Appunti Elaborazione Statistica dei Segnali M - Parte 4

Proprietà dello trasformato z

Con m_i = 2lim_z→p̂ X(z) z^m−1 = lim_z→p̂ d/dz [(z−p̂)ⁱ X(z) z^m−1]

Linearità

Z [ αX₁(mT) + β X₂(mT) ] (z) = αZ [X₁(mT)] (z) + βZ [X₂(mT)] (z)

Dimostrazione:

Z [ αX₁(mT) + β X₂(mT) ] (z) = ∑_m=−∞^+∞ ( α X₁(mT) + β X₂(mT) ) z^−m = α ∑_m=−∞ X₁(mT) z^−m + β ∑_m=−∞ X₁(mT) z^−m = α X₁ (z) + β X₂(z)

N.B. Z [ α X₁ (z) + X₂ (z) ] (mT) = α X₁ (mT) + β X₂ (mT)

Time shift

Z [ χ (mT + mT) ] (z) = z^m X(z) con m ∈ ℤ

Dimostrazione:

Z [ χ (mT + m) ] (z) = ∑_m=−∞^+∞ χ (mT + m) z^−m = ∑_m=−∞^+∞ χ (m) z^−[r−m]= = z^m ∑_r=−∞^+∞ χ (rT) z^−r = z^m X(z)

Cambio di scala (compless)

Z [ w^m χ (mT) ] = X(wz) W₁, ω ∈ ℂ

Z [ ∑_m X (mT) ] = X (z/ω)

Dimostrazione:

Z [ w^m χ (mT) ] = ∑_m=−∞^+∞ [ W^m χ (mT) ] t^−m = ∑_m=−∞^+∞ χ (m) (wz)^−m = X(wz)

Proprietà dello trasformato z linearity

Z [a x₁(mT) + b x₂(mT)] (z) = a Z[x₁(mT)] (z) + b Z[x₂(mT)] (z)

Dimostrazione:

Z [a x₁(mT) + b x₂(mT)] (z) = Σ_m=−∞^+∞ (a x₁(mT) + b x₂(mT)) z^−m = a Σ_m=−∞ x₁(mT) z^−m + b Σ_m=−∞ x₁(mT) z^−m = a X₁(z) + b X₂(z)

N. B. Z [x₁(mT)] (z) = a x₁(mT) + b x₂(mT)

Time shift

Z [x (mT + m₁T)] (z) = z^m₁ X(z) con m₁ ∈ Ζ

Dimostrazione:

Z [x(mT + m₁T)] (z) = Σ_m=−∞^+∞ x(mT + m₁T) z^−m = Σ_m=−∞^+∞ x(mT) z^−[r-m₁] = z^m₁ Σ_r=−∞^+∞ x(rT) z^−r = z^m₁ X(z)

Cambio di scala (comprimo)

Z [w^−m x(mT)] = X(w z)   W₁, α ∈ Ζ

Z [Σ^m x(mT)] = X (z/r)

Dimostrazione:

Z [w^−m x(mT)] = Σ_m=−∞^+∞ [w^−m x(mT)] z^−m = Σ_m=−∞^+∞ x(mT) (wz)^−m = X(wz)

Convoluzione lineare

Z [ ∑_k=−∞^+∞ X₁(kT) X₂(mT-kT) ] = X₁(z) X₂(z)

Teorema del valore iniziale

Z-trasformata nella forma X(z) = N(z) / D(z) = ∑_i=0^∞ a_i z⁻ⁱ / z^N + ∑_i=1^N b_i z⁻ⁱ

Se M ∈ N ⇒ X(mT) = 0 ∀ m < 0

Per sem segnale tempo discreto consideriamo sempre un tempo iniziale t=0

Teorema del valore finale

X(∞) = lim_z→1 (z−1) X(z)

È usato per determinare lo stato stazionario del segnale (sistema)

Alcune trasformate Z di segnali elementari

Impulso

X(mT) = δ(mT) X(z) = ∑_m=−∞^∞ δ(mT) z^−m = 1

X(mT) = δ(mT-mT) ⇒ X(z) = z^−m

Proprietà del timeshift

Frequenza campionaria χ(mT) = μ(mT) => X(z) = ∑_m=−∞^∞ μ(mT) z^−m = ∑_m=0^∞ z^−m= ∑_m=0^∞ (1/z)^m

Il rapporto −1 c => |z| > 1

X(z) = 1/(1−1/z) = z/(z−1) (entra di conv.1 < |z| < |p| )

χ(mT) = u(mT − MT) => X(z) = z^−m Z{ μ(mT) } = z^−m+1 / (z−1)

Funzione esponenziale (elipota)

χ(mT) = K • μ(mT) • W^m => X(z) = K z/(z−W) (scale change)

(Questo per soddisfare il teorema del valore iniziale) (caso particolare)

χ(mT) = K μ(mT) e^αmT => X(z) = K z/(z−e^αT)

Funzione seno

χ(mT) = μ(mT) sin(2πτ/mT) X(z) = z{−μ(mT)/2j} [e^i2πβmT − e^−i2πβmT] == 1/2j {Z[μ(mT) e^i2πβmT] − Z[μ(mT) e^−i2πβmT]} =