Appunti esame Controlli automatici

Note: trasformate di Laplace

DAn!d(t.eat) ReS, Readove neINo, K, SEK, ae· = IS-aghty, cleat]=Ia ReaResdove· U(+) a((uct) I Trasformata di Laplace del gradino unitario· = I0+a-6(t) unitaria rampa Trasformata della di capace· = I0+x~I() unitaria5 parabola Trasformata di Laplace della r· - I= 0((sin(w+) w· = S W2+d(cOS(WT]= S· 52 W2+

Teorema derivata

1) Trasformata della derivata della funzione differenziabile la f(t): trasformabile secondo to e per place ((f(t)](F(s)#(s): di f(t) di Laplace trasformata = funzione f(t): trasformabile secondo la place ↓(f(t)) s.F(s) f(0)-=

2) Superiore di ordine al della trasformata primo derivata della Teorema f(t): traformabile differenziabile i funzione secondo tc,0 volte per e successive derivate secondo trasformabili da place a place con f(t)F(S): di trasformata di Laplace i 1-<(a?:f(t)) F(s)-[s.di-5-2Isi. f(0)= d+i 1505 --=

Teorema dell'integrale

3) Trasformata della f(t): integrabile funzione trasformabile secondo to la place per eECS): f(t) trasformata di di Laplace funzione ↓ trasformabile secondo f(c) Laplace d= : d(f(t)dt) F(s)5=

4) Del finale valore Teorema ((f(t) funzione f(t): F(S) trasformabile differenziabile Laplace, secondo e =f(t) di f(t) e positive ascisse convergenta presentano non f(t) liM finito esiste +- + fiM1 S.F(S)f(t) eiM,.=+

Teorema della traslazione nel tempo

5) [f(t)7f(t): da place, trasformabile secondo FCS) 2=to 0> Sto.(f(t -to)) F(S).e- =

Teorema della convoluzione

6) Integrale trasformata prodotto della da place di del Teorema convoluzionel funzioni considero efz(t)fact) due ↳(f(t).f(t 5)dt] Fz(S)Fa(s).=- d(fz(t)]d(fq(t)); Fz(s)Fa(s) ==

Funzione antitrasformata razionale di una fratta

Funzione antitrasformata razionale di una fratta "esercizi vedi "P. 1- 56) semplici caso poli dei Sviluppo frate: di DIIN·10 FCSI somma si= P(S)F(S) == paCs-pul...(s-pn)15 - dove si così: D; detti calcolano residu; sono Kie ei 1,...,n -=PCS)(SKi i-pi). 1,..., R= =,&(S) S pi=·

L'antitrasformata FCS) e: Di1) poli Sei semplici semplici residui sono sono i- residui-2) presentano See coppie si a poli sono (pi-K) complessi i-coniugate complesse Eki- (percheePit I(F(s) seat)1) - If(t) == - S-a

Coppia di coniugati

Coppia2) di coniugati: poli 5b, pc 5b complessi Pa a a+ -== residui: con K2 Ma-5V1JVni K2Mg + == relativa: semplici somma La di fratti M1-5VaMa+k2 JUnk1 *+S= S= (aP2 5b)S -(a5b)S P1 - -- +- complessi Queste funzioni combinano due valori sola a a in una funzione reali: valori a arctan()MaMrSi 2 Va2, 4a=pone: = + 541Ma.e542, -con Ma.eK2k1che: = =2 2A* riscrivo come: questo punto a 549-esenM1-5VaMa+ JUn Ma s-Ya=+ +-(a -(a5b) 5b)S -(aS 5b)S 5b)+ 2- + - antitrasformata é: La sua ta[F(s))- sin(ba Mg.e E)4+= . ++

Caso dei poli multipli

6) Caso multipli poli dei La distinti FCS) a (i=1,...,h), poli ciascuno presenta pi con ordine il (Ri>Ri polteplicità proprio 1) di Sviluppo frate: di DIIN·10 FCSI somma Mia= P(S) KilF(s) [[= =(S-palt...(S-Palhi eCS-pal" 1pi(ki +1(s -xe -= = calcolano Residui così: dove sii de((s-pilr:. PCSIKie= 1,...,h=i· a(S)1)!( 2 1, .- = ...S Di=·

L'antitrasformata FCS) e: DiEncas! ri-e. epitfit =

Risposta al gradino del sistema elementare del primo ordine

Risposta al gradino sistema ordine elementare primo del del ↓y(t)6(s) funzione trasferimento coordine di del= gradino unitario1u(s) =I(S) MCSLG(S).= ASSOLUTOV.(0(s).5)(2(51)x2 1- IP):y(t) - Ta 3, parte31 reale= === IPI del polo I Igenerale: In tes)(5) (=22 - tsy(t) 6(s):con1- = -=

Risposta al gradino del sistema elementare del secondo ordine

Ordine risposta sistema gradino elementare del al del secondo wn16(S) == S220s1 Wn2S2 25 SWn+ + + +Wn2Un pulsazione naturale. Wr: WnO~. C coefficiente smorzamento. Da 1O <1-52 (5)1-2(i-4) dove acosa sin arctan arg(s) y== == =v -SuntI Iun-1 ·sin(wty(t) A.2=1 4)+-= S(82 20WnS +Wn2+ 52A 11 1-52 yW arctanWn. -1 === a v-

Massima sovraelongazione: differenza S: finale il il valore tra raggiunto valore e S fin de. TO-Si 1-82100 e=

Ritardo: tempo DI Tr: serve che Tempo il del raggiungere valore per 50% finale. Ts: Di tempo salita: serve tempo che 90% dal al 10% del passare per istante massima Tm: DI finale. valore sovraelongazione: DI cui istante Ta: assestamento si (al 95%): tempo in l'uscita massima tempo la presenta affinché che serve sovraelongazione rimanga finale. del valore eutro 5%=5; 5, vincolo un S. dove sourcelonfazione: nella max valore è assequato. costante IM454a

Regione ammissibile Resi π- 521 -5, tale e o costI I 100.e che tale che = = Ta Tempo di 3 assestamento: = swn Fa: NWn richiede inferiore Taa valore si certo a non un un

Risposta all'impulso

All'impulso risposta g(t)(6(s)) razionale GCs)1 vedi 3-g(t) Se fratta pag.-= pert 0-

Modi relativi ai poli semplici

• Mod relativi 5 tendono a poli semplici se O coa~· limitati 8 restano 0 se ·St St =(wt so divergono K, sin seke, a)e ·+8: poli dei coniugati complessi parte reale immaginaria parte W: bert a-

Modi relativi multipli

• Modi relativi multipu A Uc0POli 0 tendono se a~· U U,0 divergono se 0 o·kte, =kter.sin(wtkt2, 4)+ molteplicità essendo r1I la tra compreso e r,

Funzione di trasferimento di sistemi

Funzione di trasferimento di sistemi DiGa(s)de(s)X(s) in cascata G2(s) E(S)· -> -> ->bo(s)G(s) 6a(s). Gz(s)= Retroazione-X

Retroazione unitaria

Retroazione in unitaria 6(s) HCS)R(S) -((s). 1-- =min. ↓I ↑ 6(S)60(S) =6(S)6.(S) G(s)1 += 3G(S)H(s) GoCS)1 I rispetto #[1 perturbatton;

Stabilità

Stabilità A dinamica la di dice: risposta X(t) soggetto si ingresso a sistema un un /y(t))= Limitata: MyMy tale ttr, esiste Se una costante che to· Asintoticmente· convergente zero: A Se /yct))=) Mymy tale esiste una ↓t>costante che toeim y(t)o) 0=t 8-Diversente: maggiori tutti nessuna My esiste non one /yct)/Se per· it to

Teorema: dinamico, lineare stazionario stabile sistema la un se è e funzione di positiva presenta reale parte trasferimento non poli a e eventuali a reale parte poli nulla sono semplici. gei se tutti asintoticamente stabile sistema hanno poli è un reale se parte negativa. guadagno di Hol valutando HCS): statico 10 ottengo

Criterio di Routh

Criterio di Routh Nota: studiare a(s) apertT: modo da· Sistema ad le0AneUO pongo in= radici 3I caratteristiche Q ER.HCS)0(S) --- sistemi due dei (6(s) I aperto ad H(s) quello b 6(s).= = chiuso

Sistema chiuso: GCS)H(s)~ AD Aneno 1 0pongo =+m 2-= 6(s) -↓- ↑His)(60(s) 6(s) I2= = f(S)HCS)1 + coefficienti dell'equazione Prima tutti2) applicare odi devo controllare one i 6(s)Gene (caratteristi, inso:enie? Gosh=ns: namerivedere f(S)HCS)1 +

Routh di creo tabella e a2) ans"+an-as"... caratteristica: 0dEa. =+ det Anan anap-zR an-4 -> =-2 (Ar An-1)an An-3)-(An-z.an-3-1an Dr5ann 1 a 2- 3- - -- = an-Abr-3Dr->n 2 An-4an- an an-1 5-Dr3n Cn-3 3- - -= an-A· an An-3-1 Dn-3Cn-3 br-2-=

Osservo prima colonna: la br-2 il Affinché di variazione ogni corrisponde segno sistema A. positiva reale radice devo stabile parte una sia a sola avere->radice A ogni permanenza corrisponde permanenze una. negativa.p.r.a

Casi singolari

Casi singolari: o1) riga primo termine Il é della possibili 2 risoluzioni:

Metodo E1) un 0 positivo piccolo). Allo (che aggiungo termine a un é 9, è riga dividere B: necessario successiva basta la N. per tenere non del suo seguo. conto53 35-2ES: 0=+ 3I3 SP -2E02 +aP1 39+d. Stabilit1 positiva Radice NO p.r.d E -2=- 2 3E ⑳+ 2((- 2)(2 32) 624 2=- +- - - -==

2Di metodo pincibonobenedire2) zeri die viene consumata iniziala con numero riga un che (-2) moltiplicando trastando riga di sx ottenuta verso per la ee posizioni. S 35 02ES: - =+ moplico. site trasto sx apur2" 20 normalmente procedo ora P 2 -22 idnI%- Stabilit1 positiva Radice2 NO p.r.

2) Una termini nulli riga Tuti di sono i Prima terirale della riga al solo solito la regola come con· positiva variazione p.r.- negativa permanenza p.r.- costruita: ausiciaria, l'equazione considero così· Siano della geibem-z, riga bo elementi bem, precedente..., di soli quella zeri. a 2M-2bem.sé: l'equazione ausiliaria bem-2.S bo 0+... =+ + alternative: possibili ore 2no

Risolvo ausiliaria l'equazione 2) l'equazione.=Pongo risolvo zs e a) reale radice in Equazione negativa z; immaginarie radici in due Equazione s. Equazione positiva reale radice in z; b) in Equazione radici reali simmetriche due S: rispetto all'origine c) in Equazione di z; radici coniugate coppia complesse in Equazione coniugate s: radici complesse due coppie di all'origine simmetriche rispetto

2) L'equazione derivo ausiliaria proseguo a tabella e con delle ausiliaria riga Nella derivate aridi la solo metto proseguo tabella. le e dell'equazione ausiliaria variazioni radici segno di· e positiva reale a parte negativa Permanenze radici nulla o a p.r.· negativa Quindi: radici tante radici quante a p.r.-> positiva. a p.r. è Se scoppiata: radice nulla. resta p.r. una a

Determinazione del campo di k

Criterio Routh del instabilità di determinazione di campo e k1G(S) Esempio: = 115254 65653 2+++ +8õë>éëkOCS)60(s) = k6(S)1 + caratteristica: kG(S) 01Ea. + = k1+ 0=50 65 1152 65 2++ ++65350 1152 2 065 k+ + +++ =4 Idi 14

Routh: Tabella 2k +S63 10 2k2 +48I 6k +-(k 2)(28 6k)0 -+ impongo Per stabilità delle avere permanenze: 18 Ek E20 82k <+ -->->6K> 8-

Errori a regime

Errori a regime A OCS) direte di tray, della catena f.=(S)E(S)R(S) t -G(S)> IA 1((S)R(S) RCS)E(S)- =-= .6(S)1 +↓ Se determinare chiede di l'estreno dell'intervallo regime: errori lim E(s) Errore degli ingeriore a s. stabilità: S compatibili O regime la- cona ckcy preso vax y nell'origine0: sistema tipo di polo nessun a nell'