_y

Somma - notazione polare

(S, θ)
S̅ = A̅ + B̅

Teorema del coseno (T. di Carnot)

S² = A² + B² + 2AB cos θ
A_c = AH + HC = A ⋅ B cos β
S = √(A² + B² + 2AB cos θ)

Teorema dei seni

BC = S_sen α + B_sen θ
DH = A_sen α = B_sen β
S / sen α = B / sen β = A / sen γ
S / sen β = B / sen γ = A / sen α

Somma di più vettori

Unire il punto di applicazione del primo con l'estremo libero dell'ultimo
S̅ = A̅ + B̅ + C̅ + D̅

Proprietà distributiva o associativa

A̅ + B̅ + C̅ = (A̅ + B̅) + C̅ = A̅ + (B̅ + C̅)

Differenza di 2 vettori

_A - _B = _A + (-_B)
La differenza è anticommutativa
_B - _A = -(_A - _B)
Regola del parallelogramma
-_A = -_{Ax i} - _{Ay j
B} = _{Bx i} + _{By j}
-_B = -_{Bx i} - _{By j
A} - _B = (_Ax - _Bx) _i + (_Ay - _By) _j
B - _A = (_Bx - _Ax) _i + (_By - _Ay) _j

Vettori in 3D

Sistema Levogiro
OP = proiezione di A sul piano xy
OP = A sin θ
A_x = OP cos φ
A_y = OP sin φ

Notazione polare e cartesiana

Notazione Polare: A, θ, φ
Notazione Cartesiana: A = A_x î + A_y ĵ + A_z k̂
A = √(A_x² + A_y² + A_z²)
A_z = A cos θ
A_x = A sin θ cos φ
A_y = A sin θ sin φ
θ = cos^-1(A_z/A)
φ = cos^-1(A_x)