Appunti esame Analisi matematica 1 - Parte 1 (12 crediti)

Equazioni non algebriche e valori assoluti

Equazioni non algebriche e valori assoluti pag 211 da pag 214 a 233 ci sono esercizi.

Distanza e dintorni

Pag 235. Poiché dobbiamo considerare che la distanza è sempre positiva, ricordiamo anche la funzione valore assoluto che in questo caso viene sempre applicata implicitamente alla distanza: norma spazio normato, viene anche chiamata se ci troviamo in uno la quale specifica chiaramente che dato un vettore in uno spazio vettoriale, la sua norma è la distanza, sempre positiva tranne per il vettore con distanza 0 pertanto:

Disuguaglianza triangolare

Intorno

YouMath pag 238. Dato un punto x₀, si dice intorno circolare di centro e raggio > o l'insieme: ℝⁿ ∈. L’intorno è un intervallo aperto circolare, incentrato su un numero reale, il cui raggio è e viene definito come raggio d’intorno. N.B. quando si parla di intorno dobbiamo sempre considerare che è un raggio, pertanto dobbiamo sempre prendere in considerazione il suo diametro ovvero esistono anche gli intorni Sinistri e Destri:

Punti di accumulazione

Pag 238. Punto di accumulazione viene definito come per A: prendendo un punto x con raggio r, nella circonferenza ci saranno infiniti punti. L’insieme derivato Da di un insieme A è l’insieme dei punti di accumulazione di A, si indica con.

Punto interno

x₀ possiamo definire come: x₀. Abbiamo scritto che un punto interno è tale se e solo se esiste una > 0 e che l’intorno sia completamente compreso in A. L’insieme chiuso viene definito come DC ⊆. L’insieme aperto se ogni suo punto è un punto interno è tale.

Punti isolati e punti di frontiera

Pag 241. Indica un insieme mentre un intorno isolato. Un punto a si dice per se non è di accumulazione per ℝⁿ I ⊆ oppure punto di frontiera dato a il punto a è un per se ogni suo intorno appartiene ad almeno un punto di ℝⁿ, ℝⁿ I ⊆ ∈ e un punto per il complementare di punti di frontiera frontiera F. L’insieme dei di forma la di denominata appunto ‘punti complementari’ sono tutti i punti di un insieme i quali sono diversi dal punto scelto si indicano con: ‘ → ≠ ⊆ ∧ ≠ pag 243.

Chiusura e interno di un insieme

Chiusura. La di un insieme viene definita come F = viene considerato come un insieme chiuso ∪ ° ° L’interno di invece viene definito come ovvero l’insieme dei suoi punti interni, viene considerato come un insieme aperto ∈ , ∈ U aperto. Dato un insieme A con per ogni di A è aperto kk ∩ Riprendendo sempre A = 1,2, … con le stesse condizioni A è aperto, in questo caso sono infiniti insiemi aperti k) ∩ U e indicano rispettivamente l’unione e intersezione con infiniti insiemi (possono essere delimitati da un ∈ x₀ ∈ , , dato un x₀, ovvero una x casuale, che appartiene all’unione di insiemi e esiste uno o più perciò ogni x₀ aperto casuale appartiene ad allora x₀ appartiene ad A ma A essendo mi permette di presupporre che esiste un la frontiera tale che di x₀ sia un sottoinsieme di A poiché sappiamo che una x₀ A appartiene anche alle sue unioni posso dire che esistono x₀ appartenenti ad A e alle loro unioni con insiemi k dato un x₀ appartenente a intersezioni con A al variare di allora x₀ appartiene ad A pertanto x₀ è interno ad ogni A.

Esiste tale che l’intorno B(x₀,) sia sottoinsieme di A, poiché io devo considerare solo gli intorni presenti nella * = min {, = 1,2,.. k} intersezione e mi basta un solo valore posso considerare il raggio minimo che l’intorno deve avere intorno a x₀, pertanto posso dire poiché io so con certezza che l’intorno con minimo è contenuto nell’intorno che a sua volta è contenuto in A posso affermare che x₀ è interno di A.

Insiemi limitato e compatto

Pag 247 Youmath ∃ > 0 ≺=≻ ⊂ B (0, ). Limitato Un insieme si dice se compatto. Pertanto un insieme è da considerarsi se è chiuso e limitato. Assioma della completezza Essenziale per capire la dimostrazione degli insiemi compatti, non affrontato a lezione.

Assioma di continuità

Viene anche detto indica che nell’insieme non ci siano buchi, ovvero che i numeri continuino a ℝ crescere con continuità, è l’unica proprietà che differenzia i numeri ℚ (razionali) da ℝ.

Limiti e intorni

Pag 248. Con si intendono numeri reali positivi, invece con x₀ e vengono intesi numeri reali qualsiasi.

Definizione di limite

Pag 249 ⟶ (x) Data una funzione di D sottoinsieme di che compare in e appartiene all’insieme dei punti di accumulazione di ℝ ℝ limite A, viene definito come per x di è, | | quindi I e J sono intorni, dato un ε come raggio di J e come raggio di I, dove ε > 0 tale che |(x) - ≤ ε se |x - ≤ con x D ∈. Quando facciamo il limite stiamo cercando di restringere il quadrato giallo il più possibile, pertanto di far arrivare ε e il più possibile (x) vicino a zero, ottenendo così da un’ora dove ≠ x e ≠

Proprietà dei limiti

⟶(x) Fissiamo un intorno B(, ε) = J possiamo affermare che esiste un intorno di tale che x B() D dove x ≠ ∈ ∩ J () ∈ ), Dato B(, ε) = J e B(, = I possiamo dire che x I pertanto che rappresenta la ∈ distanza tra x e possiamo ora affermare che) +∞ M ovvero un numero molto grande. Poniamo ora = e pertanto ε = allora:

Condizioni necessarie di esistenza di un limite

(x) ± ∞, (x) Data una essa deve essere limitata, dato poi un reale o uguale soddisfatte queste condizioni se ha limite che tende a esso è unico. N.B. L’unico modo affinché un limite non esista è che il limite sinistro sia diverso da quello destro, pertanto:

Proprietà dei limiti

Youmath pag 264. Teorema di unicità del limite: Dato inoltre un di accumulazione per D, se esiste il limite allora esso è UNICO. Youtube partiamo dal presupposto che un limite se non fosse unico esisterebbe un altro valore limite ‘dove e sono risultati di limiti, fissiamo ora un raggio ε > 0, supponiamo ora che: 2ε poiché i 2 intorni non devono coincidere, considerato che ε tende a 0 potevamo scrivere anche solo ε sarebbe stato indifferente :, Definiamo ora i 2 in un intorno di ‘. Abbiamo solamente applicato la definizione di limite per quanto riguarda i 2 creiamo ora una intorno che rappresenti l’intersezione tra gli intorni e: possiamo quindi dire che: dove: come possiamo notare ciò comporta ad una contraddizione pertanto: Abbiamo raggiunto l'assurdo che deriva dall'ipotesi di non unicità del limite. Poiché l'ipotesi d'assurdo conduce a una contraddizione, essa è necessariamente una proposizione falsa, pertanto, è vera la sua negazione: il limite è unico.

Teorema della permanenza del segno

Youmath pag 265 (0c) f - id di accumulazione M: per che fine elim I esiste pertanto tal allora ose unha f() di stesso lo segno Dimostrazione) S certamente Fis SIAMO Et(M) /m Fim) positivo == e ogn, / ((f(x))) risultato sarebbe del + il &4 = Inte proprietà proprietà la l