Appunti Curve e superfici per il design

Studio del segno della derivata seconda

f''(x) > 0 funzione volge verso la concavità verso l'alto (∪)

f''(x) < 0 funzione volge verso la concavità verso il basso (∩)

Punto di flesso e tangente verticale o orizzontale

Punto di flesso e tangente verticale o orizzontale ← Tangente orizzontale → ↑ Tangente verticale ↓ ↗ Tangente obliqua ↖

Insiemi numerici

Insieme ^º naturali

ℕ = { 0, 1, 2, 3, ... }

Insieme ^º interi relativi

ℤ = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Insieme ^º razionali

ℚ = { ..., -13/1, 13/1, ... }

Insieme ^º reali

ℝ = { ..., -13/1, -1, 0, 1, 13/1, ... }

L'insieme dei numeri reali può essere messo in diretta relazione con un oggetto geometrico, la retta ℝ_ℝ.

I numeri dell'insieme possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti della retta.

Dato un qualunque numero x trovo sempre uno e solo un punto sulla retta che lo rappresenta e per il numero dato un qualunque punto sulla retta uno e solo un numero reale che corrisponde e rappresenta.

Studio del segno della derivata seconda

f''(x) > 0 funzione volgerà la convessità verso l'alto.

f''(x) < 0 funzione volgerà la convessità verso il basso.

f* punto di flesso e tangente verticale o orizzontale.

A tangente orizzontale.

A tangente verticale.

A tangente obliqua.

Insiemi numerici

Insieme N^o naturali

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Insieme N^o interi relativi

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Insieme N^o razionali

Q = {..., -13/1, 1/1, ...}

Insieme N^o reali

R = {..., -13, -1, 0, 1, 13, ...}

L’insieme dei numeri reali può essere messo in diretta relazione con un aspetto geometrico, la retta ∀x ∈ R.

I numeri dell’insieme possono essere messi in corrispondenza biunivoca con punti della retta.

Dato un qualunque numero x trovo sempre e solo un punto sulla retta. Così viceversa e per numeri. Dato un qualunque punto sulla retta esiste solo un numero reale che corrisponde a quell’unico punto.

Esattamente come la retta è continua anche i numeri reali sono un insieme continuo.

Sistemi di riferimento

• 1D
• 2D
• 3D

A seconda del tipo di operazione da fare è meglio utilizzare uno piuttosto che un altro.

Sistema di riferimento cartesiano su retta

Data una retta fissa un punto O (detto origine) e un verso di percorrenza positivo è un verso di misura 1.

Fissati, data una retta, se fisso l’origine, verso di percorrenza e punto origine. Ogni punto della retta in corrispondenza l’univoca con un numero reale.

La coordinata X_A (ascissa) è la distanza con segno del punto A dall’origine O.

Se ho origine O e un punto A è a destra x_A è un lunghezza segmento con segno positivo, mentre se B è a sinistra di O, x_B sarà una lunghezza con segno negativo.

Distanza tra due punti

Dati due punti qualsiasi A, B, sulla retta rispettiva di ascissa x_A, x_B, la distanza tra due punti A e B è definita da:

|AB| = | x_B - x_A | = | x_A - x_B | = d

Modulo = operazione che dato n qualsiasi ne può positivo o negativo restituisce lo stesso numero con segno positivo.

Distanza con segno

Dati A e B sulla retta con X_A e X_B coordinate, la distanza con segno da A a B è X_B – x_A.

Punto medio

Dati due punti A e B sulla retta di ascissa x_A e x_B definisco il punto medio tra A e B il punto M tale che la distanza x_A = |MB|.

L'ascissa di M si può calcolare come la media tra le ascisse di A e B.

2D) Sistema di riferimento cartesiano nel piano

(coordinate cartesiane)

Definiamo un sistema di questo tipo e lo denotiamo con Oxy, attraverso due rette orientate con assi cartesiani e perpendicolari tra loro (frecce nel quadrato) e che si intersecano nel punto detto origine. I multipli consideriamo unità di misura l.

Asse x = ascisse

Asse y = ordinate

Un punto P del piano è univocamente identificato da una coppia di n. reali x_p (ascissa di P) e y_p (ordinata di P): il punto è ottenibile con seguito di P rispettivamente dagli assi x e y.

L'ascissa di P è la distanza di P ha dalla asse y, l'ordinata è la distanza che P ha da x.

Distanza di un punto di una retta

Distanza di un punto di una retta - La distanza di un punto P da una retta r è la minima distanza o si considera che P è il punto di r.

Quadranti del piano

Il piano è diviso in quattro quadranti:

• I: x > 0, y > 0
• II: x < 0, y > 0
• III: x < 0, y < 0
• IV: