Appunti esame Analisi matematica 1 - Parte 2 (12 crediti)

x x ⋅ x ⋅ (x), (x)x⟶0 x ⋅ (x) x

Possiamo quindi affermare per le proprietà della Parte Principale che sin²(2⋅tan ) = 4tan² tan² e è un infinitesimo per e tan² > 4tan²

Le derivate YouTube e significato geometrico pag 383

( ⊂ ℝ) ⟶ ℝ x₀ ∈ ,Data : e sia se esiste’(x₀)la derivata = L esiste inoltre una forma equivalente utile per semplificare eventuali calcoli è:

Derivata sinistra e derivata destra

La derivata può essere anche una oppure derivata sinistra di f nel punto a derivata destra di f nel punto b.

Se esistono e sono finiti allora si dicono e se consideriamo invece x come un punto interno ad [a,b]:0 ⟶ ’(x₀) ’ = ’

Sia : [a,b] sia x₀ ]a,b[, una condizione necessaria e sufficiente affinché esista è che (x₀) (x₀)ℝ ∈’ ≠ ’ ’+ -.

Nel caso (x₀) (x₀) allora siamo in presenza di un punto angoloso, pertanto non è possibile calcolare la (x₀),+ - non è possibile calcolare la possiamo anche affermare che in presenza di cuspide e flesso a tangente verticale derivata.

La velocità Leibniz pag 381

P t T = sup t,P tImmaginiamo una retta orientata e un punto che si muove sulla retta in un tempo [0,T] dove indichiamo ora la posizione del punto nella retta nell’istante tramite s(t).

Si dice velocità media: v t₀m t - t₀ P = s(t)= s(t) - s(t₀)________ T = sup{t}0 t t₀, velocità istantanea.

Dobbiamo calcolare la del punto, pertanto deve essere il più possibile uguale a altrimenti finiremmo per calcolare la velocità media, impostiamo allora il limite:lim t - t₀t ⟶ t₀ = s(t) - s(t₀)________ definizione di derivata.

Possiamo notare come la sia uguale a questo rapporto, pertanto esistono applicazioni reali del concetto.

La tangente Newton pag 382

(x)(x)) h, (x +h))Dato il grafico a lato immaginiamo come se 2 secanti incontrino la in 2 punti distinti, uno è il punto (x₀, mentre il secondo (x₀ + poiché c’è un distacco.

Troviamo ora l’equazione della retta:h più si avvicina a 0 più la posizione delle rette secanti si avvicina alla retta tangente, Notiamo ora che anche un questo caso abbiamo bisogno del limite per poter definire questo valore: pertanto possiamo vedere come sia possibile ottenere l’equazione di una retta tangente con le derivate.

Derivate note Youmath pag 387

∀xD c = 0 ℝ∈∀xD x = 1 ℝ∈ ∀xD sin x = cos x ℝ∈∀xD cos x = - sin x ℝ∈∀xD xⁿ = n x^n-1 ℝ⋅ ∈⋅D aˣ = aˣ ln a Questa è una generica funzione esponenzialeˣ ˣD = 1____D log x =a x ln (a) D cot (x) = - 1 D arcos x = - 1D tan (x) = 1 D arcsin x = 1 ____________ _____ _______cos² x sin² x √(1-x²)√(1-x²)D arccot = - 1D arctan = 1 D cosh x = sinh xD sinh x = cosh x__________ 1+x²1+x²D |x| = x__ D segno(x) = 0|x|

Teorema uguaglianza derivate pag 389

(x) (x), x₀ , : ] x₀- , x₀+ [ ⊂(x) (x).Date 2 funzioni e dato un punto interno all’intersezione dei domini di e allora dato(x) (x), ∀x ∈ ] x₀- , x₀+ [ ’(x) ’(x)nell’intersezione dei domini di e.

Perciò se = allora = pertanto se una delle 2 non esiste anche l’altra non esiste.

Teorema continuità e derivabilità YouTube pag 389

(x) x₀ x₀Se una funzione è derivabile in allora nel punto essa è continua.

Introduzione alla funzione Segno (x)

Una funzione che fa da scalino tra -1 e 1 nell’origine e si prolunga in tutto R(x) (x₀ + h)Consideriamo che = per definizione di derivata:h ⟶ 0.

Facciamo ora il limite (x₀)Siccome nel caso del limite della h non essendo presente è inutile e possiamo toglierlo mentre nella parte restante0posso spezzare il limite: c(x) (x)ma se una è continua in un punto non è detto che è derivabile in un punto è continua in quel punto, Se una sia derivabile C.

Punto angoloso pag 391

Da adesso indica la continuità : (D ⊂ ℝ) ⟶ ℝ, x₀ ∈ D dove è C, esistono derivata dx e derivata sx diverse tra loro.

Sia dato un punto ed ma sono punto angoloso per allora si dice.

Semitangente sx e dx

: (D ⊂ ℝ) ⟶ ℝ, x₀ ’₋(x₀) ’₊(x₀),Sia con punto angoloso, calcolate e la semiretta di equazione:’₋(x₀)(x - x₀) (x₀) x ≤ x₀y = +.

Semitangente sx: ’₊(x₀)(x - x₀) (x₀) x ≥ x₀y = +.

Semitangente dx: non rispetta i canoni.

Trovando 2 semitangenti diverse possiamo dimostrare l’esistenza di un punto angoloso il quale di derivabilità.

Operazioni con le derivate

Somma tra derivate pag 393

[, , allora:Date e siano esse 2 funzioni definite in (a,b) e derivabili nei punti x ]a,b∈’(x) ’(x)F’(x) = +.

Prodotto tra costante e derivata pag 393

x x:Data definita in (a,b), derivabile nel punto ]a,b[ e sia c un numero reale, allora F = c⋅ è derivabile in∈ F’(x) = c⋅’(x).

Prodotti di derivate pag 394

[, , x allora:Date e siano esse 2 funzioni definite in (a,b) e derivabili nei punti ]a,b∈’(x)⋅(x) (x)⋅’(x)F’(x) = +.

Divisioni derivate pag 394

[ (x) , e con ≠ 0,allora:Date e siano esse 2 funzioni definite in (a,b) e derivabili nei punti x ]a,b∈’(x)(x) (x)’(x)F’(x) = -________________((x))²

Dimostrazione* f(xxa) y3(x)f(xF(x I2) f(x) 2)f(x) 4) f(x)g(x+ ++ - -- =-& grath) 2)g(x)g(x& gexy +grafia f(x)(g(x g)f(x) 2) -grige +- -g=

Derivate composte pag 396

(x) (x) x₀ t₀ = (x₀)Data una funzione e definita in un intervallo (a,b) e sia definita nell’intervallo (ɑ,β) dove il dominio di è x₀:contenuto in (ɑ,β), se è derivabile nel punto interno ad (a,b) con derivabile in la funzione composta ɸ = o è composta e derivabile in ɸ’(x₀) = ’((x₀))⋅’(x₀)

Dimostrazione-g(f(a))g(f(x)) g(g(f(x)= alt= -g(d)conside == =X Ta- (ap)aff) definito a) toè *ein ,HoltetoSe allora a=o fixeeMoltiplichiamo sostituiamofoto e conper (f(x)))(g)(40)g(f(x) f(xa))g(f(x0)) (f(x)= a- +-sto)Perciò valecheessendo dinatore per=aa per au :ogni,f(x) f(x)= : +(d)(g(a)f(x) a(f(x)))(40)P(x) facciamo- linteil- per ra+=4 Ya- A 40-f(x)-f(x) a(f(x))) (f(40))Gg(a) fu0)In + = .g ·40A4 = 40-

Derivata della funzione inversa pag 399

x (y) y₀x₀ (y₀), y₀ ’(y₀) ≠ 0 y = ^-1(x)Data una = dove è continua e S.M.C. [S.M.D.] nell’intervallo (a,b), sia perciò un un punto interno di (a,b) talex₀ x₀:che = se è derivabile in ed è allora esiste anche la funzione inversa che esiste ed è definita e continua in un intervallo (c,d) a cui è interno e derivabile in^-1(x₀) ’(y₀)D = 1______

Derivate note pag 400

D arcsin x = 1 per -1<x<1___________ D arccos x = -1_______________ ____√1-x² √1-x²D arctan x = 1________ D settsinh x = 1 D settcosh x = 1_____________________ __________1 + x² √x² - 1√1+x² ⟶D √x = 1______ D log x = 1 D ln x = 1per x > 0 invece se a =_____ ___a2 √x xx ln a

Derivata in senso generalizzato pag 405

ℝ) ⟶ ℝ , x₀ ⊂ :Data una : ( considerato un⊂ (x) (x₀) ∞x x₀lim - = ±__________-

Possiamo ora definire anche il punto di cuspide, perciò dove la funzione non è derivabile, quando una funzione ha limite destro e sinistro diversi, facendo coincidere le semitangenti con l’asse delle Y ∞Notiamo come il limite sinistro di 0 sia -∞mentre quello destro sia +.

Derivata seconda e successive pag 412

’’(x)La derivata seconda o successive si indicano sempre con la ‘, ma vengono messe tante virgole tante quante è la derivata che stiamo calcolando, perciò la derivata seconda sarà e così via.’’ (x)

Tasso di variazione istantaneo di una funzione.

Misurando il (’) e facendo a sua volta il tasso di variazione istantaneo otteniamo la che ci permette di calcolare la concavità o la convessità di una’(x) ’’(x)D =.

Ogni derivata è continua.

Derivate note pag 416

Massimi e minimi relativi assoluti Youmath pag 418

I massimi e minimi relativi e assoluti di una funzione sono i punti in cui la funzione è massima o minima, che una funzione ha localmente o globalmente. grande per tutta la funzione.

Un massimo assoluto è quando una funzione assume il valore più nelle ordinate piccolo per tutta la funzione.

Un minimo assoluto è quando una funzione assume il valore più nelle ordinate grande per un intervallo.

Un massimo relativo è quando una funzione assume il valore più nelle ordinate piccolo per un intervallo.

Un minimo relativo è quando una funzione assume il valore più nelle ordinate.

Teorema di Fermat YouTube pag 419

⟶ x₀(x) x₀Data una : ( sia pertanto un un punto di estremo relativo (max e/o min) considerato inoltre che laℝ) ℝ,⊂ ’(x₀)sia derivabile in allora: = 0

Ricapitolando:

• (x) (x) deve essere definita e continua in un intervallo [a,b], nel dominio di il quale deve essere contenuto.
• (x) x₀ discontinuità non possono stare all’interno dell’intervallo.
• Inoltre eventuali scelto [a,b].
• (x₀) x₀ i massimi e minimi non possono essere uguali a a e/o b ha un max e/o min per (a,b) pertanto∈ deve essere derivabile, ciò implica che non può essere un punto angoloso, cuspide o flesso tangente verticale YouTube.

x₀ punto di massimo locale,Sia (a,b) un allora:∈(x) (x₀) (x) (x₀) ∀x ∈ (x₀, x₀ + )x - x₀x - x₀-__________ ≤ 0 poiché - ≤ 0 > 0∧(x) (x₀) (x) (x₀) ∀x ∈ (x₀ - , x₀)x - x₀x - x₀-__________ poiché - ≤ 0 < 0≥ 0 ∧

Calcoliamo ora i limiti destri e sinistri:’₊(x₀) (x) (x₀)x - x₀= lim -__________x ⟶ x₀⁺ ≤ 0’₋(x₀) (x) (x₀)x - x₀= lim -__________x ⟶ x₀⁻ ≥ 0 ’₊(x₀) ’₋(x₀)’₊(x₀) ’₋(x₀)

Osserviamo ora il limite destro e sinistro, ricordandoci che il punto deve essere derivabile perciò = possiamo trovare che l’unica soluzione che soddisfa questa proprietà è che = = 0.

Teorema di Rolle pag 426

(a) (b)Se la funzione è continua in [a,b] e derivabile nell’intervallo aperto ]a,b[ ed = allora esiste almeno un punto’(c) = 0 (x)Poiché [a,b] è compatto, ovvero esistono infiniti punti compresi in [a,b], e siamo in presenza di una continua allora possiamo applicare il teorema di Weierstrass.

Affermato che esiste un Massimo (M) e un minimo (m) calcoliamo i casi:mMm (x (a) (b) (x M

• In cui il punto di massimo (x ) e il punto di minimo (x ) siano entrambi agli estremi dell’intervallo:m MM m= ) = = = ) = però se e sono uguali allora la funzione è costante, ergo la derivata è nulla pertanto dimostriamo il teoremaM m ’(xcompreso,
• Se invece uno dei 2 punti non si trova agli estremi dell’intervallo deve essere per forza ma applicandoM/mM m c,teorema di Fermat il che dice un punto di o derivato = 0 possiamo affermare che ) = 0, possiamo