Appunti Analisi matematica 2 - Parte 1

Analisi matematica 2 25/26A

Formulario differenziabilità, limiti e calcolo

· · f verificare (P1 hz) CahzChrh1 f(Pr Pz) l'esistenza Pz+* + -- -: , ,liv 0=hi h2h1 confronto due h 0 0- + con curve ,, calcolo* preciso :

Piano tangente

· alle coordinate passaggiopolari f(P1 Pz) Pr) C(y Pz)G(xz ++= --, ycosO& X = Inc

Derivate direzionali

· y = f(P)to)buf(P + -Dof(P)

Derivate parziali

= · tteob)b) f(alin f(a h+ - sefect2xf(a ,b) Dof(P) Vf(P), -G ===, Inheo sev)(cosOderivabilita continuità NOTA E> : = ,

Gradiente

& continui ta· fec" f differenziabile ta=>2xnf)(2xefUf im= ...,, Dufha tutte tutte esistenza laOxif

Taylor-resto

Funzione implicita Lagrange

· · 20xjf(p Vf(tof(xo allora f(p yo)SH)hihj yo)f(p)H) SeVf(p) 00H :+ + =+ e+ = - ,, g(x) yo=

Taylor-resto Peano

· g(x))f(x 0=228xjf(P(hihj ,f(P)H) 011Hi)0f(P)f(P H ++ ++ -= Ox f(x g(x),g'(x) = Gyf(x g(x)

Taylor-ordine 2

· ,2g"(x0)(x xo)g(x0) g'(xo)(xg(x) Xo) + ++= - -

Coordinate polari

· Xo(]o[(x+ - (x yos

Hessiano

· = det IT I=gsa2y =2xexf(P)I 2xxef(P) I---Hf(p) "-= -2 22xnxef(P) f(P)2xnx

Coordinate cilindriche

· --- n frost& X =

Punto critico

· det IT senz Igy ==Vf(P) 0= t2 =def& positiva minimo

Coordinate sferiche

· def# negativa massimo D gcost senY& X = indefinita sella= det gasenYgost ITcosYy == cos4gz =

Jacobiano, baricentro e centroide

· · &.fr(P)I 8x m()()=---- y)dxdyy)dxdyIF ! +g(x y91x= i= =, ,refmip& ,, (r)cost MCENTROIDE -g y=-· =

Funzione inversa

· /) /(== ydxdy= dadydetEF y l'inversa soddisfa+ 0se + +,(5F(x))"EG(F(x))

Momento d'inerzia

= · ()82(x y)dxdyY-SEMPLICE I y)g(x=· ,, gz(x))((x y)

Integrazione per fili

= (x)D x +b PER FILl= + y: =a g ·= ,, , ((x y))z)2 (x y)(xy) (D g2(x= z: y= +g:, ,, ,, ,,

Semplice

X· - 181) zldxdydzf(x y((x hz(y) , ,D he(y)y) b= =: y ==-c x, ,

Integrazione media per strati

· · ((x 2(z))z)2 b y), (x =z+ =y :: = a ,, ,,f(xf(xo y)dxdyyo) = ., , Il1 z)dadyda7(x y, .21z ,

Cambio di coordinate

· · )))1) 1/f(t) (t)))xfdxdydz f(T)Idetildudedw k == ((t)1131-

Lunghezza e torsione di una curva

· · luild x [lt)[(t) (t)< ,Cess = = - f(t) (t)11211 +

Parametro arco e rotore

· · ) ijkUlt)ldtsit) rot(F) by 8z2x0 F= + == F3F2Fe

Integrale linea e divergenza

· · (lofds (it) UltsldtIl 2zF3V . F1F byFzfx= + +=

Lavoro di un campo

Terna intrinseca

· ()j Edr2x(U (t) = =T= ((t)/11 2"

Integrale speciale

ex j(t) DI((t) ·B = 5(t))) (EdxIl((t) (c+ F ds+-=N BxT=

Circuitazione

· 6 Far↳ = SPOTENZIALE· 0)F =l Fdr Ulr(b)) VIr(a))= - I

Grafici, topologia e insiemi

Grafici di livello

RUGRAFICI TOPOLOGIAE DIGrafici1. LIVELLOINSIEMie di EIR" IR2 f(x)dei delgrafico di f(x) l'insiemeIl di (xcoordinatepuntiè; piano· una ,AIR" f(x)di fenzionegrafico -RfIl è z· una : = .graficoil 3Dè;1=2 in piano~> se un grafico dimensione 4il è;123 inse>- unay) f(x

Matematicamente y)f(x livello rappresentare Per di costantelesi k Kz curveusano con· = == , . ,f(x yzy)i) =x +=, tutto Dominio il piano· :x2 Uk centratey2 circonferenze diCurve 010k inr=: + =>· = ,

Paraboloide e cono

PARABOLOIDEf(x 2 yy)i) X= +, CONOtutto il Dominio piano· : ky2xCurve· : + = x20zsey- = x= =

Intorno sferico

INTORNO.2 SFERICOGli di sferici pentointorni ipersferele centrate in Xo· Xo sonoun ., Pdi diPERSia sfericointorno l'insiemeè; raggio· r :un3xei" cr(P)dist(XB r)P = : ,, distanzacon : = (xi-pi)i)dist(X /X-Pl=,

Punti interni, esterni e frontiera

PUNTI.3 ESTERNIINTERNI FRONTIERAE di, !. XoER"Sia EFI puntoUn : :IE)JB(X0interno r) E· : , r)CEJB(Xoesterno· : , Efrontiera di almenoFBIXo r) (8E)dipunto Ec'è;: en e· ,y)E(2 e yxx)((x y22i) E 1== : x +, interniu frontieraAlMmur

Insiemi aperti e chiusi

Insiemi4. EAperti ChiusiECIR"Un diceinsieme si : interno ad aperto Epunto è;ognise· suoE'chiuso (E)apertoè;se· IR"

Limiti di funzioni di Rⁿ in R

Definizione successionale

· :/" IRf diSic allora pento accumulazioneXo- e: : EXEX-Xlif(x) e de If(x)-elE070 := ER2f(x)lim f(x)Fk xo)60c(x+X07870 k>se >0+ : := -Xo* - f(x)c-kxElimf(x) /X-Xok7620se Ko ::-=

Definizione topologica

· : r)":R R" 7rv0fSia alloraBlo ED: :e- ,lim f(x) (f(x) el(2f(x) M07m>0+(ex =- -:=X - funzioniCome variabile valgonoper· maa :th di unicità>- . di prodotto th quoziente- soma e. ,th confronto del>- . deldi th permanenza segno>- .

Funzioni continue di Rⁿ in R

1. CONTINUEDIR"IR fxlimf(x)Sia f che continua pento fdiremoed diè; accumulazione è;XoED in Xo se =se:

Insiemi aperti e chiusi da funzioni continue

Th da funzioni aperti chiusi continue Insiemi: eR RSia f continua Allora :: .i) gli insiemi :& 0) 0403+( &x eR (xEIRf(x) f(x)f(x) +<x : ; :i :apertisono .

glii) insiemi :& 0) 0403+( <x eR (xEIRf(x) f(x)f(x) <x 2: ; =:i :chiusisono ..

Insiemi limitati

2 INSIEMI LIMITATIDCIR"Un insieme limitato Blo7r10 r)&Dè;insieme se : ,

Teorema di Weierstrass

Th Weierstrass: livitato fametteSia D continua fchiuso Allora-IRinsieme massimo minimoun e :.ee :f(x) maxf(x)Mmin =m e= ED XEDXCalcolo