Appunti Elaborazione Statistica dei Segnali M - Parte 5

Revisionato il 11/07/2026

di BlackThunder95

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Appunti Elaborazione statistica dei segnali M Parte 5, quinta parte di 5, nelle 5 parti complessive sono racchiusi tutti gli appunti presi a lezione con i due prof, sono completi di ogni …

Esame Elaborazione statistica dei segnali m

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Rovatti Riccardo

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2022-2023

47 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Formule e funzioni nei filtri analogici

= tg^-1 w_z+δ + tg^-1 w_z-δ con δ=0 e con δ=2πβ_eT, w=2πβ_egt β_eT=tg^-12πβ_etpolTβ= tg^-1 w_z+δ + tg^-1 w_z-δ con δ=0 e con ρ=2πβ_eT, ω=2πβ_eπβ_iT=tg^-1(πβ_eT)β_e=0 corrisponde a β_i=0 β_e→−∞ corrisponde a β_i→−πβ_e→+∞ corrisponde a β_i→+πTpol

Schema generale dei filtri analogici

Vi(t) F_a Vo(t)

b_ndⁿVo(t)÷dtⁿ+...+b₂Vo(t)÷dt²+b_oVo(t)=a_ndⁿVi(t)÷dtⁿ+...+a₁dVi(t)÷dt+a_oVi(t)

dⁱ=0L :H :d_iVo(t)=a_idⁱVi(t) a_idⁱVi(t)=d_iVo(t)

No carica nei condensatori e negli induttori

b_nVⁿVo(s)+...+b₂Vo(s)+b_oVo(s)=QmV^mVi(s)+...+Q₂Vi(s)+b_oVi(s)=> H(s)=Vo(s)Vi(s)∏(s-z_i÷s-p_i)

Funzione di trasferimento

H(s)=mbⁱsⁱ-1 H(s)=H(jw)=H(W) = M(W)e^jθ(W) risposta in frequenza_mmodulofase

M(W)={|H| ¹ ∏ |s-p_i÷s-p_i|} θ(W)=arg(H_b)+∑tan^-1Vi(W)-∑tan^-1d_{p_i}(W)

Approssimazioni e funzioni di attenuazione

Per motivi sperimentali sono stati presentati metodi di approssimazione in termini di funzione di attenuazione

A(ω) = 10 log₁₀ \left| \frac{Vi(j\omega)}{Vo(j\omega)} \right|^2 = 10 log₁₀ \frac{1}{|H(j\omega)|^2} = 10 log₁₀ L(\omega^2) con L(\omega^2) = \frac{1}{(H_1(j\omega) H_2(j\omega))}

_{Σ = H^*(j\omega)}

Nel dominio di Laplace \; ( \omega = s/j ) L(-s^2) = \frac{1}{H(s) H(-s)}= \frac{D(s) D(-s)}{N(s) N(-s)}

Con H(s) = \frac{N(s)}{D(s)}

Zeri di L(-s²) sono poli di H(s) compresi i loro negativi.
Poli di L(-s²) sono gli zeri di H(s) compresi i loro negativi.

Vincoli dei filtri analogici

H(s) funzione razionale con numeratore e denominatore di indice coefficienti reali
Stabilità \; Re \{p_i\} M \subset N \;(stabilità del sistema)

Esempio di filtro passa basso

LPA_p = massima perdita banda passante A_a = minima perdita banda passante

Filtri Butterworth

L(w²) è le funzioni polinomiale. L'obiettivo è quello di essere il più piatto possibile nella bande passante. Il massimo obiettivo è trovare 1 (w²)

L(w) = b₀ + b₁w² + ... + b_mw^2m

lim_w²→0 L(w²) = 1 (massima attenuazione in bande passanti in generale lim_w²→0 L(w²) = A_p)

Per avvicinarci al profilo più piatto possibile le prime n-1 derivate sono finite e 0. Quindi aggiungo un'ulteriore vincolo d^k/dw^2kL(w²) w→0 = 0 k=1,...,n-1

Utilizziamo questi vincoli per calcolare b_i:

L(w²) |_w=0 = 1 ⇒ b₀ = 1
d/dw^k L(w²) = d/dw^k (∑_j=0ⁿ b_jw^2j) = ∑_j=s+1ⁿ b_j d/dw^k(w^2j) = 0 k = 1, ..., m - 1

Queste derivate mi riducono l'ordine del filtro. La derivata con j=0 è zero

Soluzione banale: b₁ = b₂ = b_m-1 = 0 (poiché devo usare fino alla derivata m-1 esima)

L(w²) = b₀ + b₁ w + ... + b_m w^2m

Abbiamo come vincolo lim_w²→0 L(w²) = 1 = 1 ⇒ b₀ = 1

L(w²) = l + b_n w^2m

Per settare l'ultimo coefficiente b_n il valore della frequenza di taglio. Dimensioniamo il filtro Butterworth := 1: w_c = 1 le frequenze di taglio è definito (con A(0) = 1)

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